3 An introduction to population and quantitative Genetics
3.1 Population genetics
3.1.2 Population structure
es que X= pr−R1[prR[X]]
Proposici´on 7.20.3. Sea A un conjunto yR∈Eqv(A). Entonces:
2. SiX ⊆SatR(A) yX ̸=∅, entonces
∩
X∈XX∈SatR(A).
3. A∈SatR(A).
4. SiX ∈SatR(A), entonces A−X ∈SatR(A).
Demostraci´on.
Corolario 7.20.4. Sea A un conjunto, R ∈ Eqv(A) y X un subconjunto de A. Entonces se cumple que ∩{Y ∈SatR(A)|X ⊆Y } es el m´ınimo subconjunto R- saturado de A que contiene a X. Denominamos a tal conjunto laR-saturaci´onde X y lo denotamos por[X]R.
Demostraci´on.
Proposici´on 7.20.5. SeaA un conjunto, R∈Eqv(A) yX un subconjunto de A. Demu´estrese que [X]R= pr−R1[prR[X]]
Proposici´on 7.20.6. Sea A un conjunto y R ∈Eqv(A). Entonces la endoaplica- ci´on,[·]R, del conjunto Sub(A), definida como:
[·]R
{
Sub(A) // Sub(A)
X 7−→ ∩{Y ∈SatR(A)|X⊆Y } tiene las siguientes propiedades:
1. Im([·]R)⊆SatR(A).
2. {X ∈Sub(A)|X = [X]R}= SatR(A).
3. [·]R es extensivao inflacionaria, i.e., para cadaX ∈Sub(A),X ⊆[X]R. 4. [·]R esis´otona, i.e., para cadaX, Y ∈Sub(A), siX⊆Y, entonces se cumple
que[X]R⊆[Y]R.
5. [·]R es idempotente, i.e., para cadaX∈Sub(A),[X]R= [[X]R]R.
6. [[∪·]R es completamente aditiva, i.e., para cada X ⊆Sub(A), se cumple que
X]R=∪X∈X[X]R.
Demostraci´on.
Ejercicio 7.20.7. Demu´estrese que para cada X ⊆ Sub(A), si X ̸=∅, entonces
[∩
X]R⊆∩X∈X[X]R.
7.21. Otro punto de vista sobre las aplicaciones. Una aplicaci´on f de un conjunto A en otro conjuntoB, adem´as de poder ser considerada como una fami- lia de miembros de B indexada por A, puede ser considerada, como ya hizo, por ejemplo, Cantor, como una familia de subconjuntos deAindexada porB, de modo que tales subconjuntos sean dos a dos disjuntos y cubran A. Antes de proceder a presentar formalmente lo dicho, indicamos que tal hecho ser´a usado en el ´algebra universal para extender un ´algebra universal mediante un ´algebra booleana. Definici´on 7.21.1. SeanAyB dos conjuntos. Entonces el conjunto Cov(B, A) de los cubrimientos disjuntos de AporB es
Cov(B, A) = { φ:B //Sub(A) ∀x, y∈B(x̸=y →φ(x)∩φ(y) =∅) & ∪x∈Bφ(x) =A } . Observemos que no exigimos que, para cadax∈B,φ(x)̸=∅, i.e., el cubrimiento disjunto no es necesariamente una partici´on deAindexada porB.
Proposici´on 7.21.2. SeanAyB dos conjuntos. Entonces el conjuntoHom(A, B) de las aplicaciones de Aen B es naturalmente isomorfo al conjuntoCov(B, A)de los cubrimientos disjuntos deA porB.
Demostraci´on. Es suficiente que consideremos la aplicaci´on del conjunto Hom(A, B) en el conjunto Cov(B, A) que a una aplicaci´onf deAenB, le asigna la aplicaci´on
Observemos que los conjuntos de la forma Cov(B, A), junto con los conjuntos (en un universo de Grothendieck, arbitrario, pero fijo), constituyen una subcategor´ıa (no plena) de la categor´ıa de Kleisli, Kl(P), can´onicamente asociada a la m´onada de las partes,P, sobre la categor´ıaSetde conjuntos y aplicaciones (en un universo de Grothendieck, arbitrario, pero fijo). Adem´as, se tiene un anti-isomorfismo entre la categor´ıaSety tal subcategor´ıa de la categor´ıaKl(P).
Estudiar la relaci´on entre el conjunto de las aplicaciones sobreyectivas deA en B y el conjunto de los cubrimientos disjuntos deAporBque son particiones deA indexadas por B.
7.22. Uni´on e intersecci´on de familias de conjuntos. A continuaci´on nos ocupamos del estudio de algunas de las propiedades de la uni´on y de la intersecci´on de familias de conjuntos. As´ı como del de la conducta de las aplicaciones respecto de las uniones e intersecciones de familias de subconjuntos del dominio y del codominio de las mismas, y tambi´en de su conducta respecto de la complementaci´on.
Definici´on 7.22.1. Sea (Xi)i∈I una familia de conjuntos, i.e., una funci´on cuyo dominio de definici´on esI y que a cada i∈I le asigna como valor el conjuntoXi. Entonces la uni´on de (Xi)i∈I, a la que denotamos por
∪
i∈IXi, es
∪
Im((Xi)i∈I). Proposici´on 7.22.2 (Conmutatividad). Sea(Xi)i∈I una familia de conjuntos y f una permutaci´on deI, i.e., un automorfismo deI. Entonces
∪
i∈IXi=
∪
i∈IXf(i).
