Part Three
Facility 3 reimbursed projects as at end-
3.6. Other development factors (environment, technology transfer)
REPASO DE MATERIAL
● Sección 2.5 (utilizando una sustitución). ● Sección 4.1.
INTRODUCCIÓN En la sección anterior vimos que la solución general de una ecuación diferen- cial lineal homogénea de segundo orden
a2(x)y a1(x)y a0(x)y 0 (1)
es una combinación lineal y⫽ c1y1 ⫹c2y2, donde y1 y y2 son soluciones que constituyen un con-
junto linealmente independiente en cierto intervalo I. Al comienzo de la siguiente sección se analiza
un método para determinar estas soluciones cuando los coefi cientes de la ED en (1) son constantes. Este método, que es un ejercicio directo en álgebra, falla en algunos casos y sólo produce una solu- ción simple y1 de la ED. En estos casos se puede construir una segunda solución y2 de una ecuación
homogénea (1) (aun cuando los coefi cientes en (1) son variables) siempre que se conozca una solución no trivial y1 de la ED. La idea básica que se describe en esta sección es que la ecuación (1) se puede reducir a una ED lineal de primer orden por medio de una sustitución en la que interviene la solución
conocida y1. Una segunda solución y2 de (1) es evidente después de resolver la ED de primer orden.
4.2
REDUCCIÓN DE ORDEN Suponga que y1 denota una solución no trivial de (1) y que y1 se defi ne en un intervalo I. Se busca una segunda solución y2 tal que y1 y y2 sean un con-
junto linealmente independiente en I. Recuerde de la sección 4.1 que si y1 y y2 son lineal-
mente independientes, entonces su cociente y2兾y1 no es constante en I, es decir, y2(x)兾 y1(x)
⫽u(x) o y2(x) u(x)y1(x). La función u(x) se determina al sustituir y2(x) ⫽ u(x)y1(x) en
la ecuación diferencial dada. Este método se llama reducción de orden porque debemos resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden para encontrar a u.
EJEMPLO 1
Una segunda solución por reducción de ordenDado que y1⫽ex es una solución de y⬙⫺y⫽ 0 en el intervalo (⫺⬁, ⬁), use reducción
de orden para determinar una segunda solución y2.
SOLUCIÓN Si y⫽ u(x)y1(x) ⫽ u(x)ex, entonces aplicando la regla del producto se
obtiene
por tanto y y ex(u 2u) 0.
y u ex exu, y u ex 2exu exu ,
Puesto que ex⫽ 0, la última ecuación requiere que u⬙⫹ 2u⬘⫽ 0. Si se hace la sustitución
w⫽u⬘, esta ecuación lineal de segundo orden en u se convierte en w⬘⫹ 2w⫽ 0, que es una ecuación lineal de primer orden en w. Si se usa el factor integrante e2x, se puede
escribir d
dx [e
2xw] 0. Después de integrar, se obtiene w⫽c
1e⫺2x o u⬘⫽cle⫺2x. Al
integrar de nuevo se obtiene u 12c1e 2x c
2. Así
y u(x)ex c1
2e x c2ex. (2) Haciendo c2⫽ 0 y c1⫽⫺2, se obtiene la segunda solución deseada, y2⫽ e⫺x. Puesto que W(ex, e⫺x) ⫽ 0 para toda x, las soluciones son linealmente independientes en (⫺⬁, ⬁).
Puesto que se ha demostrado que y1⫽ ex y y
2⫽ e⫺x son soluciones linealmente
independientes de una ecuación lineal de segundo orden, la expresión en (2) es en realidad la solución general de y⬙⫺y⫽ 0 en (⫺⬁, ⬁).
CASO GENERAL Suponga que se divide entre a2(x) para escribir la ecuación (1) en
la forma estándar
y P(x)y Q(x)y 0, (3)
donde P(x) y Q(x) son continuas en algún intervalo I. Supongamos además que y1(x)
es una solución conocida de (3) en I y que y1(x) ⫽ 0 para toda x en el intervalo. Si se
defi ne y⫽u(x)y1(x), se tiene que
y uy1 y1u, y uy1 2y1u y1u
y⬙⫹Py⬘⫹Qy⫽ u[y1 ⬙⫹ Py1 ⬘⫹ Qy1] ⫹y1u⬙⫹ (2y1⬘⫹Py1)u⬘⫽ 0. cero
Esto implica que se debe tener
y1u (2y1 Py1)u 0 o y1w (2y1 Py1)w 0, (4)
donde hacemos que w⫽u⬘. Observe que la última ecuación en (4) es tanto lineal como
separable. Separando las variables e integrando, se obtiene
. ln wy12 P dx c wy12 c1e P d x dw w 2 y1 y1 dx P dx 0
Despejamos a w de la última ecuación, usamos w⫽u⬘ e integrando nuevamente: . u c1 e P d x y12 dx c2 o
132 ● CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Eligiendo c1⫽ 1 y c2⫽ 0, se encuentra de y⫽u(x)y1(x) que una segunda solución de
la ecuación (3) es
y2 y1(x) e
P(x)d x
y12(x)
dx. (5)
Un buen ejercicio de derivación es comprobar que la función y2(x) que se defi ne en (5)
satisface la ecuación (3) y que y1 y y2 son linealmente independientes en algún inter-
valo en el que y1(x) no es cero.
