El modelo Rose-Hindmarsh describe la actividad de las neuronas cerebrales, fue propuesto en [7, 18]. Este modelo está dado por:
2 3 1 1 2 3 2 1 3 1 2 2 4 2 5 1 3 6 7 8 6 8 6 3 , , . x a x x a x a x x a x a x x a a a a a x a x = + − + − = − − = − + −
Se propone la función localizadora h x1( )=x2. Realizando operaciones 2
1 4 2 5 1.
f
L h = − −a x a x
Por lo tanto se obtiene 1 2 1| ( )h 4 5 1,
h Ξ = −a a x así h1inf =a4, para a5 < 0, h1sup =a4, para a5 > 0, entonces las órbitas periódicas están localizadas en S1 ={x2 ≥a4}, con a5 < o en 0
el conjunto S2 ={x2 ≤a4}, con a5 > 0.
En la Figura 5.4 se muestran el plano localizado y un caso de órbita periódica, se observa que se cumplen las condiciones de localización, ello es una evidencia gráfica del resultado obtenido. Es tomado un caso particular de [8] en que a1=3.5,
a2=3, a3=1, a4=1, a5=5, a6=0.015, a6=0.12, a7=-1.6, a8=4, con condiciones iniciales
Figura 5.4 Sistema Rose-Hindmarsh . Se obtiene el plano de fase para el modelo en un caso de
solución periódica y la superficie localizada, para ello se toma a1=3.5, a2=3, a3=1, a4=1, a5=5,
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Caappííttuulloo
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Applliiccaacciioonneess..
Las aplicaciones de resultados obtenidos representan una investigación futura, sin embargo se hace mención de las aplicaciones posibles para así tener un panorama de la relevancia del tema. A continuación se mencionan algunas, las cuales resuelven el problema de forma numérica, por lo que sería importante realizar una investigación futura de la factibilidad de la aplicación de algún método analítico para compararlo con los resultados logrados con ese método:
• La resolución del problema de localización es útil para su aplicación en la estabilización de un láser de bióxido carbónico [12].
• Un trabajo referente a la dinámica del ritmo cardiaco, estudia la localización de órbitas periódicas para caracterizar el sistema [16].
• En [31] se realiza un análisis de la importancia de las características de las órbitas periódicas para determinar la robustez de la sincronización de sistemas caóticos.
• Un estudio del fenómeno mecánico del backlash, usa un control PD y con el se obtiene una órbita periódica cuyas características son importantes para lograr establecer una ley de control [15], en [6] las órbitas periódicas son usadas como referencia para diseño de un controlador para sistemas caóticos.
• Redes neuronales presenten fenómenos no lineales que pueden ser representados como caos, en [7] se localizan órbitas periódicas para una red neuronal.
• Para el estudio del comportamiento del flujo sanguíneo en [35] es estudiada la localización de órbitas periódicas.
• Durante el análisis de las comunicaciones seguras por medio del caos para CDMA en [33], se llega a la conclusión que las órbitas periódicas presentes en el caos permiten mejorar la calidad en estas aplicaciones. En [3] se prueba que para una comunicación de este tipo, cuando la señal tiene exceso de ruido, puede ser recuperada por medio de las órbitas periódicas del atractor extraño.
• Para un modelo de la epilepsia en [21], es determinado que una crisis epiléptica es determinada por el comportamiento de las órbitas periódicas en un atractor extraño.
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El método de condiciones de extrema es elegido por que permite resolver el problema por medio de operaciones algebraicas.
En este trabajo de tesis se obtiene la localización de órbitas periódicas, el problema se resuelve para dieciocho sistemas cuadráticos de Sprott y cuatro sistemas más.
En los sistemas de Sprott A, B, D, G, K, O, R y el sistema de interacción de tres ondas se obtiene una superficie cuadrática de localización de órbitas periódicas.
