B(E2; 0++2+) e2 b
5.5 The Particle-Vibration Coupling Model
Las explosiones son una familia muy amplia de homomorfismos birracionales entre esquemas, que, seg´un veremos, nos permitir´an resolver las singularidades
1Notemos que esto implica que la ecuaci´on es irreducible enQ[X, Y, Z] y, como sus coefi-
cientes son primos entre s´ı, tambi´en lo es enZ5[X, Y, Z], lo que justifica queX es realmente
de las superficies fibradas, es decir, transformar una superficie fibrada singular en otra regular. Empezamos defini´endolas en el caso de esquemas afines.
Sea A un anillo noetheriano eI un ideal de A. Consideramos laA-´algebra graduada
A=
d≥0 Id,
donde entendemos queI0=A. Pongamos queI= (f1, . . . , fn), y vamos a iden-
tificar cadafi con el correspondiente elemento deA0, es decir, con (fi,0,0, . . .),
mientras que llamaremosti = (0, fi,0,0, . . .)∈A1. Es claro que t1, . . . , tm son
un generador deAcomoA-´algebra. Observemos tambi´en que si P(T1, . . . , Tn)
es un polinomio homog´eneo con coeficientes enA, entoncesP(t1, . . . , tn) = 0 si
y s´olo siP(f1, . . . , fn) = 0.
Definici´on 5.12 Si X = EspA es un esquema af´ın noetheriano y C es un subesquema cerrado, que ser´a de la forma C = Esp(A/I), para cierto ideal I, llamaremosexplosi´ondeX con centro (o sobre)C al esquemaX = ProyA. La estructura deA-´algebra deAdetermina un homomorfismoπ:X −→X.
Veamos algunas propiedades:
a) X =∅si y s´olo siI es nilpotente (lo que equivale a queCred=Xred). En efecto,X =∅si y s´olo si todos losti son nilpotentes, lo que equivale
a que lo sean todos losfi, lo que equivale a que lo seaI.
b) Aes reducido o ´ıntegro si y s´olo si lo es A.
Una implicaci´on es obvia. Pongamos que Aes ´ıntegro pero que a,b ∈A cumplen ab = 0, pero a = 0 = b. Sean am y bn sus componentes ho-
mog´eneas de mayor grado. Entonces ambn = 0 (en A) y ambos facto-
res son no nulos, contradicci´on. El argumento para anillos reducidos es an´alogo.
c) Sea B unaA-´algebra plana y seaB laB-´algebra graduada asociada a al idealIB. EntoncesB∼=B⊗AA.
En efecto, Id⊗
AB ∼=IdB= (IB)d, por lo que
B∼=
d≥0
Id⊗AB∼=A⊗AB.
d) SiIest´a generado por un elemento regularf1, entoncesA∼=A[X], por lo queX ∼=X.
En efecto, el homomorfismo φ: A[X] −→ A dado por X → t1 es clara- mente un isomorfismo.
e) En general, consideremos el epimorfismo φ : A[X1, . . . , Xn] −→ A dado
porXi→ti. Si llamamosxi=Xi/X1, tenemos queφinduce un epimor- fismo φ1 :A[x2, . . . , xn]−→A(t1) dado por xi →ti/t1. Vamos a probar que un polinomio P ∈ A[x2, . . . , xn] est´a en el n´ucleo de φ1 si y s´olo si existe und≥0 tal quefd
1P ∈(f1x2−f2, . . . , f1xn−fn).
En efecto, es claro que cadaf1xi−fiest´a en el n´ucleo deφ1, luego sif1dP est´a en el ideal generado por estos polinomios, entonces fd
1φ1(P) = 0. Pongamos que φ1(P) =u/tn
1, donde u∈In. Entoncestm1f1du= 0, para ciertom≥0, luegof1m+du= 0, luegoφ1(P) = 0.
Consideremos ahora un polinomio P arbitrario. Dividiendo en el anillo Af1[x3, . . . , xn][x2] podemos descomponer
f1d1P=Q1(x2, . . . , xn)(f1x2−f2) +R1(x3, . . . , xn),
para ciertos polinomios Q1, R1 con coeficientes en A y cierto d1 ≥ 0. (Notemos que para que exista la divisi´on eucl´ıdeaf1ha de ser una unidad.) Ahora dividimos R1 entre f1x3−f3 y, tras un n´umero finito de pasos, llegamos a que f1dP = n i=2 Qi(f1xi−fi) +a,
para ciertoa∈Ay cierto d≥0.
