P OTENTIAL PROBLEMS

1. (Cabral pp. 86-7) Supongamos que tenemos el modelo de diferenciación hori-zontal estudiado en clase con precio regulado  y coste unitario . Tenemos dos empresas (A y B). La empresa A puede instalar dos tiendas, mientras que la em-presa B sólo puede instalar una tienda. El coste de instalar una tienda es de  . Se cumple que:

(− )

4 ^{  }

(− ) 2 Analice el equilibrio del siguiente juego.

En una primera etapa, la empresa A escoge la ubicación de sus tiendas. En una segunda etapa, la empresa B escoge la ubicación de su tienda. Resolución.

Si la empresa A escoge sólo una tienda, su elección óptima será instalarse en la mitad (como en el caso analizado en clase). La empresa B se colocará en el mismo sitio. Cada empresa obtendrá de beneficio ^(− )

2 −   0.

Pero la empresa A puede preferir instalar dos tiendas para reducir la demanda que pueda obtener la empresa B instalando una tienda e impedir, en consecuencia, su entrada. Supongamos que instala dos tiendas una en 1/4 y la otra en 3/4. De esta manera la demanda que puede obtener la empresa 2 es como máximo 1/4.Veámoslo. Si se coloca entre las dos tiendas en x obtendrá como demanda la diferencia entre el punto equidistante entre 3/4 y x y el punto equidistante entre x y 1/4. El punto equidistante entre 3/4 y x es ^34+₂ . El punto equidistante entre x y 1/4 es ^+14₂ . Su resta es 34 +  2 − ^{ + 14} 2 ⁼ 24 2 ^{= 14}

Lo mismo si se coloca en 1/4- o en 3/4+, obtiene una demanda de 1/4. Si se coloca en 1/4 (o en 3/4) obtiene la mitad de la demanda en ese punto. La mitad de los consumidores van a comprar en ese punto y, por esto, va a obtener una

demanda de 1/4. Pero con una demanda de 1/4 no le interesa entrar porque se cumple que^(−)₄  . En este caso la empresa A obtiene de beneficio (−)−2 = 2(^− 

2 − ) que es mayor que lo que obtenía colocando una sola tienda ^{− } 2 − . Por lo tanto, la empresa A colocará dos tiendas e impedirá la entrada.

2. Suponga que una población de consumidores se distribuye uniformemente a lo largo de un segmento de longitud 1. Cada consumidor sólo quiere comprar una unidad del bien. Tenemos dos empresas instaladas. La empresa A se encuentra a una distancia  de un extremo y la empresa B se encuentra a una distancia  (  ¹₄) del otro extremo. El coste unitario de producción es constante e igual para las dos empresas y lo denotamos por . La función de costes de transporte de cada consumidor se iguala a: () = , donde  es la distancia que tiene que recorrer el consumidor desde su ubicación hasta la tienda.

a) Calcule las funciones de demanda de los bienes que venden las empresas en función de los precios.

b) Calcule los precios que ponen las empresas. Resolución.

a) Para hallar las demandas buscamos el consumidor indiferente: + (− ) = + (1−  − ) + −  = + −  −  2 = − +   = ^−  2 ⁺ 1 2

Esta es la demanda de la empresa A y 1 −  es la demanda de la empresa B. b) El beneficio de la empresa A viene dado por:

Π= (− )(^_2^{− } +¹ 2⁾ Π  = ^−  2 ⁺ 1 2− ^_2^{− } = 0

El equilibrio será simétrico  =  y así obtenemos el precio de equilibrio : 1

2− ^{− } 2 ^{= 0}  =  + 

El beneficio se equilibrio es:

Π = ^ 2

3. (Shy (1995)p.165) Suponga que una población de consumidores se dis-tribuye uniformemente a lo largo de un segmento de longitud 1. Cada consumidor sólo quiere comprar una unidad del bien. Tenemos dos empresas instaladas. La empresa A se encuentra en el extremo izquierdo del segmento y la empresa B en el extremo derecho. Como el viento sopla de derecha a izquierda, desplazarse a la izquierda supone un coste () =  pero desplazarse hacia la derecha un coste () = ,   1. Calcule el equilibrio en precios si no hay costes de producción.

