OUTLINE OF THE THESIS

fenomenología histórica y en el análisis de fenomenología pura.

El análisis de fenomenología histórica, determina cuáles son los fenómenos que el objeto organiza en momentos fundamentales de su desarrollo histórico; por lo tanto, se presentan los aportes que han realizado diferentes comunidades y civilizaciones como la Maya, la Inca, la Egipcia, la Romana, la Azteca, la China, la Babilónica, la India entre otras; con relación a los conceptos de correspondencia uno a uno, ordinalidad, cardinalidad, agrupación, el cero, el principio de posicionalidad, y el SND. Mientras que el análisis de la fenomenología pura es el

proceso mediante el cual se describen los fenómenos que están organizados en las matemáticas en su momento actual y sus usos; por lo tanto, se toma como referencia la teoría de conjuntos, con relación a la axiomática, los números naturales y el sistema de numeración.

2.2.4.1 El número en la prehistoria: cardinalidad, ordinalidad y conteo.

Inicialmente los hombres carecían de una concepción explícita de número; sin embargo, aprendieron a tomar ciertas conclusiones importantes para su vida, conclusiones que podrían denotarse de tipo cuantitativo. El hombre se basaba en la apreciación global del espacio ocupado por los objetos, desde una perspectiva sensitiva. A partir del reconocimiento de fenómenos cuantitativos algunas tribus podían establecer la distinción entre la unidad y el par, y algunas otras podían establecer la distinción entre la unidad, el par y la pluralidad (Conant, 1994; Gerdes, 2008).

Sin embargo, los números van más allá de la percepción. Las necesidades del hombre en tareas relacionadas con el comercio, la riqueza, el trabajo, los terrenos, las pertenencias, etc. en las que se demanda el uso de cantidades mayores a las que la percepción admite, permitieron la invención del primer procedimiento aritmético utilizado para llevar a cabo el conteo y la correspondencia uno a uno. El hombre empieza a utilizar algunas expresiones como por ejemplo: "Vi tantas gacelas como dedos tiene mi mano" en las que se usa la correspondencia uno a uno (Gerdes, 2008).

Al realizar la correspondencia uno a uno entre los objetos de una colección con los objetos de otra colección, se desprende una noción abstracta, que corresponde a lo que es común a las dos colecciones independiente de su naturaleza, el cardinal. Más aún, por medio de la correspondencia el hombre puede reconocer diferencias cuantitativas entre conjuntos y establecer relaciones de orden y de equivalencia entre cantidades (Anacona, Arbeláez y Recalde, 1998).

El surgimiento de la noción de orden se evidencia en las culturas primitivas de diferentes maneras, algunas refieren a la técnica de conteo corporal como precursora del orden, otras hacen referencia al carácter religioso de los números y otras al carácter naturalista del concepto.

Con relación a la “técnica de conteo corporal” (Ifrah, 1987) se puede afirmar que consiste en tocar diferentes partes del cuerpo en un orden determinado hasta llegar a la parte

del cuerpo que se desea, de esta manera el hombre obtienen tantos objetos como partes del cuerpo ha tocado (Ver ilustración 12).

Por otra parte, el carácter religioso que se le atribuía en su tiempo a los números posibilita la construcción de la noción de orden usando otras técnicas diferentes al conteo corporal. Según Ifrah (1987), un pastor musulmán de cierto país del Cercano Oriente por el temor ancestral del “pecado de la numeración” cuenta las ovejas recitando una letanía, de manera que pronuncia las sucesivas palabras del recitado cada vez que pasa una oveja ante él, cuando el último animal pasa, retiene la palabra correspondiente, palabra que simboliza la cantidad del rebaño. Del mismo modo, el hombre ha usado las canciones, las narraciones, la lista de nombres, los meses del año o las letras, en un orden establecido para determinar la cantidad de una colección.