Si P est´a en el n´ucleo deφ1, entoncesaes nulo enA(t1), luego existe un r≥0 tal quetr1a= 0, lo que equivale af1ra= 0. Multiplicando porf1r la igualdad anterior obtenemos otra igual pero cona= 0.
f) Consideremos ahora el homomorfismoψ:A[x2, . . . , xn]−→Af1 dado por
xi →fi/f1. El mismo razonamiento anterior nos da que su n´ucleo es el
mismo que el deφ, luegoA(t1)es isomorfo a la sub´algebra deAf1generada
por los elementosfi/f1.
g) En particular, siX es un esquema ´ıntegro y ning´unfies nulo, el esquema
X es la uni´on de los abiertos principalesUi=D(ti), que son de la forma
Ui = EspAi, dondeAies laA-´algebra generada por losfj/fien el cuerpo
de cocientes deA.
h) Consideremos el ideal homog´eneo J = (fiXj −fjXi)i,j, que claramente
est´a contenido en el n´ucleo deφ, y llamemosZ= Proy(A[X1, . . . , Xn]/J),
que es un subesquema cerrado de PnA−1yφinduce una inmersi´on cerrada
X −→Z. Vamos a probar que siZes ´ıntegro yf1, . . . , fn es un generador
minimal deI, entoncesX ∼=Z.
Para ello basta probar que la inmersi´on cerrada entre los abiertos principa- les determinados portiyXi, respectivamente, lo que equivale a comprobar
queφinduce un isomorfismo
No perdemos generalidad si suponemos i = 1. El miembro izquierdo es igual a A[x2, . . . , xn]/J1, donde J1 = (fixj −fjxi)i,j, entendiendo que
x1= 1. Este ideal coincide conJ1 = (f1xj−fj)j≥2, pues, m´oduloJ1, se cumple quefj=f1xj, paraj≥1, luegofixj−fjxi=f1xixj−f1xjxi= 0.
Hemos de probar queJ1 es el n´ucleo deφ1, el cual, seg´un hemos probado, est´a formado por los polinomiosPtales quefd
1P ∈J1. ComoZes ´ıntegro, sabemos queJ1 es primo, luego basta probar quef1 ∈/ J1, pues entonces la condici´on fd
1P ∈ J1 equivaldr´a a P ∈ J1. Ahora bien, si f1 ∈ J1, entonces es combinaci´on lineal de los polinomiosf1xi−fj(con coeficientes
polin´omicos). Igualando los t´erminos independientes obtenemos quef1es combinaci´on lineal def2, . . . , fn con coeficientes en A, lo que contradice
la hip´otesis de quef1, . . . , fn es un generador minimal deI.
En realidad el concepto de explosi´on que hemos considerado hasta ahora es la versi´on local del concepto general que construiremos a continuaci´on.
Definici´on 5.13 Sea X un esquema. Una OX-´algebra graduada B es un haz
cuasicoherente de OX-´algebras con una graduaci´on B =
n≥0
Bn, donde los Bn
sonOX-m´odulos cuasicoherentes.
Teorema 5.14 Sea X un esquema y B una OX-´algebra graduada. Entonces existe (salvo isomorfismo) un ´unicoX-esquemaf : ProyB−→X tal que existe una familia de isomorfismos hU : f−1[U] −→ ProyB(U) compatible con las restricciones, dondeU recorre los abiertos afines deX.
Demostraci´on: En primer lugar observemos que siU ⊂X es un abierto
af´ın, entoncesB(U) es unaOX(U)-´algebra graduada, luego existe un homomor-
fismo natural ProyB(U)−→U. Vamos a ver que siV ⊂U son abiertos afines en X, entonces existe un isomorfismo natural ProyB(V) ∼= ProyB(U)×U V.
Esto nos da a su vez una inmersi´on abierta
ProyB(V)∼= ProyB(U)×U V −→ProyB(U)×U U ∼= ProyB(U).