Solución:

Calculemos en primer lugar el consumidor indiferente:

+  = + (1− ) (6.1)  = − + −  (6.2)  +  = − +   = ^ − +  1 +  ^(6.3) 1−  = 1 − µ  − +  1 +  ¶ = ^{1 + }− + −  1 +  = ^{1 + }−  1 + 

El beneficio de las empresas A y B viene dado respectivamente por:  = 

 = (1− )

Las condiciones de primer orden son:   = µ 1 1 +  ¶ (− 2+ ) = 0   = µ 1 1 +  ¶ (1 + − 2) = 0

Despejando  de la primera ecuación obtenemos:

+  = 2 (6.4)

 = ^{+ } 2

Y lo sustituímos en la segunda ecuación para obtener . 1 +^{+ }

2 − 2 = 0

2 +  + − 4 = 0  = ^{2 + }

3 Sustituímos ese valor en (6.4)obtenemos :

 = 2+ 3 +  2 ⁼ 2 +  + 3 6 ⁼ = ^{2 + 4} 6 ⁼ 1 + 2 3

Para hallar la cantidad vendida por cada empresa en equilibrio, obtenemos la diferencia de los precios:

− = ^{2 + }

3 − ^{1 + 2}

3 ⁼

1−  3

Lo sustituímos en (6.3) para obtener las ventas de la empresa A:  = 1− 3 +  1 +  ⁼ 1−  + 3 3(1 + ) ⁼ 1 + 2 3(1 + ) Las ventas de la empresa B se igualan a 1 −  :

1− ^{1 + 2} 3(1 + ) ⁼ 3(1 + )− 1 − 2 3(1 + ) ⁼ 2 +  3(1 + ) En consecuencia, los beneficios respectivos de A y B son:

= ^{(1 + 2)}

2

9(1 + ) ^{y  =}

(2 + )² 9(1 + )

Obsérvese que   y que   ⁼ 4(1 + 2)(1 + )− (1 + 2)2 9(1 + )2 = ^{(1 + 2) (4 + 4}− 1 − 2) 9(1 + )2 = = ^{(1 + 2)(3 + 2)} 9(1 + )2  0   ⁼ 2(2 + )(1 + )− (2 + )² 9(1 + )2 = ^{(2 + )(2 + 2}− 2 − ) 9(1 + )2 = = ^{(2 + )} 9(1 + )2  0

Un incremento en  aumenta la diferenciación y estimula los beneficios. 4. (Eaton and Lipsey (1975) Review of Economic Studies; 42(1) p. 27-49). Suponga que los consumidores están uniformemente distribuidos en el segmento de longitud unitaria. El precio del bien está regulado a un nivel  mayor que el coste unitario . Las empresas deciden donde colocarse (sólo pueden escoger una ubicación). Encuentre el equilibrio si hay 4 empresas en el mercado. (Nota: cuando tenemos más de una empresa en la misma ubicación, dichas empresas se reparten en partes iguales la demanda en esa ubicación).

Solución:

La obtención del equilibrio surge de la observación que no puede ser que en uno de los extremos del segmento tengamos una empresa ubicada en solitario. Siempre ganaría acercándose al competidor. Por otro lado, la misma ubicación para todas las empresas no puede ser de equilibrio. Cada empresa obtendría una demanda de ¹₄ y podría obtener ¹₂ desplazándose hacia el lado grande del mercado. (Hay que hacer notar ques estas dos observaciones también se aplican al caso con 3 empresas y explican que no haya equilibrio en ese caso).

De tal modo que en equilibrio las empresas tienen que estar aparejadas, dos en el punto  y las otras dos en el punto  (  ). A continuación buscamos los valores de  e .

Las empresas que están ubicadas en  obtienen la mitad de la demanda en ese punto: ^{ + }

4 ^{. En equilibrio no tienen que querer desviarse ni a la izquierda ni a} la derecha. Esto implica respectivamente lo siguiente:

 + 

4 ≥ 

 + 

4 ≥ ^{− }

La primera condición implica  ≥ 3 y la segunda  ≤ 3. Por lo tanto entre las dos suponen:

 = 3

Las empresas que están ubicadas en  obtienen la mitad de la demanda en ese punto:

1− ^+2

2 ⁼

2−  −  4

. En equilibrio no tienen que querer desviarse ni a la derecha ni a la izquierda. Esto implica respectivamente lo siguiente:

2−  − 

4 ≥ 1 − 

2−  − 

4 ≥ ^{− }

2

La primera condición implica 3 −  ≥ 2 y la segunda 2 ≥ 3 − . Por lo tanto, entre las dos suponen:

2 = 3− 

De las dos condiciones obtenidas obtenemos que  = ¹

4 ^{e  =} 3

4^{. Cada empresa} obtiene una demanda de 1/4.