3.3 RESEARCH METHODOLOGY
3.3.1 Population and sampling
Euler y las ecuaciones de la Mec´anica de Fluidos.
Hacia 1739 Clairaut se ocup´o de ecuaciones en derivadas parciales de primer orden en relaci´on con sus estudios sobre la forma de la Tierra. Son las ecuaciones de primer orden m´as sencillas; es decir, ecuaciones de la forma,
ux= P, uy= Q, uz= R.
Como el lector advertir´a, s´olo aparecen derivadas de primer orden, de ah´ı el nombre que se da a estas ecuaciones.
El teorema (1.1.2) da las condiciones para encontrar una funci´on u, que verifique la ecuaci´on, es decir, tal que,∇u = (P, Q, R). Tal condici´on fu´e formulada por Lagrange en t´erminos de las coordenadas del campo, es decir, concretamente
(1.7.1.) Py= Qx, Pz= Rx, Qz= Ry
que es como se conoce en los textos de ecuaciones diferenciales ordinarias el concepto de diferencial exacta.
Entre los a˜nos 1772 y 1779 Lagrange public´o una serie de trabajos ocup´andose de ecuaciones de la forma general
(1.7.2) f (x, y, u, ux, uy) = 0
que aparecen en Geometr´ıa y ´Optica Geom´etrica.
Los trabajos de Lagrange, Charpit, Monge y Cauchy sobre ecuaciones del tipo (1.7.2) constituyen la base de la teor´ıa que se estudiar´a en el cap´ıtulo siguiente. El resto de esta secci´on est´a dedicado a dar un modelo f´ısico donde aparecen las ecua- ciones de primer orden de una manera en absoluto trivial. Se trata de las ecuaciones de Euler que rigen el movimiento de fluidos no viscosos.
Sea Ω⊂ R3 una regi´on ocupada por un fluido en movimiento; se trata de dar un
modelo que describa tal movimiento.
Para establecer las ecuaciones del movimiento de un fluido no viscoso Euler tiene en cuenta tres principios b´asicos de la F´ısica, a saber:
I) Principio de conservaci´on de la masa. II) Segunda ley de la Din´amica de Newton. III) Principio de conservaci´on de la energ´ıa.
A nivel macrosc´opico es razonable pensar que la densidad del fluido ρ(x, t) es una funci´on continua del espacio y del tiempo. Dada una bola Q⊂ Ω la masa de fluido que encierra en el instante t es entonces
(1.7.3) m(Q, t) = Z
Q
ρ(x, t)dx.
Si x(t) ∈ Ω designa la posici´on de una part´ıcula en el instante t, supondremos que dicha part´ıcula describe una trayectoria bien definida y que, por tanto, la velocidad u(x, t) de cada part´ıcula en el instante t define un campo de vectores en Ω.
Para la obtenci´on de las ecuaciones supondremos que u y ρ tienen la regularidad suficiente para que los c´alculos sean v´alidos.
La ley de conservaci´on de masa establece que la tasa de variaci´on de masa respecto al tiempo es igual a la masa que entra menos la masa que sale. Tenemos la herramienta perfecta para formular este principio: el teorema de la divergencia. En efecto, la tasa de variaci´on de la masa respecto al tiempo en la bola Q es
(1.7.4) dm dt (Q, t) = Z Q ∂ρ ∂t(x, t)dx,
y debe equilibrarse con el flujo a trav´es de la frontera de Q; es decir, con (1.7.5) − Z ∂Q ρhu, nidS = − Z Q div (ρu)dx,
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por el teorema de la divergencia. Como conclusi´on, de (1.7.4), y (1.7.5) se tiene Z
Q
[∂ρ
∂t + div (ρu)]dx = 0.
Suponiendo que el integrando es continuo y haciendo tender el di´ametro de Q a cero, obtenemos la expresi´on diferencial de la conservaci´on de masa,
(1.7.6) ∂ρ
∂t + div (ρu) = 0, que es conocida como ecuaci´on de la continuidad.
Sin hip´otesis de regularidad la ecuaci´on de la continuidad se escribe como ∂ ∂t Z Q ρdx + Z ∂Q ρhu, nidσ = 0;
que es la forma de ley de conservaci´on que, a menudo, aparece en F´ısica. Desde el punto de vista matem´atico esta formulaci´on da lugar a la necesidad de introducir conceptos de soluci´on m´as generales que el cl´asico, seg´un el cual la soluci´on es derivable y la ecuaci´on se satisface puntualmente.