M´as precisamente, ProyB(V) se identifica as´ı con la antiimagen de V en ProyB(U). Es con estas inmersiones con las que han de ser compatibles los homomorfismos hU del enunciado. Por otra parte, conviene observar que es-
tas inmersiones no son sino los homomorfismos inducidos por la restricci´on
B(U)−→B(V), que es un homomorfismo graduado.
Supongamos en primer lugar que V = D(a), para un cierto a ∈ OX(U).
EntoncesOX(V) =OX(U)a yB(V) =B(U)a =B(U)⊗OX(U)OX(V), y basta
aplicar el teorema [3.48].
Si V ⊂U es un abierto af´ın arbitrario, podemos cubrirlo por abiertos prin- cipales W ⊂U, que ser´an tambi´en principales en V. Por la parte ya probada, los esquemas ProyB(W) se identifican con los esquemas ProyB(V)×V W, que
forman un cubrimiento abierto de ProyB(V)×V V ∼= V y, por otra parte,
abierto de ProyB(U)×UV. Estos isomorfismos se extienden a un isomorfismo
V ∼= ProyB(U)×UV.
Pasemos ya a la prueba del teorema. La unicidad es inmediata, y los resul- tados que acabamos de obtener prueban la existencia cuandoX es af´ın, pues en tal caso basta tomar ProyB= ProyB(X).
Tambi´en es inmediato que si existe ProyByU ⊂X es un abierto arbitrario, entonces existe Proy(B|U) = (ProyB)×XU. (Si V ⊂U es un abierto af´ın, su
antiimagen en Proy (B|U) es (ProyB)×XV, que se identifica con su antiimagen
en ProyB y, por consiguiente, con ProyB(V) = ProyB|U(V).)
Todo esto implica que existe ProyB|U, donde U recorre todos los abiertos
de X contenidos en un abierto af´ın. Ahora consideramos la familia {Ui}i de
todos los abiertos afines deX, que determina a su vez la familia de esquemas πi:Xi= ProyB(Ui)−→Ui⊂X, definidos sobreX.
ConsideramosXij =πi−1[Ui∩Uj], que es un subesquema abierto deXi que
cumple las condiciones de ProyB|Ui∩Uj. La unicidad nos da un isomorfismo
fij :Xij −→Xji. M´as concretamente, existe un ´unico isomorfismo fij tal que,
para cada abierto af´ınW ⊂Ui∩Uj, se restrinja a la identidad en ProyB(W) a
trav´es de las inmersiones can´onicas
ProyB(W)∼= ProyB(Ui)×UiW −→ProyB(Ui)×UiUi ∼= ProyB(Ui),
ProyB(W)∼= ProyB(Uj)×Uj W −→ProyB(Uj)×Uj Uj ∼= ProyB(Uj).
Esta unicidad hace que se cumplan las hip´otesis del teorema [3.40], que nos da un esquema f : ProyB −→ X que contiene como subesquemas abiertos a los esquemas ProyB(U). M´as concretamente, ProyB(U) =f−1[U], pues si un puntoP ∈ProyBcumple quef(P)∈U, entonces existe un abierto af´ın V tal queP ∈ProyB(V), luego existe un abierto af´ın tal queP∈W ⊂U∩V, luego P ∈f|−U1[W] = ProyB(W)⊂ProyB(U). Esto prueba el teorema.
Definici´on 5.15 En las condiciones del teorema anterior, si Y = ProyB y U ⊂ X es un abierto af´ın, en ProyB(U) tenemos definido el haz inversible
O(1) y, si V ⊂ U es otro abierto af´ın, se comprueba que O(1) se restringe al correspondiente haz de ProyB(V). (Basta probarlo cuando V es un abierto principal de U, en cuyo caso conocemos expl´ıcitamente la inmersi´on abierta.) Esto hace que los haces O(1) se extienden a un haz inversible en Y, al que llamaremos OY(1). Notemos que OY(1) no depende ´unicamente del esquema
Y, sino de laOX-´algebra B.
