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Comenzamos con los siguientes lemas sobre funciones. Las pruebas son elementales y las omiti- mos.

3.1. REFINAMIENTOS Y MODELADO DE OPERADORES 61 Lema 3.1.3. Sean I = [α, β], J = [α0, β0] ⊆ R intervalos compactos, g : J → [0, 1] una funci´on decreciente y continua a derecha, y h : I → [0, 1] una funci´on decreciente y continua tal que h(α) ≥ h(α0) y h(β) ≤ g(β0). Si definimos ˜g : J → I dada por

˜

g(x) = m´ax{t ∈ I : g(x) = h(t)}

entonces, ˜g es una funci´on creciente continua a derecha tal que g = h ◦ ˜g.

Lema 3.1.4. Sean I = [α, β], J = [α0, β0] ⊆ R intervalos compactos y sea f : I → I0 una funci´on creciente continua a derecha tal que f (β0) = β. Si f†: I → J es la funci´on dada por

f†(λ) = m´ın{t ∈ I : λ ≤ f (t)} entonces es creciente y continua a izquierda y tal que, para cada t ∈ I

{λ ∈ I0 : f†(λ) > t} = {λ ∈ I0: λ > f (t)}. (3.2) M´as a´un, si ˜J ⊆ J y g : ˜J → I0 es tal que f (t) ≥ g(t) para cada t ∈ ˜J entonces g†≥ f†.

Lema 3.1.5. Sean I = [α, β], J = [α0, β0] ⊆ R y sea f : I → J una funci´on creciente y continua a izquierda tal que f (α) = α0. Si f†: J → I es la funci´on definida por

f†(λ) = m´ax{t ∈ I : λ ≥ f (t)}

entonces es creciente y continua a derecha y tal que, para cada t ∈ I vale

{λ ∈ J : λ < f (t)} = {λ ∈ J : f†(λ) < t}. (3.3)

En lo que sigue consideramos los valores singulares de los operadores positivos de un factor II1,

as´ı como las relaciones de preorden espectral y (sub)mayorizaci´on entre ´estos. Estas nociones se describen en la secci´on 2.4.4 de los Preliminares (ver las definiciones 2.4.15 y 2.4.17).

Teorema 3.1.6. Sea (M, τ ) un factor II1 y sea a ∈ M+. Entonces, existe un operador a0 ∈ M+

con distribuci´on continua tal que

1. La resoluci´on espectral de a0 refina la resoluci´on espectral de a.

2. Si b ∈ M+entonces, existe una funci´on hbcreciente y continua a izquierda tal que, si ˜b = hb(a0)

entonces µb= µ˜_b. M´as a´un, la resoluci´on espectral de a0 refina la resoluci´on espectral de b si

y solo si hb(a0) = b.

3. Si c+∈ M entonces c - b (resp c ≺w b, c ≺ b) si y solo si ˜c ≤ ˜b (resp ˜c ≺w ˜b, ˜c ≺ ˜b).

M´as a´un, si A ⊆ M es una masa y a ∈ A+ entonces podemos elegir a a0∈ A+_.

Demostraci´on. Sea a ∈ M+ _{y consideremos la resoluci´on espectral de p = P}

R(a) inducida por

a, {Eλ}λ∈I donde I = [0, kak], definida como en la ecuaci´on (3.1). Entonces, por el Teorema 3.1.2

existe un refinamiento fuerte y continuo ({E_λ0}λ∈I0, f ), donde I0 = [0, α] ⊆ R+ es un intervalo

cerrado. Sea

a0 = Z

I0

y notemos que Pa0(0, ∞) = E₀0 = 1, pues {E0_λ} es continua. Luego a0 ∈ M+ _{es un operador con}

distribuci´on continua y tal que Pa(s, ∞) = Pa0(f (s), ∞) para cada s ∈ I. Sea h : [0, ka0k](= I0) → [0, 1] la funci´on definida por h(s) = τ (Pa0(s, ∞)) y notemos que h es continua, decreciente y tal que h(0) = 1 y h(ka0k) = 0.

Sea b ∈ M+ y sea g : [0, kbk](= J ) → [0, 1] la funci´on decreciente y continua a derecha definida por g(s) = τ (Pb(s, ∞)). Por el Lema 3.1.3, existe una funci´on creciente y continua a derecha ˜

g : J → I0, tal que g = h ◦ ˜g es decir,

τ (Pb(s, ∞)) = τ (Pa0(˜g(s), ∞)), s ∈ J. (3.4) Por el Lema 3.1.4 existe ˜g† := hb : I0 → J creciente (y luego uniformemente acotada y medible)

continua a derecha tal que

{λ ∈ I0 : hb(λ) > s} = {λ ∈ I0: λ > ˜g(s)}, s ∈ J. (3.5)

Sea ˜b =R

I0hb(λ) dE0λ y notemos que P ˜

b_{(s, ∞) = P}a0

(˜g(s), ∞), que se deduce de la ecuaci´on (3.5). Entonces, por la ecuaci´on (3.4) tenemos que

τ (P˜b(s, ∞)) = τ (Pa0(˜g(s), ∞)) = τ (Pb(s, ∞)), s ∈ J. (3.6) Luego, b y ˜b tienen los mismos valores singulares.

