Existen varias medidas que permiten describir las características de los vértices y el papel que estos juegan en el grafo. Estas son las medidas locales. Las diferentes medidas de centralidad con frecuencia están correlacionadas positivamente, pero no siempre es así, ya que recogen diferentes aspectos de prominencia en la red.
2.4.1.1. Grado
El grado de un vértice es el número de aristas incidentes en él. Con frecuencia se normaliza, en esos casos tenemos que:
𝑘𝑖(𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜) = 𝑘𝑖
𝑛 − 1 (1)
Donde 𝑘𝑖 es el grado del vértice i y n es el número de vértices en la componente conexa. Existe una generalización del grado para los grafos ponderados, en esos casos el grado del vértice i es la suma de los pesos de las aristas incidentes, el nombre de esta medida es grado ponderado o fuerza (Kolaczyk y Csárdi 2014).
En estos casos se asume que los vértices con mayor grado son más centrales y por ende en una red social estos actores son más influyentes. Sin embargo, esta medida sólo mide la centralidad en referencia a los vecinos y no toma en cuenta las conexiones que ellos puedan o no tener (O’Malley y Marsden 2008, Newman 2010, Cordón 2012).
2.4.1.2. Cercanía
La cercanía (closeness centrality) es una medida pensada para capturar la cercanía de un actor a los otros actores.
Tal como lo explica Newman (2010), si la 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑣, 𝑢) es la longitud (número de aristas) del camino más corto entre v y u, entonces la distancia media entre v y u, promediada entre todos los vértices de la red menos el vértice mismo es
ℓ𝑣 = 1 𝑁𝑣 − 1 ∑ 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑣, 𝑢) 𝑢 (2)
Esta medida da valores pequeños para vértices que están separados de los otros por unos pocos vértices. Los vértices con valores bajos pueden tener mejor acceso a la información o
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más influencia sobre otros elementos de la red. En redes sociales una persona cuyo ℓ𝑣 es inferior al de otros actores de la misma red, puede encontrar que sus opiniones se propagan con más velocidad que las de otros.
Figura 5: Grados en un grafo.
FUENTE: Elaboración propia
Ya que la distancia media ℓ𝑣 otorga valores bajos a los vértices más centrales y valores altos
a los menos centrales la medida que se suele usar para el estudio de centralidad es su inversa, que se llama cercanía (closeness centrality) y que se define como sigue:
𝑐𝐶𝑙(𝑣) = 1 ℓ𝑣 =
𝑁𝑣− 1
∑𝑢∈𝑉dist(v, u) (3)
A veces se utiliza esta medida sin normalizar (es decir sin dividir entre el número de vértices), aunque esa cifra no es comparable entre diferentes grafos. En esos casos la cercanía se define como:
𝑐𝐶𝑙(𝑣) = 1
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La cercanía es una medida natural de la centralidad y se utiliza a menudo en estudios de las redes sociales. Pero tiene algunos problemas. El rango de valores que adquiere es pequeño ya que la distancia típica de un grafo aumenta logarítmicamente conforme crece la red. Esto significa que la ratio entre la menor distancia, que es 1, y la más grande, que es de orden log (𝑛), es en sí mismo de orden log (𝑛). En una red típica el rango de valores de 𝐶𝐶𝑙(𝑣) rara
vez supera 5.
Otro de los problemas que enfrenta la cercanía es que se sirve de las distancias entre los vértices y como tal sólo puede calcularse sobre un grafo conexo.
Figura 6: Medidas de cercanía en un grafo.
FUENTE: Elaboración propia.
2.4.1.3. Intermediación
La intermediación (betweenes) es una medida pensada para capturar la correduría, es decir el número de veces que un actor se halla en posición intermedia en los caminos más cortos que unen dos vértices (O’Malley y Marsden 2008).
Los vértices con gran intermediación pueden tener mayor influencia, por ejemplo, en una red que transmite información, tendrían control sobre los mensajes que transfieren. Además, su remoción de la red tendría un fuerte impacto en la comunicación dentro del grafo, ya que
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están posicionados en el mayor número de caminos. La comunicación en el mundo real no siempre se da siguiendo los caminos más cortos –que son los evaluados en la medida de intermediación– pero puede ser una buena aproximación al dominio que un vértice puede tener sobre el flujo de información (Newman 2010).
Como explican Kolaczyk y Csardi (2014), la medida de intermediación más comúnmente usada es
𝑐𝐵(𝑣) = ∑ 𝜎(𝑠, 𝑡|𝑣) 𝜎(𝑠, 𝑡)
𝑠≠𝑡≠𝑣∈𝑉
(5)
donde 𝜎(𝑠, 𝑡|𝑣) es el número de caminos más cortos entre s y t que pasan por v y 𝜎(𝑠, 𝑡) es el número total de caminos más cortos entre s y t (independientemente si pasan o no por v). Cuando solo existe un camino más corto, 𝐶𝐵(𝑣) cuenta sólo el número de caminos más cortos
que pasan por v. Newman (2010) explica que esta medida toma un rango de valores mucho más amplio que la cercanía, lo cual permite diferenciar mejor los vértices.
Una versión normalizada de la intermediación que permite reducir el rango de valores que esta puede tener entre 0 y 1 es
𝑐𝐵(𝑣)(𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎) = ∑ 𝜎(𝑠, 𝑡|𝑣)
𝜎(𝑠, 𝑡) ×(𝑁𝑣− 1)(𝑁2 𝑣− 2)
𝑠≠𝑡≠𝑣∈𝑉
(6)
Figura 7: Medidas de intermediación en un grafo.
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2.4.1.4. Centralidad de vector propio
Como explican Kolaczyk y Csardi (2014), otras medidas de centralidad se basan en la noción de «estatus» o «prestigio». Estas buscan capturar la idea que mientras más centrales son los vecinos de un vértice, más central es el vértice en sí. Estas medidas se basan en vectores propios (eigenvector) y entre las varias definiciones que existen el paquete de R utiliza esta:
𝑐𝐸𝑖(𝑣) = 𝛼 ∑ 𝑐𝐸𝑖(𝑢)
{u,v}∈E
(7)
Donde el vector 𝒄𝐸𝑖 = (𝑐𝐸𝑖(1), … , 𝑐𝐸𝑖(𝑁𝑣))𝑇 es la solución al problema de valores propios
de 𝑨𝒄𝐸𝑖 = 𝛼−1𝒄
𝐸𝑖, donde A es la matriz de adyacencia del grafo G. En esta definición, que
sigue la propuesta por Bonacich, el valor óptimo de 𝛼−1 es el máximo valor propio de A y
por lo tanto 𝒄𝐸𝑖 es el vector propio correspondiente. Por convención se toman en cuenta los
valores absolutos de este resultado.
Figura 8: Medidas de centralidad del vector propio en un grafo.
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