Demostraci´on.
Proposici´on 7.22.3. Sea (Xi)i∈I una familia de conjuntos tal que, para cada
i, j∈I,Xi=Xj. Entonces, denotando por X el valor com´un, se cumple que
∪
i∈IXi=X.
Demostraci´on.
Proposici´on 7.22.4. Sea (Xi)i∈I una familia de conjuntos. Si J es el conjunto
{i∈I|Xi =∅}, entonces ∪ i∈IXi= ∪ i∈I−JXi. Demostraci´on.
Proposici´on 7.22.5. Sean (Xi)i∈I y (Yi)i∈I dos familias de conjuntos. Si, para cada i∈I,Xi⊆Yi, entonces
∪
i∈IXi⊆
∪
i∈IYi.
Por otra parte, si J ⊆I, entonces
∪
j∈JXj ⊆
∪
i∈IXi.
Demostraci´on.
Proposici´on 7.22.6 (Asociatividad). Sean(Jl)l∈L y(Xi)i∈I dos familias de con- juntos tales queI=∪l∈LJl. Entonces
∪ i∈IXi= ∪ l∈L( ∪ i∈JlXi). Demostraci´on.
Definici´on 7.22.7. Sea (Xi)i∈I una familia no vac´ıa de conjuntos. Entonces la intersecci´on de (Xi)i∈I, a la que denotamos por
∩
i∈IXi, es
∩
Proposici´on 7.22.8 (Conmutatividad). Sea(Xi)i∈I una familia no vac´ıa de con- juntos y f una permutaci´on deI. Entonces
∩
i∈IXi=
∩
i∈IXf(i).
Demostraci´on.
Proposici´on 7.22.9. Sea (Xi)i∈I una familia no vac´ıa de conjuntos tal que, para cada i, j∈I,Xi=Xj. Entonces, denotando porX el valor com´un, se cumple que
∩
i∈IXi=X.
Demostraci´on.
Proposici´on 7.22.10. Sean(Xi)i∈I y(Yi)i∈I dos familias no vac´ıas de conjuntos. Si, para cada i∈I,Xi⊆Yi, entonces
∩
i∈IXi⊆
∩
i∈IYi.
Por otra parte, si J ⊆I y J no es vac´ıo, entonces
∩
i∈IXi ⊆
∩
j∈JXj.
Demostraci´on.
Proposici´on 7.22.11 (Asociatividad). Sea (Jl)l∈L una familia no vac´ıa de con- juntos no vac´ıos y (Xi)i∈I una familia de conjuntos tal que I =
∪ (Jl | l ∈ L). Entonces ∩ i∈IXi= ∩ l∈L( ∩ i∈JlXi). Demostraci´on.
Proposici´on 7.22.12 (De Morgan). SeaA un conjunto y(Xi)i∈I una familia no vac´ıa de subconjuntos de A. Entonces
{A( ∪ i∈IXi) = ∩ i∈I{AXi y {A( ∩ i∈IXi) = ∪ i∈I{AXi. Demostraci´on.
7.23. Las aplicaciones y las operaciones conjuntistas. Nos ocupamos a continuaci´on de estudiar las relaciones que subsisten entre la formaci´on de im´age- nes directas e inversas mediante las aplicaciones y las operaciones conjuntistas de formaci´on de uniones e intersecciones de familias de conjuntos y de la comple- mentaci´on. Debemos observar que la formaci´on de im´agenes inversas madiante las aplicaciones tiene una conducta especialmente buena respecto de las operaciones conjuntistas, ya que conmuta con todas las operaciones conjuntistas mencionadas.
Proposici´on 7.23.1. Sea r:A ◦B una aplicaci´on no determinista deAen B y (Xi)i∈I una familia de subconjuntos deA. Entonces
r[∪i∈IXi] =∪i∈Ir[Xi].
En particular, si f:A //B es una aplicaci´on deA en B y (Xi)i∈I una familia de subconjuntos de A. Entonces
f[∪i∈iXi] =∪i∈If[Xi].
Demostraci´on.
Proposici´on 7.23.2. Sea f:A //B una aplicaci´on de A en B y (Yi)i∈I una familia de subconjuntos de B. Entonces
f−1[∪i∈IYi] = ∪ i∈If− 1[Y i]. Demostraci´on.
Proposici´on 7.23.3. Sea r:A ◦B una aplicaci´on no determinista deAen B y (Xi)i∈I una familia no vac´ıa de subconjuntos deA. Entonces
r[∩i∈IXi]⊆
∩
i∈Ir[Xi].
En particular, si f:A //B es una aplicaci´on deA en B y (Xi)i∈I una familia no vac´ıa de subconjuntos de A. Entonces
f[∩i∈IXi]⊆∩i∈If[Xi].
Demostraci´on.
Proposici´on 7.23.4. Sea f: A //B una aplicaci´on de A en B y (Yi)i∈i una familia no vac´ıa de subconjuntos deB. Entonces
f−1[∩i∈IYi] =∩i∈If−1[Yi].
Corolario 7.23.5. Seaf:A //Bes una aplicaci´on inyectiva deAenBy(Xi)i∈I