Mishler (1912) propuso una ecuación mediante la cual se podía obtener la capacidad de un espesador industrial basado en experiencias realizadas en el laboratorio. Él tomaba en consideración solamente las concentraciones de entrada y salida del equipo industrial.
En 1916 Coe y Clevenger desarrollaron en forma independiente una ecuación similar a la de Mishler, pero indicaron que no necesariamente la concentración de la alimentación debía aparecer en la fórmula, sino que aquella concentración de valor intermedio entre la alimentación y descarga que producía la mínima "capacidad de
tratamiento", acuñando este término que siguió utilizándose de aquí en adelante. Ellos
recomendaron que se encontrara esta concentración mediante ensayos batch de laboratorio.
1.- Ecuación de Mishler
La primera ecuación para predecir la capacidad de un espesador, como se ha dicho, fue propuesta por Mishler en 1912 y corresponde a un simple balance macroscópico de masa en el equipo. Consideremos un espesador en el estado estacionario, tal como se muestra en la Figura 50. Usando las variables que Mishler plantea en su estudio, realiza un balance de sólidos y líquido obteniendo:
76 Sólido:
Líquido :
donde F y D son los flujos másicos de sólido en la alimentación y la descarga respectivamente, R es el flujo másico de líquido en el rebalse y DF y DD son las
diluciones de la alimentación y descargaD=(1-P/P)*. Dilución es una medida de concentración
que consiste en la razón de la masa de líquido a la masa del sólido. Entonces:
El flujo volumétrico de líquido, QR, eliminado del espesador será:
donde ρf es la densidad del líquido. De acuerdo a Mishler el flujo de líquido en el
rebalse por unidad de área del espesador, QR/S, debe ser igual a la velocidad de
formación de la capa de líquido en un ensayo de sedimentación continua con la misma pulpa, a la concentración de la alimentación. Como esta velocidad es igual a la velocidad de descenso de la interface líquido-suspensión en un ensayo discontinuo, que denotaremos por , podemos escribir:
y el área requerida para tratar un flujo de alimentación F es:
donde S es el área del espesador, F es el flujo másico de alimentación, DF y DD son las
diluciones de la alimentación y la descarga respectivamente, y es el valor absoluto de la velocidad de descenso de la interface líquido-suspensión en una prueba de sedimentación discontinua con una suspensión de dilución DF igual a la de la
alimentación.
Mishler uso las unidades de F en [toneladas cortas/día], de en [pies/min] y de ρf en [lb/ft3] y obtuvo S en [pies2]
77 2.- Método de Coe y Clevenger
Como ya hemos discutido, Coe y Clevenger (1916) distinguían cuatro zonas en un espesador continuo en el estado estacionario, cada una con concentración diferente. Por esta razón ellos proponen utilizar la ecuación de Mishler para cada dilución DK presente
en el espesador (ellos no mencionan a Mishler como proponente de la ecuación que utilizan) y encontrar la mínima capacidad de tratamiento de sólidos F/S en la columna de sedimentación. Entonces, de la ecuación (76):
Coe y Clevenger usaron las unidades de F en [lb], de ρf en [lb/ft3], de S en [pies2] y
de en [pies/hr], para dar:
definiendo el Área Unitaria Básica AUo como el recíproco de la capacidad mínima de
tratamiento de sólidos, podemos escribir de acuerdo a Coe y Clevenger:
Taggart (1927) usa el valor de ρf en [lb/ft3] y las unidades de en [pies/hr],
dando AUo en [pies2/ton corta/día]
Para referencia futura expresaremos la ecuación (81) en términos de la fracción volumétrica de sólidos Cϕ. Como la dilución está dada por:
el área unitaria AUo resulta
La ecuación (84), que da el área unitaria de un espesador basada en los resultados de varios ensayos de sedimentación discontinua en el laboratorio, la denominaremos
78
Ecuación de Mishler y el método de diseño basado en ella lo denominaremos Método de Coe y Clevenger.
Si se seleccionan las siguientes unidades ρS en [gr/cm3], en [cm/s] y AUo en
[m2/TPD] (tons métricas/24hrs) resulta:
La expresión (85) será la que denominaremos ecuación de Coe y Clevenger. 2a.- Descripción del método para el diseño de un Espesador.
1.- Se realizan pruebas de sedimentación a diferentes concentraciones Ck,
comprendidas entre las concentraciones de alimentación y descarga del espesador a diseñar.
2.- Registrar para diferentes tiempos la altura de la interface agua-suspensión. 3.- Graficar la altura de la interface en el tiempo de sedimentación.
4.- Calcular para cada prueba la velocidad inicial de sedimentación VS.
5.- Definir la concentración CD deseada en la descarga del espesador.
6.- Con estos datos, calcular el área unitaria mediante la ecuación (85). 7.- Elegir el área unitaria mayor obtenida.