Supongamos que la resoluci´on espectral de b ∈ M+ _{est´a refinada por la resoluci´on espectral}

de a0. Sea ˜b = hb(a0) y notemos que P ˜

b_{(s, ∞) = P}a0_{(˜g(s), ∞) y P}b_{(s, ∞) = P}a0_(f0_{(s), ∞) para}

alguna funci´on creciente y continua a derecha f0 : [0, kbk] → I0. Entonces P˜b_{(s, ∞) ≤ P}b_{(s, ∞)}

´

o Pb(s, ∞) ≤ P˜b(s, ∞) y

τ (Pb(s, ∞)) = τ (P˜b(s, ∞)) ⇒ Pb(s, ∞) = P˜b(s, ∞), s ∈ J.

Por otra parte, si b = h(a0) para alguna funci´on creciente y continua a izquierda h : I0 → [0, kbk] entonces es sencillo verificar que a0 refina a b.

Finalmente, supongamos que c ∈ M+es tal que µc≤ µbo, equivalentemente, que τ (Pc(s, ∞)) ≤

τ (Pb(s, ∞)) para todo s ≥ 0. Sea k(s) = τ (Pc(s, ∞)), ˜k obtenida de k como en el Lema 3.1.3, y ˜k†= hc obtenida de ˜k como en el Lema 3.1.4. Entonces, hc ≤ hb; de hecho, τ (Pc(s, ∞)) ≤ τ (Pb(s, ∞))

implica que ˜g ≤ ˜k y, por el Lema 3.1.4, concluimos que ˜k†≤ ˜g†. El resto del teorema es consecuencia de las igualdades µc= µ˜c y µb= µ˜_b.

Observaci´on 3.1.7. Con las notaciones de la prueba del teorema anterior, decimos que ˜b ∈ M+ es un modelo de b ∈ M+. Como una consecuencia inmediata del ´ıtem 2. en la Proposici´on 2.4.14, concluimos que el modelo ˜b es aproximadamente unitariamente equivalente a b en M.

La siguiente aplicaci´on del Teorema 3.1.6 provee nuevas caracterizaciones del preorden espec- tral y la submayorizaci´on entre operadores positivos en factores II1. Estas caracterizaciones dan

una respuesta parcial afirmativa a un problema propuesto en [33] (ver la secci´on 3.1.3 para una discusi´on detallada de este problema). Notemos que estas reformulaciones involucran desigualdades con respecto al orden usual de operadores.

3.1. REFINAMIENTOS Y MODELADO DE OPERADORES 63 Teorema 3.1.8. Sea (M, τ ) un factor II1 y sean a, b ∈ M+. Entonces

1. b domina espectralmente a a si y solo si existe

c ∈ UM(b) tal que a ≤ c (3.7)

o, equivalentemente, si existe

UM(a) 3 d tal que d ≤ b . (3.8)

M´as a´un , podemos asumir que a y c conmutan y, b y d conmutan. 2. b submayoriza a a si y solo si existe c ∈ M+ tal que

a ≤ c ≺ b. (3.9)

M´as a´un , podemos asumir que a y c conmutan.

Observaci´on 3.1.9. Recordemos que para operadores positivos a, b ∈ M+, a ≤ b implica que a - b. Entonces, en el caso general de un factor semifinito, la existencia de operadores c, d que verifiquen las f´ormulas (3.7) ´o (3.8), implican la dominaci´on espectral. An´alogamente, la existencia de un operador c tal que la f´ormula (3.9) se verifique, implica la submayorizaci´on. As´ı, el objetivo del Teorema 3.1.8 es mostrar que las implicaciones rec´ıprocas son ciertas en el caso de un factor finito.

Demostraci´on. Probamos la primera parte del ´ıtem 1. Sea a ∈ M+y notemos que, por el Teorema 3.1.6, existe a0 ∈ M+ _{con las propiedades de los ´ıtems 1., 2., y 3. en ese teorema. Sea b ∈ M}+

tal que a - b es decir, µa ≤ µb. Entonces, nuevamente por el Teorema 3.1.6, existe una funci´on

creciente y continua a izquierda hb tal que ˜b = hb(a0) tiene los mismos valores singulares que b i.e,

µb = µ˜_b. Por el ´ıtem 2. en la Proposici´on 2.4.14, esto implica que ˜b ∈ UM(b). Como por hip´otesis

µa≤ µb entonces, por los ´ıtems 2. y 3. en el Teorema 3.1.6, tenemos ˜b = hb(a0) ≥ ha(a0) = a. As´ı,

obtenemos la f´ormula (3.7) con c = ˜b. La prueba de la segunda parte sigue un argumento similar, considerando el modelo de a con respecto a un refinamiento de b.