Ejemplo Si X es un esquema arbitrario, llamamos OX[T0, . . . , Tr] a la OX-
´
algebra graduada determinada por que, para cada abierto U ⊂X, se cumple que (OX[T0, . . . , Tr])(U) = OX(U)[T0, . . . , Tr], con las restricciones inducidas
por las restricciones de X. Sea P = Proy(OX[T0, . . . , Tr]) y π : P −→ X el
homomorfismo estructural. Entonces, P est´a determinado por que, para cada abierto af´ınU ⊂X, se cumple que
Obviamente esto lo cumple el espacio PrX, luego, por la unicidad, concluimos
que Pr
X= Proy(OX[T0, . . . , Tr]). Teniendo en cuenta la definici´on anterior y las
observaciones tras la definici´on [5.49], es claro que el haz OPr
X(1) es el mismo
en el sentido de ambas definiciones.
Definici´on 5.16 SeaX un esquema localmente noetheriano y seaZ un subes- quema cerrado, determinado por un haz coherenteIde ideales deOX. Llamamos explosi´onde X con centro Z al esquema X = Proy
n≥0
In −→X, entendiendo
queI0=O
X.
Notemos que si X es af´ın entoncesI =I, para cierto ideal I de OX(X), y
entoncesX coincide con el definido en 5.12. M´as a´un, por el teorema anterior, si U ⊂X es un abierto af´ın, entonces la restricci´on de π:X −→X a π−1[U] es la explosi´on de U con centro Z ∩U (con la estructura de subesquema ce- rrado determinada porI|U). En otros t´erminos, toda explosi´on es localmente la
explosi´on de un esquema af´ın.
Veamos ahora las propiedades b´asicas de las explosiones, para lo que conviene introducir la notaci´on siguiente:
En general, sif :Y −→X es un homomorfismo de esquemas e I es un haz cuasicoherente de ideales deOX, entonces tenemos un homomorfismo can´onico
f∗I−→f∗OX =OY. LlamaremosIOY a su imagen.
Teorema 5.17 Sea X un esquema localmente noetheriano, sea Z un subes- quema cerrado determinado por un haz cuasicoherente I de ideales de OX y llamemos π:X −→X a la explosi´on de centroZ. Entonces:
a) π es un isomorfismo si y s´olo siI es inversible. b) π:X −→X es un homomorfismo propio.
c) Si f :Y −→X es un homomorfismo plano de esquemas localmente noe- therianos yρ:Y −→Y es la explosi´on deY con centro en el subesquema determinado por IOY, entonces Y ∼=X ×XY.
d) π se restringe a un isomorfismoπ−1[X\Z]−→X\Z.
e) Si X es ´ıntegro, X tambi´en lo es, y si I= 0entonces π es birracional y, por consiguiente, dimX = dimX.
f ) IOX=OX(1). En particularIOX es un haz inversible. g) Si X es af´ın, entoncesO
X(1)es muy amplio respecto a π.
Demostraci´on: a) SiIes inversible, entoncesX puede cubrirse por abier-
tos afines U tales que I(U) est´a generado por un elemento regular, luego la propiedad d) tras la definici´on 5.12 nos da queπes un isomorfismo.
Siπes un isomorfismo, la propiedad f) de este teorema (cuya prueba no usa este apartado) implica queIOX =I es inversible.
b) SiX es af´ın, entoncesπes obviamente proyectivo, luego propio sobreX. Ser propio es local en la base, luego todas las explosiones son propias.
c) SeaU ⊂X un abierto af´ın yV ⊂f−1[U] un abierto af´ın. La propiedad c) tras la definici´on 5.12 implica que V ∼=U×U V =U×XV. Los dos miembros
son abiertos enY yX×XY, respectivamente, y al variarU yV cubren ambos
esquemas. Es f´acil ver que los isomorfismos son consistentes entre s´ı, por lo que se extienden a un isomorfismo entre los espacios completos.
d) Sea U =X\Z. EntoncesI|U =OX, luego a) implica que la explosi´on
U =π−1[U]−→U es un isomorfismo.
e) La propiedad b) tras la definici´on 5.12 implica queXes localmente ´ıntegro. Basta probar que es conexo. SiX =U∪V, dondeU yV son abiertos no vac´ıos, entonces ha de serπ−1[X\Z]⊂U. TomemosP ∈V, de modo que π(P)∈Z, seaW un entorno af´ın deπ(P), que necesariamente cortar´a aX\Z. Cualquier punto Q ∈ W \Z tiene una antiimagen Q ∈ U, pero entonces es claro que π−1[W] no puede ser conexo, pero ha de serlo por la propiedad b) citada.