8.- El área unitaria del espesador se obtiene utilizando un coeficiente de seguridad de un 25%, AU = 1,25 AUo.
9.- El área total del espesador es el producto del área unitaria calculada, con el tonelaje de sólidos que se desee tratar por día.
2b.- Cálculo de la Altura del Espesador.
De acuerdo a Coe y Clevenger, cuando la concentración de la descarga está en el rango de la sedimentación obstaculizada, la altura del espesador es irrelevante, excepto para permitir un adecuado espacio para el líquido claro y para absorber fluctuaciones del flujo de alimentación.
Por otra parte, cuando la concentración de la descarga está en el rango del sedimento, se debe proveer suficiente altura al espesador para que, dada una cierta área,
79 exista un volumen de equipo para permitir un tiempo de retención suficiente de la pulpa en compresión para llegar a la concentración deseada.
Para hacer el cálculo se estima, primero, a partir de la curva de sedimentación, el tiempo t* necesario para que la suspensión en la experiencia de sedimentación discontinua en el laboratorio llegue a la concentración deseada en la descarga. De acuerdo con la nomenclatura de la Figura 51, t* es el tiempo necesario para que:
Luego se divide t* en "n" intervalos iguales, de duración △ti=t*/n es decir, el
método considera los intervalos dados por △t1=[0,t1]; △t2=[t1,t2]; ...; △tn=[tn-1,tn-2] (en
su artículo original Coe y Clevenger considera 4 intervalos de este tipo para un ejemplo de cálculo, aunque no consideran △ti estrictamente constantes por conveniencia
numérica). Luego se calcula la altura necesaria en el espesador para que la pulpa pase desde una concentración Ci-1 a Ci, dándole a la pulpa el volumen necesario para ello, es
decir, el volumen V(i) = S*hi.
Figura 51: Método de Coe y Clevenger para determinar la altura del espesador
Se considera que la concentración durante este período es igual a la concentración media . Así, esta altura está dada por:
80 por lo tanto
En resumen, la teoría de Coe y Clevenger se basa en el concepto de que dentro de un espesador, cualquier masa de sólidos que intente descender a una zona de mayor densidad debe tener una velocidad de subsidencia igual o mayor que la velocidad de ascenso del líquido desplazado. Por lo tanto, un espesador adecuadamente dimensionado será aquel que para distintas diluciones, entre la de la alimentación y la de descarga, tenga suficiente área disponible para que la velocidad de ascenso del líquido nunca exceda la velocidad de subsidencia. Además, asume las siguientes condiciones para el diseño:
1. La velocidad de sedimentación es una función sólo de la concentración.
2. La tasa de descarga del líquido sobrenadante es igual a la diferencia de la tasa de alimentación menos la tasa de remoción de la capa sedimentada.
3. El líquido que se desplaza hacia arriba es siempre mayor al movimiento hacia abajo.
Por lo que generalmente:
1. De acuerdo a Coe y Clevenger pueden haber muchas zonas que sedimentan, pero el área de un espesador se determina en base a las condiciones en el sector de sedimentación o “zona de sedimentación libre”
2. Coe y Clevenger no explican en su teoría la razón por la cual la velocidad de sedimentación disminuye entre la zona de transición y de compresión en una prueba batch.
3. Para aplicar la fórmula de Coe y Clevenger no es necesario dibujar toda la curva de sedimentación, sino sólo el principio de la curva para determinar la velocidad de sedimentación.
4. Para hallar D se mide la altura final (hF) del sólido decantada al cabo de 24 horas.
5. El método de Coe y Clevenger requiere, por lo tanto múltiples pruebas de sedimentación a distintas diluciones iniciales con el objetivo de seleccionar un área unitaria adecuada. Se recomienda repetir la prueba al menos 4 veces.
6. Ya que por lo general, este método arroja valores subestimados del área unitaria, es común el empleo de factores de seguridad entre 1,25 a 1,5 para espesador menores a 15 m de diámetros, y de factores de 1,3 a 1,5 para unidades de mayor diámetro.
81 7. El principal error del modelo de Coe y Clevenger es la asunción de que la sedimentación de un producto floculado es independiente de la concentración de sólidos iniciales. Esta asunción no es siempre correcta.
8. La teoría de Coe y Clevenger propone que el área del espesador puede determinarse únicamente por las condiciones que se encuentran en la zona de libre sedimentación, en la que los flóculos generados caen sin ejercen presión sobre las capas de flóculos que se encuentran debajo. Se sabe que esto no es necesariamente cierto, y hay otras consideraciones que deben tenerse en cuenta para analizar el fenómeno de sedimentación.
Es decir, el método de Coe y Clevenger subestima el área del espesador respecto a resultados obtenidos a nivel industrial. La razón de esta mala aproximación puede ser atribuida principalmente a que no toman en cuenta el efecto gravitatorio del peso del sólido sedimentado, el cual es mayor mientras mayor sea la altura de la cama.