EJEMPLO 2
Una segunda solución por la fórmula (5)La función y1⫽x2 es una solución de x2y⬙⫺ 3xy⬘⫹ 4y⫽ 0. Encuentre la solución
general de la ecuación diferencial en el intervalo (0, ⬁).
SOLUCIÓN De la forma estándar de la ecuación,
encontramos de (5) x2 dx . x x 2 ln x ;e3d x/x elnx3 x3 y2 x2 e 3d x/x x4 dx y 3 xy 4 x2y 0,
La solución general en el intervalo (0, ⬁) está dada por y⫽ c1y1 ⫹ c2y2; es decir, y ⫽ c1x2⫹ c2x2 ln x.
COMENTARIOS
i) La deducción y uso de la fórmula (5) se ha mostrado aquí porque esta fór-
mula aparece de nuevo en la siguiente sección y en las secciones 4.7 y 6.2. La ecuación (5) se usa simplemente para ahorrar tiempo en obtener un resultado deseado. Su profesor le indicará si debe memorizar la ecuación (5) o si debe conocer los primeros principios de la reducción de orden.
ii) La reducción de orden se puede usar para encontrar la solución general de
una ecuación no homogénea a2(x)y⬙⫹a1(x)y⬘⫹a0(x)y⫽g(x) siempre que se
conozca una solución y1 de la ecuación homogénea asociada. Vea los problemas
17 a 20 en los ejercicios 4.2.
EJERCICIOS 4.2
Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-4.En los problemas 1 a 16 la función indicada y1(x) es una so-
lución de la ecuación diferencial dada. Use la reducción de orden o la fórmula (5), como se indica, para encontrar una segunda solución y2(x). 1. y⬙⫺ 4y⬘⫹ 4y⫽ 0; y1⫽e2x 2. y⬙⫹ 2y⬘⫹y⫽ 0; y1⫽xe⫺x 3. y⬙⫹ 16y⫽ 0; y1⫽ cos 4x 4. y⬙⫹ 9y⫽ 0; y1⫽ sen 3x 5. y⬙⫺y⫽ 0; y1⫽ cosh x 6. y⬙⫺ 25y⫽ 0; y1⫽e5x 7. 9y⬙⫺ 12y⬘⫹ 4y⫽ 0; y1⫽e2x/3 8. 6y⬙⫹y⬘⫺y⫽ 0; y1⫽ex/3 9. x2y⬙⫺ 7xy⬘⫹ 16y⫽ 0; y1⫽x4 10. x2y⬙⫹ 2xy⬘⫺ 6y⫽ 0; y1⫽x2 11. xy⬙⫹y⬘⫽ 0; y1⫽ ln x 12. 4x2y⬙⫹y⫽ 0; y 1⫽x1/2 ln x 13. x2y⬙⫺xy⬘⫹ 2y⫽ 0; y1⫽x sen(ln x) 14. x2y⬙⫺ 3xy⬘⫹ 5y⫽ 0; y 1⫽x2 cos(ln x)
15. (1 ⫺ 2x⫺x2)y⬙⫹ 2(1 ⫹x)y⬘⫺ 2y⫽ 0; y1⫽x⫹ 1
16. (1 ⫺x2)y⬙⫹ 2xy⬘⫽ 0; y1⫽ 1
En los problemas 17 al 20 la función que se indica y1(x) es una
solución de la ecuación homogénea asociada. Use el método de reducción de orden para determinar una segunda solución
y2(x) de la ecuación homogénea y una solución particular de la
ecuación no homogénea dada.
17. y⬙⫺ 4y⫽ 2; y1⫽e⫺2x
18. y⬙⫹y⬘⫽ 1; y1⫽ 1 19. y⬙⫺ 3y⬘⫹ 2y⫽ 5e3x; y
1⫽ex
20. y⬙⫺ 4y⬘⫹ 3y⫽x; y1⫽ex
Problemas para analizar
21. a) Proporcione una demostración convincente de que la ecuación de segundo orden ay⬙⫹by⬘⫹cy⫽ 0, a, b,
y c constantes, tiene siempre cuando menos una solu-
ción de la forma y1 em1x, m1 es una constante.
b) Explique por qué la ecuación diferencial que se pro- porciona en el inciso a) debe tener una segunda solu-
ción de la forma y2 em2x o de la forma y
2 xem1x,
m1 y m2 son constantes.
c) Analice de nuevo los problemas 1 al 8. ¿Puede explicar por qué los enunciados de los incisos a) y b) anteriores no se contradicen con las respuestas de los problemas 3 al 5?
22. Compruebe que y1(x) ⫽x es una solución de xy⬙ – xy⬘⫹
y ⫽ 0. Utilice la reducción de orden para encontrar una segunda solución y2(x) en la forma de una serie infi nita.
Estime un intervalo de defi nición para y2(x). Tarea para el laboratorio de computación 23. a) Compruebe que y1(x) ⫽ex es una solución de
xy⬙⫺ (x⫹ 10)y⬘⫹ 10y⫽ 0.
b) Use la ecuación (5) para determinar una segunda solu- ción y2(x). Usando un SAC realice la integración que
se requiere.
c) Explique, usando el corolario (A) del teorema 4.1.2, por qué la segunda solución puede escribirse en forma compacta como . y2(x) 10 n 0 1 n!x n