SiI= 0 (puesto queX es ´ıntegro) la propiedad a) tras la definici´on 5.12 im- plica queπ−1[X\Z]=∅, luegoπes birracional. La igualdad de las dimensiones se sigue del teorema 3.10.
f) No perdemos generalidad si suponemos queX = EspA, en cuyo casoI=
I, dondeI= (f1, . . . , fn) es un ideal deA. A partir de aqu´ı usamos la notaci´on
previa a la definici´on 5.12. Sea Ui =D(ti), la restricci´onπ|Ui : Ui −→ X se
corresponde con el homomorfismo naturalA−→A(ti).
Por otra parte, (π∗I)(Ui) =I⊗AA(ti), de donde se sigue que (IOX)(Ui) es el
ideal deA(ti)generado porf1, . . . , fn. Ahora bien, comofj=fi(tj/ti), resulta
que (IOX)(Ui) est´a generado porfi, mientras que elOX(Ui)-m´oduloOX(1)(Ui)
est´a generado porti. Las relaciones
fj=fi(tj/ti), tj =ti(tj/ti)
implican que los isomorfismos dados porfi →ti se extienden a un isomorfismo IOX∼=OX(1).
g) Mantenemos la notaci´on del apartado anterior. El epimorfismo natural A[X1, . . . , Xn]−→Ainduce una inmersi´on cerradai :X −→PnA−1, y es claro
quei∗OPn−1
A (1) =OX(1).
Ahora demostraremos que la explosi´on de un esquema proyectivo es proyec- tiva. Para ello necesitamos un resultado previo.
Teorema 5.18 Sea X un esquema, B una OX-´algebra graduada y N un haz inversible en X. Sea C la OX-´algebra graduada dada por Cn = Nn⊗OX Bn.
Entonces existe un isomorfismo ρ : ProyB −→ ProyC tal que ρ∗OProyC(1) =
Demostraci´on: Es f´acil ver que C tiene una estructura natural de OX-
´
algebra graduada. Sea {Ui} un cubrimiento deX por abiertos afines tales que
existen isomorfismosφi:N|Ui−→OUi. ´Estos inducen claramente isomorfismos
de OX(Ui)-´algebras ψi : C|Ui −→B|Ui, que a su vez inducen isomorfismos de
esquemas ρi : (ProyB)|Ui −→ (ProyC)|Ui. Si partimos de otros isomorfismos
φi llegamos a otros isomorfismos ρi, de forma queρi◦ρ−i1 es el automorfismo inducido por φi◦φ−i1 : OUi −→ OUi, que necesariamente est´a inducido por la
multiplicaci´on por un ai ∈ OX(Ui)∗. Ahora bien, es claro que esto induce la
identidad sobre ProyB(Ui) (induce la identidad en cada anilloB(Ui)(t)), luego concluimos que ρi = ρi. Teniendo esto en cuenta es f´acil ver que los ρi se
extienden a un isomorfismoρ, como indica el enunciado. La ´ultima igualdad se sigue de una comprobaci´on rutinaria a partir de la construcci´on.
Teorema 5.19 SeaAun anillo noetheriano yX/Aun esquema cuasiproyectivo sobreA. Siπ:X −→X es una explosi´on con centro en el subesquema cerrado asociado a un haz de ideales I, entonces π es proyectivo sobre A y IO
X es un haz muy amplio para π.
Demostraci´on: SeaNun haz amplio enX. Sustituy´endolo por una poten-
cia, podemos suponer queN⊗OXItiene un generador global. (Observemos que
Ies finitamente generado, puesX es noetheriano.) Consideremos laOX-´algebra C=
n≥0
(Nn⊗OX I
n).
(Notemos que la primera potencia se refiere al producto tensorial, mientras que la segunda al producto de ideales.) El teorema anterior nos da un isomorfismo ρ : X −→ ProyC. Llamemos f : ProyC −→ X al homomorfismo natural. El hecho de que C1 tenga un generador global implica (por el teorema [5.32]) que existe un epimorfismo OrX+1 −→ C1. Este epimorfismo induce a su vez un epimorfismoOX[T0, . . . , Tr]−→C, el cual induce a su vez una inmersi´on cerrada
i: ProyC−→PrX,
de modo que i∗OPr
X(1) = OProyC(1). Ahora basta considerar el isomorfismo
ρ:X −→ProyC dado por el teorema anterior, con el que podemos formar la inmersi´on cerradaj =ρ◦i : X −→ PrX, que est´a definida sobre X y cumple
quej∗OPr
X(1) =OX(1).
