Compra comparativa
Un automóvil puede rentarse en cierta compañía A por $180 a la semana, sin cargo extra por kilómetros recorridos. Un auto similar puede rentarse en otra compañía B por $100 a la semana, más 20 centavos por kilómetro recorrido. ¿Cuántos kilómetros debe recorrer un auto para que la renta de la compañía A sea menor que en la compañía B?
Procedimiento
Sea x el número de kilómetros recorridos en una semana. El costo semanal de la compañía A es de $180 y el costo de la compañía B es de $100 + 0, 20x.
Como la renta de la compañía A tiene que ser menor que la renta de la compañía B, ponemos: 180 < 100 + 0.20x
Objetivo
Solución
Resolviendo esta desigualdad obtenemos que x > 400. Por lo tanto, el número de kilómetros que debe recorrer en una semana, el auto rentado en la compañía B debe ser mayor de 400 km, por lo que el carro de la compañía A es más barato si el conductor rebasa los 400 kilómetros recorridos en una semana.
Costo anual de la operación
Una empresa de servicio público cuenta con una flota de camiones de reparto. El costo anual de operaciones por unidad es: C(x) = 0.32x + 2 300 en donde x es el número de millas recorridas por un camión en el año. ¿Cuántas millas dará un costo anual de operación menor a los $10 000?
Procedimiento
El costo anual está dado por C(x) = 0.32x + 2 300.
Como el costo debe ser menor que $10 000 tenemos: 0.32 + 2 300 > 10 000 Resolviendo la desigualdad obtenemos que x < 24 062.5
Solución
En consecuencia, para que haya un costo anual menor de $10 000 se tienen que recorrer menos de 24 062,5 millas anuales.
Ventas diarias
Un establecimiento vende una docena de donas en $2.95. Además de los costos fijos por día de renta, acciones, seguros, etc., de $150, los ingredientes (harina, azúcar, etc.) y la mano de obra cuestan $1.45 para producir una docena de donas. Si la utilidad diaria varía entre $150 y $300, ¿entre qué niveles (en docenas) varían las ventas diarias?
Procedimiento
Sea x el número de donas (en docenas) producidas y vendidas cada día. El costo total de producir x docenas de donas es:
yc = costos variables totales + costos fijos = 1.45x + 150 yc = C (x ) = 1.45x + 150
Ejemplo
Puesto que cada docena de donas se vende a $2.95, el ingreso R(x) obtenido por vender x doce- nas de donas es:
R(x) = 2.95x Por lo que la utilidad U es: ingresos-costos totales
U(x) = (2.95 x) – (1.45x – 150) U(x) = 2.95 x – 1.45x – 150 U(x) = 1.5x – 150
Como la utilidad varía entre $150 y $300 tenemos:
150 < 1.5x –150 < 300 Resolviendo esta desigualdad encontramos que 200 < x < 300.
Solución
La venta diaria de las docenas de donas está entre 200 y 300.
1. Supongamos que puedes rentar un automóvil en cierta compañía A en $250 por semana, sin cargo extra por millas recorridas. En otra compañía B el mismo auto puede rentarse en $150 por semana, más $0.25 por cada milla recorrida.
¿Cuántas millas debes recorrer en una semana para que la tarifa de la compañía B sea mayor que la de la compañía A?
2. Un centro de fotocopiado realiza un cargo de $0.15 por cada página fotocopiada. Una máquina copiadora vale $ 3 000, y su vida útil es de 4 años. Con tu propia copiadora el costo por página sería de $0.03.
¿Cuántas copias debes sacar en un periodo de 4 años para justificar la compra de la copiadora? 3. El costo de producir cierta cantidad de un artículo x a la semana está dado por C (x) = 5x + 600.
¿Cuántos artículos se tienen que producir mensualmente para que el costo sea menor de $1 200?
4. Una compañía vende la docena de un cierto artículo en $4.50. Además de los costos fijos (renta, seguros, etc.) de $120 diarios, por mano de obra producir una docena de dicho artículo cuesta $1.50. Si la utilidad diaria varía entre $48 y $189. ¿Entre qué límites (en docenas) varían las ventas diarias?
5. El ingreso que se obtiene al vender x unidades de un producto es: U(x) = 125.84x. El costo de producir x unidades es C(x) = 85x + 650. Para obtener utilidad, el ingreso debe ser mayor que el costo.
¿Para qué valores de x el productor obtiene ganancias?
6. Un departamento de cierta empresa compró equipo de oficina nuevo por $12 000. Si se depre- cia linealmente en $737.5 al año y se tiene un valor de desperdicio de $ 3 150.
¿Cuál será el tiempo máximo en que estará en uso el equipo? Ejercicios
Las funciones lineales muestran gráficas que son líneas rectas; aun cuando las funcio- nes lineales son modelos de un gran número de fenómenos y situaciones reales, no explican todas las relaciones entre dos variables.
En esta sección estudiarás la función cuadrática cuya gráfica es un tipo muy conocido de curva. Hay numerosos ejemplos de este tipo de función, como son los problemas relativos a áreas, pero también los que se refieren a la trayectoria de un objeto que es lanzado, la relación entre la longitud de la cuerda de un péndulo y el tiempo que le toma a éste dar una oscilación completa, relaciones entre un número y su recíproco, y muchos más.
Aquí mismo —y como una necesidad para resolver funciones cuadráticas— aprende- rás algunas cosas sobre los números imaginarios y complejos.
Por último, podrás determinar la ecuación particular de una fracción cuadrática de la información que se deriva de su gráfica. Todo el conocimiento que adquieras se orien- tará a que sepas interpretar y resolver problemas del mundo real que se expresen en términos de funciones cuadráticas.
1.3 Función cuadrática
Reconocer la forma general de la ecuación de la función cuadrática.
Objetivo
Una ecuación como la siguiente:
(1) y = 2x 2 - 8x + 6
es la ecuación de una función cuadrática; como puedes observar, en ella existe un término donde la variable independiente x está elevada al cuadrado, de donde se deriva su nombre.
Cuando la ecuación de la función está escrita en la forma del ejemplo dado, se dice que está en su forma general. Esto es:
(2) y = ax 2 + bx + c Donde a, b y c son constantes.
La constante a es el coeficiente del término cuadrado, es decir, x 2; a puede tomar cualquier valor positivo o
negativo, pero no puede ser igual a cero, pues en ese caso la ecuación se reduciría a la de una función lineal.