Sea x(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) la trayectoria seguida por una part´ıcula del fluido.
Por tanto en t´erminos del campo de velocidades se tiene
(1.7.7) dx(t)
dt = u(x(t), t).
Podemos ahora obtener la aceleraci´on derivando en (1.7.7); es decir,
a(t) = d
2x(t)
dt2 =hu, ∇iu + ut;
donde el s´ımbolo en el ´ultimo t´ermino se expresa en coordenadas de la manera que sigue ai(t) = ∂ui ∂t + 3 X j=1 uj ∂ui ∂xj , i = 1, 2, 3.
La segunda ley de Newton establece que (1.7.8) ρa = Fuerza.
Las fuerzas que se consideran son esencialmente de dos tipos:
(1) Fuerzas exteriones, como las gravitarorias, etc.; cuya densidad se supone dada por un campo f (x, t).
(2) Tensiones internas.
En los fluidos perfectos, es decir, los no viscosos, estas ´ultimas fuerzas de tensi´on interna se suponen que act´uan de una manera muy particular. M´as concretamente, se supone que existe una funci´on p(x, t), llamada presi´on, de forma que si se considera un elemento de superficie S en el fluido y n su normal, las fuerzas de tensi´on a trav´es de S tienen una densidad en el punto x y en el instante t igual a p(x, t)n. Lo que quiere decir esta hip´otesis f´ısica es que no hay componentes tangenciales en las fuerzas de tensi´on interna. Es decir, la idea intuitiva que esto sugiere es que en un fluido perfecto no se crear´ıan o destruir´ıan rotaciones sin la acci´on de fuerzas externas.
La contribuci´on de las tensiones internas a trav´es de la frontera de la bola Q⊂ Ω viene dada entonces por
S∂Q=−
Z
∂Q
pndS.
As´ı, la proyecci´on de dicha fuerza en la direcci´on del vector unitario e∈ R3 es
(1.7.9) he, S∂Qi = − Z ∂Q phe, nidS = − Z Q div (pe)dx =− Z Q h∇p, eidx,
tras haber aplicado el teorema de la divergencia. Podemos, entonces, reformular (1.7.9) como
(1.7.10) S∂Q=−
Z
Q
∇pdx.
Con hip´otesis de regularidad, como siempre, hacemos tender el di´ametro de Q a cero y, por el teorema fundamental del c´alculo, (1.7.8) se convierte en
(1.7.11) ρ(ut+hu, ∇iu) = −∇p + f;
que son las ecuaciones de Euler.
La energ´ıa total del sistema E viene dada como la suma de la energ´ıa interna EI
y la energ´ıa cin´etica
EC =
Z
Ω
ρ|u|2dx.
Cuando se supone que la energ´ıa interna es constante, el principio de conservaci´on de la energ´ıa, implica que tambi´en la energ´ıa cin´etica es constante. En este caso se demuestra que las ecuaciones del movimiento son
(1.7.12)
ρ(ut+hu, ∇iu) = −∇p + f
div u = 0
ρ = a, constante a lo largo de trayectorias.
La condici´on de contorno natural es que el fluido no se salga del dominio total donde se experimenta, es decir,hu, ni = 0 en la frontera, ∂Ω, siendo n su normal.
Otra hip´otesis interesante es el caso en que la energ´ıa interna es
EI =
Z
Ω
ρwdx,
donde w representa el trabajo realizado. En este caso se prueba que
(1.7.13) ∇w = ∇p ρ ,
y este tipo de fuidos se llaman fluidos isentr´opicos, que expresado de otra forma quiere decir que p = p(ρ) o, lo que es lo mismo, se tienen ecuaciones de estado expl´ıcitas.
Remitimos para m´as detalles al texto de A.J. Chorin - J.E. Marsden, ”A Mathe- matical Introduction to Fluid Mechanics”, Springer Verlag, 1990.
Para los fluidos viscosos se obtienen distintos tipos de modelos seg´un las hip´otesis f´ısicas que se usen. Los fluidos viscosos newtonianos se rigen por las ecuaciones de Navier-Stokes que a˜naden a las de Euler un t´ermino de la forma ν∆u donde ν designa la viscosidad. Se trata, por tanto, de ecuaciones de segundo orden a diferencia de las de Euler.