Ahora es inmediato el teorema siguiente:
Teorema 5.20 SiX/S es una superficie fibrada yπ:X −→X es la explosi´on deX respecto de un subesquema cerrado distinto del propio X, entonces X/S
es una superficie fibrada.
Demostraci´on: El teorema 5.17 nos da que X es un esquema ´ıntegro de
dimensi´on 2, acabamos de ver queX/S es proyectivo y, como el homomorfismo estructural es suprayectivo, es plano.
Finalmente estamos en condiciones de manejar ejemplos de explosiones con una relativa “facilidad”. Empezamos con el caso de una curva:
Ejemplo Consideremos la curvaC/kdefinida por la ecuaci´on Y2+a1XY =X3+a2X2.
(Se trata de una ecuaci´on de Weierstrass cona3=a4=a6= 0, lo cual equivale a que la curva sea singular en el punto (0,0).) Vamos a calcular la explosi´on π: C −→ C con centro en el punto singular. En principio sabemos queC es una curva proyectiva ´ıntegra y que π es un homomorfismo birracional, nece- sariamente finito (todo homomorfismo entre curvas proyectivas es constante o finito). Vamos a probar queCes normal, con lo que ser´a la normalizaci´on deC. En otras palabras, mediante la explosi´on habremos “resuelto la singularidad” deC, en un sentido que precisaremos m´as adelante.
Puesto que la explosi´on es un isomorfismo fuera de la fibra del punto singular, basta probar que las antiim´agenes de dicho punto son regulares en X. Por consiguiente, basta estudiar la explosi´on del abierto af´ın U formado por los puntos finitos deC. Como punto de U = Espk[x, y], el punto singular es m= (x, y). Para ajustarnos a la notaci´on empleada en la definici´on 5.12, llamamos A = k[x, y], f1 = x, f2 = y y llamamos t1 = x, t2 = y a los elementos correspondientes de grado 1 enA. Seg´ un la propiedad g tras la definici´on 5.12, sabemos queU =D(t1)∪D(t2). Ahora bien, la relaci´on
t22+a1t1t2=f1t21+a2t21
implica queV(t1) =∅, ya que sit1 pertenece a un ideal p∈ProyA, entonces tambi´en t2
2 ∈p, luego t2 ∈ p, lo cual es imposible. As´ı pues, U = V(t1). La misma propiedad g nos da queU = Espk[x, y, y/x] = Espk[x, t], dondet=y/x. Obviamente, x, t cumplen la ecuaci´on que resulta de sustituir Y = XT en la ecuaci´on deC:
X2(T2+a1T −a2−X) = 0.
Comok[x, t] es un dominio ´ıntegro, podemos eliminar el primer factor, y nos queda quex,tcumplen la ecuaci´on
X=T2+a1T−a2. Claramente es irreducible, luego
U = Esp k[X, T]/(X−T2−a1T+a2).
El hecho de que X pueda despejarse en la ecuaci´on se traduce en que la proyecci´on inducida por la inclusi´onk[T] −→ k[x, t] sea un isomorfismo, cuyo inverso est´a inducido por el homomorfismok[x, t] −→k[T] dado por las susti- tucionesx→T2−a
1T+a2,t→T. En particular vemos queU ∼=A1
k es regular, como quer´ıamos probar. Pero,
m´as a´un, ahora tenemos una descripci´on expl´ıcita de la normalizaci´on: El ho- momorfismoπ:U −→U se corresponde con la inclusi´onk[x, y]−→k[x, t]. Si lo componemos con el isomorfismo que hemos encontrado, obtenemos el homomor- fismoπ:A1
k−→U inducido por el homomorfismo dek-´algebrask[x, y]−→k[T]
dado por
Notemos que U contiene todos los puntos deU excepto uno (la antiimagen del punto infinito de C). Por el teorema 4.21 sabemos que C ∼= P1k, luego la
normalizaci´on completa
π: P1k−→C
es el homomorfismo que, restringido a A1
k coincide con el que acabamos de
calcular y que hace corresponder el punto infinito de P1
k con el punto infinito
deC.
