Opportunities for project management

Existen diversos modelos, dependiendo de la tecnolog´ıa adoptada en cada una de las plantas de producci´on. Del mismo modo, los diferentes vendedores de sistemas MPC tienen su propias formas de trabajo a la hora de realizar el proceso de modelado y de identificaci´on (para m´as informaci´on dir´ıjase a la Tabla 3 en [QB03]). No obstante, la mayor´ıa de las ocasiones los modelos son desarrollados utilizando los datos de respuesta obtenidos del proceso. Para ello, se dise˜nan cuidadosamente una serie de entradas que estimulen al sistema para encontrar las repuestas v´alidas y ´utiles en la generaci´on del modelo que se est´a buscando. A continuaci´on se describir´an los procesos que son llevados a cabo: (i) protocolos de pruebas, (ii) identificaci´on de modelos lineales e (iii) identificaci´on de modelos no lineales.

En primer lugar, es necesario la generaci´on de una serie de se˜nales que permitan a los expertos en el dominio construir el modelo que se ajuste al proceso. Para conseguir su objetivo tienen que desarrollar un estudio en el

2. Modelo Predictivo de Control y otras aproximaciones

que determinar´an cu´ales son las se˜nales a generar para que se estimule el sistema consiguiendo alcanzar tanto situaciones que cuentan con una baja probabilidad de suceder como las de mayor probabilidad. Como bien indican Qin et ´al. en su estudio de MPC industriales [QB03], los vendedores de este tipo de sistemas aseguran que ´esta es la tarea m´as importante a la hora de realizar la generaci´on del modelo. Y tanta es su complejidad que, para llegar a desarrollar la prueba que permita obtener el modelo, hay que establecer una prueba inicial que permita ajustar la prueba final. Las razones por las que es imprescindible esta prueba inicial son varias: (i) se necesita buscar la forma de ajustar los instrumentos existentes y los controladores de la planta en relaci´on a las variables que pueden ser modificadas, (ii) se debe obtener el comportamiento (i.e., tiempos, modificaciones que van sufriendo, entre otros) de las variables que ´unicamente pueden ser monitorizadas pero que s´ı que tienen su influencia sobre el comportamiento de la planta, y (iii) se obtienen datos para la identificaci´on del comportamiento inicial del proceso.

As´ı, las pruebas se mantienen en la planta durante 24 horas al d´ıa uti- lizando ingenieros especializados en el domino para la monitorizaci´on de los resultados que se est´an obteniendo. En el proceso, se fijan los valores de una de las variables sobre las que podemos operar, siempre y cuando el proceso pueda ser determinado f´acilmente como lineal, o varias (junto con todas las combinaciones posibles) para procesos que son no lineales mientras van modi- fic´andose el resto de las variables, es decir, ´estas pasar´an por todos los estados posibles. Esto ser´a repetido alrededor de entre 8 y 15 veces para cada una de las variables y se realizar´a durante un periodo de entre 5 y 15 d´ıas. Se llevan a cabo tantas repeticiones con el fin de determinar las tasas de ruido en el proceso productivo y su monitorizaci´on. Cabe destacar que durante los procesos de pruebas los operarios ´unicamente podr´an intervenir en el proceso en el momento en el que se alcancen situaciones cr´ıticas.

Y en ´ultimo lugar, seguido a los procesos de pruebas se comienza con el proceso de identificaci´on del modelo. Como ya ha sido comentado hay dos tipo de modelos (i.e., lineales y no lineales) por lo que este paso es el crucial para determinar por qu´e tipo de estrategia MPC hay que declinarse.

Por una parte, si sobre el proceso productivo en el que se va a trabajar es lineal, hay que llevar a cabo la identificaci´on del modelo que lo representa. En este caso, la estimaci´on de par´ametros del modelo tiene que basarse en que el sistema MPC debe minimizar el criterio de los m´ınimos cuadrados1 usando

1_{M´etodo para la medici´on de modelos matem´aticos, no deterministas pero s´ı proba-}

bil´ısticos, con el fin de precisar c´omo de ajustado est´a el modelo a la realidad.