De otro lado, Urton (como se citó en Blanco, 2009) exhibe la manera en que otras culturas (los Yoruba de África, los Mayas y los Incas) presentan la noción de orden desde la ontogénesis naturalista a partir de dos explicaciones antropológicas una con relación al tiempo y otra con relación a la reproducción. La primera explicación tiene que ver con la manera en que los Yoruba de África y los Mayas ordenaron el tiempo haciendo uso de los calendarios, en ellos se aprecia una relación biunívoca entre un evento natural y la posición en una secuencia ordenada en el tiempo. Y la segunda explicación tiene que ver con las sucesiones ordenadas que se dan en la reproducción. Los Incas usan los nombres mama, apaña, iskay apaña y kinsa apaña para designar, respectivamente, la primera, segunda, tercera y cuarta mazorca de la

Ilustración 12. Técnica corporal utilizada por los Papúes en Nueva Guinea

planta. Incluso establecen relaciones de orden entre las mazorcas usando la propiedad transitiva6.

Teniendo en cuenta lo anterior, la noción de orden es indispensable en el conteo. Al respecto, Anacona et al. (1998) mencionan que el número asignado al último elemento de la colección es denominado número ordinal de la colección, un sistema ordinal debe cumplir con dos características: sus términos deben encontrarse en secuencia y ser inagotables (encontrarse en sucesión, 1, 2, 3, 4…).

Aunque se reconoce la noción de cardinalidad y la noción de orden en el conteo, no se deben tomar de manera independiente en el conteo y en la comprensión del CNN. Ambos conceptos están estrechamente ligados, el hombre comprende el número en la medida en que comprende el número como cardinal y ordinal. En el conteo el número cardinal determina la pluralidad de una colección, mientras el número ordinal es el elemento de un conjunto modelo que se hace corresponder al último componente de la colección, es decir al último elemento en el proceso de contar (Anacona et al., 1998).

Respecto a la noción de sucesor, el hombre puede construir la serie numérica agregando cada vez un elemento al conjunto. Teniendo en cuenta el orden de la sucesión aparecen los números naturales, los cuales se obtienen sucesivamente, a partir de “uno”, y añadiendo la unidad al número que le antecede, a esto se le llama principio de recurrencia o noción de sucesor.

Todo lo anterior, pone en relieve varios elementos importantes en términos históricos para llegar a la espléndida facultad de contar. De un lado, el hombre primitivo en un comienzo basaba su pensamiento numérico en la apreciación global del espacio ocupado por los objetos desde el aspecto perceptivo. Fueron las necesidades del hombre, las que lo impulsaron al descubrimiento del primer principio aritmético para llevar a cabo el conteo, la correspondencia uno a uno, principio que permite un acercamiento a la comprensión de la noción de cantidad; dicho principio junto con la propiedad transitiva y el principio de recurrencia (noción de sucesor) son conceptos fundamentales en la comprensión del número como cardinal y como ordinal. En síntesis, cuando el hombre comprende el número como

6_{Propiedad transitiva, es decir: sean a, b y c elementos del conjunto A, entonces se cumple que: si aRb y bRc} entonces aRc. Sea R: cronológicamente mayor, a: mama, b: apaña y c: iskay apaña, entonces si aRb (mama es cronológicamente mayor que apaña) y bRc (apaña es cronológicamente mayor que iskay apaña) entonces aRc

cardinal y como ordinal tiene las herramientas necesarias para poder llevar a cabo el conteo de los elementos de la colección.

2.2.4.2 Edad antigua: La agrupación y la representación simbólica del número. Cuando el hombre reconoce y diferencia el aspecto cardinal y ordinal del número, y además de ello empieza a contar colecciones cada vez más amplias, es ahí donde se encuentra con el problema de ¿Cómo contar colecciones cada vez más amplias?