Como aplicaci´on, podemos estudiar la fibra del punto singular, que es el espectro de
k[T]⊗k[x,y]k[x, y]/(x, y) =k[T]/(T2+a1T−a2).
Vemos que consta de un ´unico punto racional sib2=a21+ 4a2= 0, y de dos puntos (racionales o no) en caso contrario. (Si cark= 2 hemos de suponer que kes perfecto.)
Ahora vamos a calcular la explosi´on de una superficie fibrada:
Ejemplo Consideremos de nuevo la superficie de WeierstrassW/Z5dada por la ecuaci´on
Y2=X3+ 25.
(V´ease la p´agina 135.) Su fibra cerrada tiene un punto singularx0, y vamos a calcular la explosi´onπ:W−→W con centro en dicho punto. Sabemos queW es una superficie fibrada y queπ|W\π−1[{x0}] : W\π−
1[{x0}]−→W \ {x0} es un isomorfismo. En particular, W tiene la misma fibra gen´erica que W. S´olo hemos de estudiar su fibra cerrada, para lo cual basta calcular la explosi´on del abierto U = EspZ5[x, y] formado por los puntos finitos de W. Como punto deU, el punto singular esx0=p= (5, x, y).
Ahora tenemos que U es uni´on de tres abiertos afines, que llamaremos U1, U2,U3. El primero es, por ejemplo,
U1= EspZ5[x, y, x/5, y/5] = EspZ5[x1, y1],
dondex1=x/5,x2=y/5. Teniendo en cuenta que x,y satisfacen la ecuaci´on de Weierstrass, tenemos quex1,y1 cumplen la ecuaci´on
25y21= 125x31+ 25, luego y2
1 = 5x31+ 1. Es claro que el polinomio Y2−5X3−1 es irreducible enZ5[X, Y]. (Por ejemplo, porque un cambio de variables lineal en Q[X, Y] lo transforma en la ecuaci´on de Weierstrass, y esto implica que es irreducible en Q[X, Y], luego tambi´en enZ5[X, Y], teniendo en cuenta que sus coeficientes son primos entre s´ı enZ5.) Por consiguiente,
Consideremos ahoraU2= EspZ5[x, y,5/x, y/x] =Z5[x, y, z], donde hemos llamadoy =y/x,z= 5/x. Los generadores cumplen las ecuaciones
x2y2=x3+x2z2, xz= 5.
ComoZ5[x, y, z] es un dominio ´ıntegro (un subanillo del cuerpo de cocientes deZ5[x, y]), podemos simplificar la primera ecuaci´on y resulta
y2=x+z2, xz= 5.
El hecho de que se pueda despejar xen la primera ecuaci´on se traduce en queZ5[x, y, z] =Z5[y, z] y los generadores satisfacen la ecuaci´on
y2z−z3= 5.
Esta ecuaci´on es irreducible, por ejemplo porque al homogeneizarla respecto de xy deshomogeneizarla respecto de z obtenemos la ecuaci´on de U1, que ya sabemos que es irreducible. As´ı pues,
U2= Esp(Z5[Y, Z]/(Y2Z−Z2−5)).
La relaci´on que hemos se˜nalado sobre las ecuaciones deU1yU2 tiene su in- terpretaci´on: En primer lugar, observemos que la relaci´on entre los generadores deZ5[x1, y1] y los deZ5[y, z] es la dada por
x1= 1/z, y1=y/z, y=y1/x1, z= 1/x1,
lo que se interpreta como que U1∩U2 es D(x1) en U1 y D(z) en U2, y las ecuaciones anteriores definen el isomorfismo entreD(x1) yD(z) que se corres- ponde con la identidad a trav´es de las identificaciones U1 ∼= EspZ5[x1, y1], U2= EspZ5[y, z]. En segundo lugar, si llamamos
X= Proy(Z5[X, Y, Z]/(Y2Z−5X3−Z3)),
que no es sino la superficie fibrada estudiada en el ejemplo de la p´agina 135,