2.2 Los Modelos Predictivos de Control a fondo

la aproximaci´on a la ecuaci´on de errores o la aproximaci´on a los errores en la salida [Lju99]. La diferencia entre ambas reside en que mientras que la primera realiza las mediciones en las salidas y las utiliza para realimentar al modelo, la segunda de ellas estima los valores de las salidas y las utiliza para realimentar al modelo. Con el fin de conseguirlo, se realiza una identificaci´on del subespacio en el que se representa el proceso [Lar90, Lju99]. Este m´etodo est´a muy extendido ya que muchas de las soluciones comerciales lo utilizan o basan su nueva aproximaci´on en ´el. Como alternativa a este ´ultimo modelo, existe la aproximaci´on de tres pasos utilizada en otros modelos comerciales como el RMPCT (para m´as informaci´on dir´ıjase a la secci´on 2.3.1.6): (i) la generaci´on de un modelo de Bob-Jenkins [Van83] u otro diferente siguiendo la descomposici´on de Cholesky1 _{[DKA01], (ii) ajustar el modelo identificado}

mediante cualquiera de los dos m´etodos para ajustarlo a un orden menor a trav´es del m´etodo Gauss-Newton2 aplicado a la salida de error y (iii) terminar convirtiendo el modelo a las funciones de la transformada de Laplace.

Por otra parte, en el caso de haber determinado que el proceso sobre el que se va a actuar es de car´acter no lineal, se debe partir de la premisa de que la selecci´on de la representaci´on no lineal no es el problema. De hecho, las solu- ciones existentes utilizan o una representaci´on polinomial o una red neuronal artificial, sino m´as bien la identificaci´on y selecci´on de un algoritmo robusto y fiable. Una de las soluciones tomadas para solucionarlo es el algoritmo de identificaci´on discutido en [ZGS98], en el que se genera un modelo para cada una de las salidas de forma separada. En otras palabras, para un proceso que tiene my variables de salida, el modelo final ser´a construido a trav´es de my

submodelos dedicados a cada variable. M´as concretamente, el procedimiento que se lleva a cabo para identificar cada submodelo es el siguiente:

1. Se especifican una serie de constantes para cada par de entrada-salida. Posteriormente, se pasa a aplicar una serie de filtros de primer orden o construir un modelo de Laguerre3 _{para cada entrada [ZGS98, SBGZ98].}

Los estados de los filtros generar´an el vector de estado definido como x.

1_{M´etodo descubierto por el matem´atico Andr´e-Louis Cholesky que muestra la posibili-}

dad de descomponer una matriz sim´etrica definida positiva en el producto de dos matrices: una matriz triangular inferior y la transpuesta de la matriz triangula inferior calculando la primera de ellas a trav´es del tri´angulo de Cholesky sobre la matriz original. Este m´etodo es utilizado para la resoluci´on de sistemas de ecuaciones matriciales.

2_{M´etodo utilizado para la resoluci´on de problemas no lineales sobre m´ınimos cuadrados.} 3_{M´etodo que a trav´es de la utilizaci´on de una serie de expresiones de tiempo mucho m´as}

apropiadas, extra´ıdas de las redes de Laguerre, mejoran el enfoque tradicional de ampliar las funciones de transferencia para la obtenci´on de modelos de predicci´on con un orden

2. Modelo Predictivo de Control y otras aproximaciones

2. En el segundo de los pasos, es construido un modelo lineal est´atico para cada salida {yj, j = 1, 2, . . . , my} teniendo en cuanta el vector de estado

x y utilizando la t´ecnica de m´ınimos cuadrados parciales (PLS, de la voz inglesa Partial Least Square).

3. Posteriormente, se realiza una reducci´on del modelo identificado en los pasos 1 y 2 mediante el an´alisis de componentes principales (PCA, del ingl´es Principal Component Analysis) y el equilibrio interno para elimi- nar variables de estado alineadas.

4. El modelo reducido obtenido del paso anterior es reordenado en un mo- delo de estado-espacio (A, B) que se utiliza para la generaci´on de una secuencia de estados {xk, k = 1, 2, . . . , K}. Entonces, si el modelo con-

verge, es decir, no se pueden llevar a cabo m´as reducciones del modelo, se pasa al siguiente de los pasos. En caso contrario, se vuelve al punto 2 con el fin de seguir reduciendo el modelo.

5. Un nuevo modelo PLS es construido empleando el vector de estado x y la salida yj. As´ı, los coeficientes del modelo PLS pasar´an a quedar

representados en la matriz C.

6. Finalmente, se construye el modelo mediante una red neuronal artificial utilizando, en primer lugar, los factores latentes del modelo PLS obteni- dos en el paso anterior y los residuales de la salida yj. Por consiguiente,

se genera el mapa est´atico no lineal gj(x). La utilizaci´on de los factores

latentes en lugar de los vectores de estado tiene lugar con el fin de mejo- rar la robustez del m´etodo de entrenamiento de la red neuronal artificial y reducir as´ı el tama˜no de la misma.