Bishop (1999) da a conocer que el aumento de la cantidad de las colecciones propicia el espacio para desarrollar sistemas numéricos acordes a las necesidades de la sociedad. Para resolver la cuestión antes expuesta el hombre tuvo que recurrir a la agrupación, también conocida como la base del sistema de numeración. Blanco (2009) explica que para que el hombre tomara en consideración el concepto de base, primero tuvo que ser capaz de reconocer la multiplicidad como una nueva unidad. El hombre resuelve el problema antes expuesto, cuando reconoce que agrupando multiplicidades se crean nuevas unidades de orden superior. Al usar el concepto de agrupación, el hombre apela de manera indiscutible a las operaciones de la multiplicación y la adición.

En el transcurrir de los tiempos el hombre ha utilizado diferentes maneras de agrupar las colecciones obteniendo así distintos sistemas de conteo. Lancy (como se citó en Bishop, 1999) agrupa 225 diferentes sistemas de conteo en cuatro tipos: 1) Sistema de marcas referidas a las partes del cuerpo; 2) Sistemas de marcas usando contadores, como palitos, la base numérica esta usualmente entre 2 y 5; 3) Sistema numérico mixto de bases 5 y 20. 4) Sistema base 10.

Teniendo en cuenta lo anterior, cuando el hombre reconoce la multiplicidad como una nueva unidad, admite la noción de agrupamiento o de base para llevar a cabo el conteo. Sin embargo, para las tribus no era suficiente determinar una base para realizar el conteo, hace aproximadamente cinco mil años7, las sociedades avanzadas se vieron en la necesidad de representar de manera simbólica la cantidad dependiendo del sistema de numeración, el cual podría ser aditivo, multiplicativo y/o posicional.

Entre los sistemas de numeración aditivos se reconoce el sistema de numeración egipcio, el griego y el Romano. Alrededor del año 3000 a. C. aparece la numeración

7 _{Hacía al año 3300 a.C. los elamitas realizaron las primeras simbolizaciones de la cantidad en la superficie de}

jeroglífica de los egipcios. Collette (1985) da a conocer que los egipcios utilizaban dos sistemas de numeración el sistema jeroglífico y el sistema hierático. El sistema jeroglífico es de base decimal, no posicional y con principio aditivo. Este sistema de numeración presentaba una limitación relacionada con la cantidad de repeticiones que deben hacerse para representar algunos números. Mientras que el sistema de numeración hierático es decimal, aditivo y el principio de repetición es sustituido por la realización de signos especiales. Es decir, hay signos para representar los números del 1 al 10 y los nudos (10, 20, 30…; 100,200, 300…etc.). Por ejemplo, para representar el número 3577 se utilizan solo 4 símbolos en la notación hierática, mientras que en la notación jeroglífica se necesitaron 22 (Ver ilustración 13).

Ilustración 13. Representación del número 3577 en el sistema de numeración hierático y jeroglífico egipcio (Ifrah, 1987)

Así mismo, los griegos y los romanos, tenían un sistema de numeración aditivo. Las comunidades utilizaron las letras del alfabeto para representar los números. Estos sistemas en contraposición a los anteriores, tienen un carácter abstracto, diferente al carácter empírico de la matemática egipcia, al tratar de adoptar la letra como medida de pluralidad (Anacona et al., 1998); sin embargo, presentan una desventaja, es necesario crear un nuevo signo cada vez que se quiere representar una potencia de orden superior.

El hombre siguió buscando otras estrategias para representar el número de una manera más práctica y económica. Al respecto, los Chinos, los Babilonios y los Mayas dieron grandes aportes al sistema de numeración relacionados con la multiplicación, la posicionalidad y el cero.

La civilización China usó dos sistemas de numeración. uno de ellos, fundamentado en el principio multiplicativo y otro en el de posicionalidad. El sistema de numeración multiplicativo, es base 10, comprende trece signos fundamentales correspondientes a las nueve unidades y las cuatro primeras potencias de diez, usando el principio aditivo y multiplicativo se representan los números (Ver ilustración 14).

Ilustración 14. Representación del número 20 y 23 en el sistema de numeración Chino (Ifrah, 1987)

A pesar de este avance, no se pueden representar todos los naturales, cada vez que el hombre se encontraba con una potencia mayor era necesario crear otro símbolo, además era muy difícil realizar operaciones aritméticas con estas representaciones. El descubrimiento del principio de posición y el cero permitió eliminar este problema.