Para probar el segundo ´ıtem, sean a y a0como en la primera parte de la prueba. Sea b ∈ M+tal que a ≺ b y sea ν = νa0 la medida inducida por la traza y la medida espectral de a0 en I0= [0, ka0k]

es decir, ν(∆) = τ (χ∆(a0)). Entonces, si ha, hb son como en el Teorema 3.1.6 se tiene ha ≺ hb en

el espacio de medida (I0, ν). Luego, por el ´ıtem 2. en la Proposici´on 2.4.21 existe h ∈ L∞(I0, ν) tal que ha ≤ h ≺ hb. Sea c = h(a0) y notemos que, por construcci´on c ≺ b. El resultado es una

consecuencia de este ´ultimo hecho y de que a = ha(a0).

El siguiente corolario es una consecuencia inmediata del Teorema 3.1.8 y del hecho de que, para operadores positivos a, b ∈ M+, a - b implica a ≺w b.

Corolario 3.1.10. Con las notaciones del teorema, si b domina espectralmente a a entonces existe c ∈ M+ tal que a ≤ c ≺ b. M´as a´un, podemos suponer que a y c conmutan.

En el siguiente corolario agregamos un ´ıtem a la caracterizaci´on de la dominaci´on espectral dada en el Teorema 3.1.8.

Corolario 3.1.11. Sean a, b ∈ M+ entonces, los siguientes son equivalentes: 1. b domina espectralmente a a

2. Existe c ∈ UM(b) tal que a ≤ c.

3. Existe d ∈ UM(a) tal que d ≤ b.

4. Existe una REDA {Eλ}λ∈I, donde I = [0, kak] tal que τ (Eλ) = τ (Pa(λ, ∞)) para cada λ ∈ I

y

λEλ ≤ Eλb Eλ, ∀λ ≥ 0. (3.10)

Demostraci´on. La equivalencia de los ´ıtems 1, 2 y 3 se prob´o en el Teorema 3.1.8. Supongamos que existe una sucesi´on (v∗_navn)n⊆ UM(a) tal que l´ımn→∞kd − vn∗avnk = 0 y d ≤ b para alg´un d ∈ M+.

Notemos que, para cada λ ≥ 0 tenemos τ (Pa(λ, ∞)) = τ (Pd(λ, ∞)), pues l´ımn→∞Pv

∗

navn_{(λ, ∞) =}

Pd(λ, ∞) σ-WOT. M´as a´un ,

λPd(λ, ∞) ≤ Pd(λ, ∞) d ≤ Pd(λ, ∞) b Pd(λ, ∞).

Entonces, si definimos Eλ = Pd(λ, ∞), {Eλ}λ∈[0, kak] es una REDA con las propiedades requeridas.

Finalmente, asumamos que existe una REDA {Eλ}λ∈[0,kak] como en el ´ıtem 4. Dado  > 0, sea

b= b + I y notemos que

λ Eλ < EλbEλ

y luego, PEλbEλ_{(λ, ∞) = E}

λ. En [32] Fack prob´o la siguiente desigualdad de tipo entrelace: para

cada proyecci´on ortogonal p ∈ M, p b p - b. Entonces

τ (Pa(λ, ∞)) = τ (Eλ) = τ (PEλbEλ(λ, ∞)) ≤ τ (Pb(λ, ∞)).

La desigualdad anterior muestra que µa ≤ µb para cada  > 0. Entonces el resultado es una

consecuencia del hecho de que l´ım_→0+µ_b(t) = µ_b(t) para cada t ≥ 0.

Observaci´on 3.1.12. En la ´ultima parte de la prueba del Corolario 3.1.11 no hemos usado el hecho de que estamos considerando un factor (M, τ ) sino mas bien un ´algebra de von Neumann semifinita . Luego, la existencia de una resoluci´on espectral {Eλ}λ∈I que satisface las hip´otesis del

´ıtem 4. implica la dominaci´on espectral en un ´algebra de von Neumann semifinita arbitraria. Este ´

ultimo hecho ha sido probado en [33].

Seguidamente, aplicamos los resultados obtenidos a las siguientes desigualdades de tipo Young obtenidas por Farenick y Manjegani en [33].

Corolario 3.1.13. Sea (M, τ ) un factor II1, sean x, y ∈ M y p, q > 1 ´ındices conjugados. Entonces,

existen sucesiones (un)n∈N, (vn)n∈N⊆ M de operadores unitarios tales que

|xy∗| ≤ l´ım n→∞u ∗ n(p−1|x|p+ q−1|y|q)un y l´ım n→∞v ∗ n|xy ∗_|v n≤ p−1|x|p+ q−1|y|q

3.1. REFINAMIENTOS Y MODELADO DE OPERADORES 65 Demostraci´on. En [33] probaron que si p, q, x, y son como en el enunciado, entonces |xy∗| - p−1|x|p_{+ q}−1_|y|q_{. El resultado es una consecuencia de este hecho y del Teorema 3.1.8.}

Esta reformulaci´on de las desigualdades de tipo Young, que son en realidad equivalentes al resultado obtenido en [33] son formalmente similares a las obtenidas por T. Ando en el contexto de las ´algebras de matrices.