Se establece una superficie lineal que representa un plano en tres dimensiones para los sistemas de Sprott E, F, J, N, Q y S y los sistemas de generador nuclear de spin, Tesi-Abed-Genesio-Wang y Rose-Hindmarsh.
Para los sistemas de Sprott H, I, L, M y P, se establecen dos superficies lineales que reducen la región de localización.
La solución del problema de localización es validada por el método empleado, la observación gráfica se muestra en el contexto de comparación empírica de resultados, la aplicación de herramientas gráficas de validación de estos resultados puede ser tema de investigación futuro.
Las gráficas muestran que la superficie localizadora es cercana al atractor extraño y cumple con las restricciones de localización, por lo que la aseveración en [19]
respecto a que las órbitas periódicas representan el esqueleto del atractor extraño se muestra en este contexto.
Este trabajo de tesis sólo se enfoca en un método analítico de localización, los métodos alternos pueden ser tema de un trabajo de investigación futuro.
Se establece de manera didáctica una metodología para localización de órbitas periódicas que será útil para posteriores investigaciones respecto a este tema.
Los resultados que obtenidos en este trabajo de tesis dan pié a la participación en un congreso internacional [31] y es aprobada una publicación en revista internacional con índice ISI [32].
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Reeffeerreenncciiaass
BBiibblliiooggrrááffiiccaass
[1] Arnold V.I., Ordinary Differential equations. MIT Press, Estados Unidos, Novena Edición, 1995.
[2] Babloyantz, A., Krishchenko, A., & Nosov, A., Analysis and stabilization of nonlinear systems, Computers Math. Applications 34, pp. 356-369, 1997 [3] Carroll, T.L., Spread-spectrum sequences from unstable periodic orbits,
Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications 47, pp. 443– 447, Abril de 2000.
[4] Galias, Z., Proving the existence of periodic solutions using global interval Newton method, Circuits and Systems, pp. 294 - 297, Junio de 1999.
[5] Hindmarsh JL, Rose RM., A model of neuronal bursting using three coupled first order differential equations. Proc. R. Soc. London Ser B., pp. 87-102, 1984.
[6] Jiandong Zhu; Yu-Ping Tan, Stabilizing periodic solutions of chaotic systems, Decision and Control, 2003. Proceedings. 42nd IEEE Conference 2, pp. 1879–1883, Diciembre de 2003
[7] Jin'no, K.; Nakamura, T.; Saito, T. Analysis of bifurcation phenomena in a 3- cells hysteresis neural network, Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications 46 , pp. 851 – 857, July 1999
[8] Khalil H., Nonlinear Systems, Second Edition, Prentice Hall, 1996.
[9] Kocarev L, Parlitz U, Hu B., Lie derivatives and dynamical systems, Chaos, Solitions & Fractals 9, 1359-66, 1998.
[10] Krishchenko AP, Estimation of domains with cycles, Computers Math. Applications 34, pp. 325-32,1997.
[11] Krishchenko AP, Localization of limit cycles, Differential Equations 31, pp. 1826-33, 1995.
[12] Lefranc, M., Bielawski, S., Derozier, D., Glorieux, P. Characterization and control of laser chaos using unstable periodic orbits, 8th IEEE Annual Meeting Conference Lasers and Electro-Optics Society 1, pp.35-36, 1995.
[13] Lim, E., Mareels, I., Locating periodic orbits from experimental data, IEEE Decision and Control Conference 37, pp. 2449 – 2454, Diciembre de 1998. [14] Marquez Horacio J., Nonlinear Control Systems, Analysis and Design,
Wiley-Interscience, Estados Unidos, 2003.
[15] Mata-Jimenez, M.T.; Brogliato, B. Goswami, A., On the control of mechanical systems with dynamic backlash, IEEE Decision and Control 36th Conference 2 , pp.1990 – 1995, Diciembre de 1997.