El principio de posicionalidad, fue descubierto a comienzos del segundo milenio a. C. en Mesopotamia. Para la comunidad babilónica, el valor de las cifras depende de la posición en la que se encuentren, el sistema era mixto (base10 y base 60) y tenían sólo dos signos para representar todos los números el 1 (clavo) y el 10 (espiga). En el siglo III a. C. se crea el cero babilónico, pero el cero en esta época no era concebido como una cantidad, sino como un lugar vacío en el orden posicional. Por ejemplo: para escribir 7424(60) se utiliza el cero de la siguiente forma (ver tabla 5)

Tabla 5.

Representación del número 7424 en el sistema de numeración babilónico.

Dos mil años más tarde, los chinos redescubrieron el sistema de numeración posicional, utilizando los símbolos numéricos del uno al nueve y los nueve primeros múltiplos de diez, alternando cada símbolo de derecha a izquierda (Collette, 1985). Para representar la nada en un orden determinado (ver ilustración 15), los chinos introducen casillas vacías en la representación del número (Ifrah, 1987) y solo a partir del siglo VIII d. C se crea la representación del cero, resolviendo la dificultad de representar la cantidad nula.

Ilustración 15. Representación del número 20.064 usando el sistema de numeración Chino.

Sin embargo, es a la civilización Maya a la que se le atribuye la elaboración de una numeración posicional y la invención del cero. Esta civilización usa un sistema de numeración vigesimal en el cual se utiliza símbolos como el punto (1), la raya (5) y la concha (0) (Ver ilustración 16).

Ilustración 16. Sistema de numeración Maya

El uso de 19 cifras; la invención del cero y la posicionalidad les permitió simplificar sus expresiones. Para esta civilización el cero era considerado como ausencia de unidades de determinado orden; sin embargo, la elección de las potencias hace que el cero maya carezca de cualquier posibilidad operacional (Ifrah, 1987).

En conclusión, emplear agrupaciones en el conteo implica una relación clara, directa y fundamentada en operaciones de carácter aditivo y/o multiplicativo. En los sistemas antes expuestos, se reconoce la influencia de la noción de base en la representación notacional de las cifras, lo que parece común en ellos es la elaboración de símbolos para representar los

números que comprenden la base8 (símbolos del 1 al 9), algunos de ellos incluyeron símbolos

para representar los nudos (10, 20, 30… etc.) o para representar las potencias de las base (101

,

102, 103… etc.). En este sumario, se pueden apreciar diferentes elementos que influyeron en la

consolidación del SND, como la noción de base, la estructura aditiva, la estructura multiplicativa, la posicionalidad y la conceptualización del cero como un número, elementos

que influyeron de manera directa en los desarrollos matemáticos realizados en cada civilización.

2.2.4.3 La representación simbólica del SND actual: los árabes y los hindúes.

Aunque las civilizaciones hicieron grandes descubrimientos no construyeron la representación simbólica actual del SND. Esto se dio al norte de la India, alrededor del siglo III a C. donde nació el antecesor del SND también conocido como notación Brahmi y donde se establecieron las bases del cálculo escrito (Ifrah, 1987).

Los árabes tomaron el sistema decimal de la India desde el siglo VII d. C. a partir de una traducción al latín del libro Muhammad abn Musa al Khuwatizmi, sobre los números Hindúes. Con el libro traducido se pensó que los árabes eran los que habían utilizado esta escritura (Smith y Ginsburg, 1994).

Ilustración 17. Cambios de los numerales desde el siglo III a.C. hasta la época actual Estas dos culturas la hindú y la árabe, refinaron los sistemas antes descritos, de esta manera, la escritura del SND se hereda de oriente, construida a través de muchos siglos de historia (ver ilustración 17). A finales del siglo VI los sabios hindúes, pulieron el concepto de cero, fue concebido como un número que significa “vacío” o “nada”, este hecho constituyó un gran avance en la búsqueda de la representación adecuada y de fácil manipulación. (Ifrah, 1987).

