Performance Implications of Temporal Balance

Muchos de los problemas que nos encontramos en el mundo cient´ıfico son muy complejos, por ejemplo, la estad´ıstica termodin´amica considera que las propie- dades t´ermicas de la materia son el resultado de la interacci´on entre un gran n´umero de part´ıculas elementales. De esta forma, la descripci´on determinista en t´erminos de una ecuaci´on de los movimientos de todas esas part´ıculas no

5. Adaptando los modelos al proceso cambiante

tiene ning´un sentido, sin embargo, se necesita una descripci´on probabil´ıstica. Esta descripci´on puede estar incluso intr´ınsecamente impl´ıcita en la natura- leza cu´antica de los procesos b´asicos o, dado que el problema no puede ser caracterizado por completo, s´olo podemos considerar una serie de grados de libertad mientras que el resto act´uan de fondo causando ruido aleatorio. Este concepto de las distribuciones de las probabilidades muchas veces no puede ser computado anal´ıticamente en un forma expl´ıcita. As´ı, nacen los m´etodos de Montecarlo con el objetivo de realizar estimaciones num´ericas de una dis- tribuci´on de probabilidad haciendo uso de n´umeros pseudo-aleatorios1.

No hay un consenso de c´omo definir los m´etodos de Montecarlo. De este modo, por ejemplo, Ripley en [Rip87] define un modelo mucho m´as proba- bil´ıstico a trav´es de una simulaci´on estoc´astica, siendo reservado el m´etodo de Montecarlo para la integraci´on y las pruebas estad´ısticas. Por otra parte, Sawilowsky [Saw03] distingue entre la simulaci´on, el m´etodo Montecarlo y la simulaci´on Montecarlo. Para ´el, mientras el m´etodo Montecarlo es una t´ecnica que puede utilizarse para solucionar problemas matem´aticos o estad´ısticos, la simulaci´on Montecarlo es una representaci´on ficticia de la realidad que realiza una toma de muestras repetida para el descubrimiento de las propiedades de un fen´omeno o su comportamiento. Por otra parte, Kalos y Whitlock [KW09] indican que estas distinciones no son tan f´aciles de mantener en todas las ocasiones. De hecho, la emisi´on de la radiaci´on de los ´atomos es un proceso estoc´astico por naturaleza. Este puede ser simulado directamente o descri- to su comportamiento medio mediante ecuaciones estoc´asticas que para ser resueltas debe hacerse uso de los propios m´etodos de Montecarlo.

Los m´etodos de Montecarlo est´an muy unidos a la generaci´on de n´umeros pseudo-aleatorios. En la mayor´ıa de las aplicaciones se hace uso de este tipo de n´umeros permitiendo que los c´alculos sean m´as simples y que las simula- ciones pueden volverse a ejecutar. No obstante, hay ciertas ocasiones en las que la imprevisibilidad es vital [Dav92]. Pero dejando estos casos de lado, pa- ra obtener una buena calidad en las simulaciones, lo ´unico que se necesita es que las secuencias de n´umeros sean lo suficientemente aleatorias. Normalmen- te, los generadores de n´umeros pseudo-aleatorios deben cumplir una serie de caracter´ısticas [Bin79]. Principalmente, necesitan estar uniformemente distri- buidos en el intervalo [0, 1] y no estar correlacionados. No existen algoritmos que cumplan estas necesidades, por lo que adoptamos las caracter´ısticas que describi´o Sawilowsky [Saw03] para alcanzar unas simulaciones de calidad:

1_{Secuencia de n´umeros producidos por computador mediante la utilizaci´on de un pro-}

cedimiento determin´ıstico, partiendo desde una semilla en concreto.

5.1 Capacidades estad´ısticas para la adaptaci´on de modelos

• El generador de n´umeros pseudo-aleatorios tiene una serie de carac- ter´ısticas, como por ejemplo, la necesidad de que transcurra un largo periodo antes de volver a repetir la secuencia de n´umeros.

• Los n´umeros generados pasan las pruebas de aleatoriedad que intentan aproximar las caracter´ısticas definidas en [Bin79].