[16] Narayanan, K.; Govindan, R.B.; Raddy, M.R.; Gopinathan, M.S., Dynamics of cardiac system through unstable periodic orbits, IEEE Engineering in Medicine and Biology society 19th Conference 5, pp. 2019 – 2021, Noviembre de 1997
[17] Nikolov S., An alternative bifurcation analysis of the Rose-Hindmarsh model, Chaos, Solitions& Fractals 23, pp. 1643-1649, 2005
[18] Ogorzalek, M.J.; Galias, Z.; Chua, L.O., Exploring chaos in Chua's circuit via unstable periodic orbits Circuits and Systems, ISCAS '93, 1993 IEEE International Symposium 4, pp. 2608 - 2611, Mayo de 1993
[19] Panchev S., Analytic properties of the Sprott’s chaotic flows. Chaos, Solitions and Fractals 21, pp. 721-28, 2004.
[20] Pikovski, A.S., Rabinovich, M.I., Trakhtengerts, V.Y., Appearance of chaos at decay saturation of parametric instability. Sov. Phys. JETP 47, pp. 715- 719, 1978
[21] Slutzky, M.W.; Mogul, D.J., Modification of epileptiform bursting using chaos control. Engineering in Medicine and Biology Society,. Proceedings of the 22nd Annual International Conference of the IEEE 2, pp.1425-1428, Julio de 2000
[22] Sprott JC, Some simple chaotic flows, Physical Review 50, pp. 647-650, 1994
[23] Starkov K, Krishchenko AP. Ellipsoidal estimates for domains containing all periodic orbits of general quadratic systems, En CD-ROM de memorias de Conferencia Internacional “16th Internat. Symposium on Mathematical Theory of Networks and Systems”, Bélgica, 2004.
[24] Starkov K, Krishchenko AP. Localization of periodic orbits of polynomial systems by ellipsoidal estimates, Chaos, Solitons & Fractals 23, Holanda, pp. 981-988, 2004
[25] Starkov K. Localization of periodic orbits of autonomous systems based on high order extremum conditions, Mathematical Problems in Engineering 3, Estados Unidos, pp. 277-290, 2004
[26] Starkov K. Localization/nonuniqueness condition of periodic orbits of polynomial systems and its applications. En CD-ROM de memorias de Conferencia Internacional ”Physics and Control 2003”, Rusia, pp. 595-600, 2003.
[27] Starkov K. Some results on periodic orbits of polynomial systems. Stability and Control: Theory and Applications 4, pp. 30-42, 2002.
[28] Starkov K., Luis Coria de los Rios, Examples of localization of periodic orbits of polynomial systems, En CD-ROM de memorias ”Physics and Control 2005”, Rusia, 2005.
[29] Starkov K., Luis Coria, Localization of periodic orbits of polynomial Sprott systemas with one or two quadratic monomials, International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation 6 (3), pp. 271-277, 2005.
[30] Strogatz S. H. Nonlinear Dynamics and Chaos: With applications to physics, biology, chemistry, and engineering, Addison-Wesley, 1994.
[31] Sushchik, M.M., Jr.; Rulkov, N.F.; Abarbanel, H.D.I.; Robustness and stability of synchronized chaos: an illustrative model, Circuits and Systems I. Fundamental Theory and Applications 44, pp. 867 – 873, Octubre de 1997 [32] Tesi A, Abed EH, Genesio R, Wang HO. Harmonic balance analysis of
period-doubling bifurcations with applications for control of nonlinear dynamics. Automatica 32, pp. 1255-1271, 1996
[33] Umeno, K.; Kitayama, K. Spreading sequences using periodic orbits of chaos for CDMA. Electronics Letters 35, pp. 545– 546, Abril de 1999
[34] Xu WG., Li QS. Chemical chaotic schemes derived from NSG system. Chaos, Solitions& Fractals 15, pp. 663–671, 2003.
[35] Yamaguchi, A.; Mikami, S.; Wada, M., Identification of biological internal dynamics using a structure of unstable periodic orbits. Systems, Man, and Cybernetics 1 , pp. 217 – 222, Octubre de 1999