El SND tiene como idea fundamental el predominio de la agrupación en paquetes de diez (unidades, decenas, centenas, etc.) y es posicional. Este sistema es base diez, utiliza diez notaciones (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0), los nueve primeros números representan las unidades de

primer orden y la cifra 0 representa el concepto de “cero”. La base diez, se escribe como 10 y representa una decena y cero unidades.

2.2.4.4 El número en la antigüedad griega, la edad media y el renacimiento. En la antigüedad griega se resalta la conceptualización del número desde los planteamientos de Pitágoras, Platón, Aristóteles, y Euclides (Anacona et al., 1998).

Para los pitagóricos los números son en sí mismos “el elemento material, el elemento formal, las causas; son los principios que se encuentran en todos los seres de la naturaleza… En consecuencia, los números son cosas porque las cosas son números” (Brun, 1992). Los pitagóricos estudiaron los números según sus propiedades y los clasificaron en pares, impares, amistosos, perfectos, abundantes, deficientes e iniciaron el camino para el estudio de los números figurados (Anacona et al., 1998).

Por otro lado, Platón reconoce el número desde dos perspectivas: “el número aritmético”, que es un ente ideal, que pertenece al reino de la matemática, concebido como un ente de naturaleza abstracta que se forma por la agrupación de unidades totalmente iguales; y “el número numerado” que sirve para “contar” los objetos de la realidad empírica.

De acuerdo a los planteamientos de Aristóteles al igual que para Euclides, el número es una pluralidad de unidades, pero en esta definición no parece ser aceptado el uno y el cero como números. Euclides expone que “número es una multitud de unidades”.

Los primeros autores latinos del Renacimiento se basaron en autores griegos, sus obras influyeron de manera directa en la enseñanza de las matemáticas de las escuelas hasta el siglo X (Collete, 2006). Además, debido al descubrimiento de los números indo-arábigos que permiten realizar operaciones de manera más sencilla, el siglo XVI es conocido como el siglo de la aritmética (Collette, 1985), en esta época se destacan autores como Stifel, Maurolico y Stevin.

Maurolico y Commandino fueron los precursores del uso del principio de inducción matemática (Collette, 1985) y en este siglo las obras de Aritmética Integra (1544), de Stifel y Aritmeticorum Libri Duo (1575) de Maurolyco, emplean el método de inducción completa o razonamiento por recurrencia, este método es importante en la conceptualización de número natural y en las demostraciones que se hacen para este conjunto numérico (Castro, et al., 1999).

Para Stevin (1634) el número no sólo es el resultado del conteo de cantidades discretas, también es el resultado de la medición de las magnitudes. Más aún, establece que el número puede ser dividido infinitamente y cada fracción de la unidad debe ser considerada como número.

Lo anterior, da a conocer que en la edad Griega, Media y el Renacimiento se realizan aportes al CNN. En las matemáticas de la antigua Grecia se reconoce un grado de abstracción de los números, el surgimiento de la teoría de números, la conceptualización del número teniendo en cuenta sus propiedades. En la Edad media y el Renacimiento se difunde el uso del método inductivo en los números naturales, además se unifica el concepto de unidad, diferente a cómo lo concebían los griegos, no se trata de unidades de naturaleza geométrica o numérica, sino que la unidad se convierte en punto fundamental en todo proceso de conteo o de medición (discreto o continuo). De esta manera, se presenta un vínculo entre número y magnitud, y se establece la unidad cómo número. Stevin (como se citó en Vásquez, 2010) “concilia los aspectos de lo continuo y lo discreto de la cantidad, mediante su definición de número natural. El número actúa con carácter continuo ya que puede ser dividido infinitamente, pero a la vez con carácter discreto puesto que cuantifica”.

2.2.4.5 El número natural en el siglo XIX y en el siglo XX. En estos siglos se