• Existen muestras suficientes para garantizar resultados precisos. • Se utiliza la t´ecnica de muestreo ´optima para la soluci´on en concreto. • El algoritmo utilizado es v´alido para aquello que estamos modelando. • Los n´umeros simulan el fen´omeno en cuesti´on.

En el caso que nos ocupa, nos interesa la capacidad de generar estimaciones num´ericas para distribuciones de probabilidad conocidas. As´ı, para una distri- buci´on de probabilidad conocida pi, en la que un estado (discreto) i ocurre con

1 ≤ i ≤ n y Pn

i=1pi = 1, puede ser generada a trav´es de m´etodos num´ericos

basados en la generaci´on de n´umeros pseudo-aleatorios uniformemente dis- tribuidos en el intervalo que va de 0 a la unidad. La forma de hacerlo es la siguiente, definiendo Pi =

Pi

j=1pi, elegimos un estado i si el n´umero aleatorio

ζ satisface Pi−1 ≤ ζ < Pi, asumiendo que P0 = 0. Con la generaci´on de un

gran n´umero de ensayos (M ) podemos aproximar la distribuci´on pi con una

tasa de error del orden de 1/√M .

En muchas ocasiones, existen m´etodos en los que el muestreo no es to- talmente claro, por ejemplo, esto sucede con la probabilidad de Boltzmann (dentro del campo de la mec´anica estad´ıstica):

Peq(X) =  1 Z  exp −H (X) kbT  (5.2) donde kb es la constante de Boltzmann1, T es la temperatura absoluta y Z =

P

X exp{−H (X)/KbT } es la funci´on de partici´on. Entonces, para realizar el

muestreo para este tipo de situaciones no debemos seleccionar los puntos X en el espacio de forma completamente aleatoria. La soluci´on es un muestreo de puntos importantes, o en ingl´es “important sampling”, generando puntos X, preferiblemente, de la parte importante del espacio en el que se representa dicha funci´on.

1_{Constante f´ısica que relaciona temperatura absoluta y energ´ıa. Su valor es k ≈}

5. Adaptando los modelos al proceso cambiante

Los m´etodos de Montecarlo tambi´en pueden ser utilizados para otros prop´osi- tos [Bin79]:

• Ciencias f´ısicas. Algunas de sus aplicaciones son el c´alculo de estad´ısti- cas en las teor´ıas de part´ıculas y pol´ımeros [Bae09], y en astrof´ısica se han utilizado para modelar la evoluci´on de las galaxias [MDM+82] y la transmisi´on de las microondas a trav´es de una superficie rugosa plane- taria [Gol79].

• Ingenier´ıa. Dentro de este campo suelen ser utilizados para an´alisis de sensibilidades1 y en el an´alisis probabil´ıstico cuantitativo para el dise˜no de procesos. M´as concretamente, para los an´alisis de riesgo y poluciones [IPRDNT02, IPDNCT04].

• Biolog´ıa computacional. Se utilizan estos m´etodos para la genera- ci´on de simulaciones por ordenador con el fin de estudiar las prote´ınas [OGLC09] y las membranas [MS93] entre otros.

• Estad´ıstica aplicada. Normalmente son utilizados con dos prop´ositos: (i) para la comparaci´on de estad´ısticas utilizando muestras peque˜nas so- bre datos realistas [Saw03] y (ii) para proporcionar pruebas de hip´otesis que son m´as eficientes que las pruebas exactas, tales como las pruebas de permutaci´on.

• Juegos. Se incorporan los m´etodos de Montecarlo dentro de la teor´ıa de juegos con el fin de optimizar los algoritmos de b´usqueda y las simu- laciones [SV10].

• Finanzas y negocios. Habitualmente son utilizados para simular el valor de las empresas, evaluar las inversiones o para evaluar los productos financieros derivados.

• Telecomunicaciones. En los procesos de dise˜no de redes, estos m´etodos nos ayudan a simular los usuarios que las est´an utilizando.

• Soluciones matem´aticas. Los m´etodos de Montecarlo suelen ser uti- lizados para solucionar problemas como la integraci´on, la simulaci´on y la optimizaci´on.

1_{Es el estudio de c´omo la incertidumbre en la salida de un modelo (num´erico o de otra}

forma) se puede distribuir a diferentes fuentes de incertidumbre en la entrada del modelo.