Practical example and comparison

4.4.

Teorema de Gauss para el campo eléctrico

4.4.1.

Flujo eléctrico

Supongamos una región del espacio en la que existe un campo eléctrico uniforme. Consideremos asimismo una superficie plana en dicha región del espacio, entonces, se define vector superficie ~S asociado precisamente a dicha superficie, como un vector cuyo módulo es el área de la superficie en cuestión, su dirección es perpendicular a la su- perficie, y el sentido el que esté más próximo al vector inducción magnética. Se define

Figura 4.8

flujo eléctrico, es decir, flujo del vector ~E a través de la superficie S, de la sigu- iente manera, Φ = ~E · ~S = E · S · cos θ. Físicamente, representa el número de líneas de campo del campo eléctrico que atraviesan la superficie considerada. De la definición se ve claro que si el campo eléctrico es es paralelo a la superficie el flujo es nulo, lo cual se puede entender gráficamente ya que en este caso ninguna línea de campo atravesaría la superficie. La unidad de flujo eléctrico en el S.I. es el (N/C) · m2_.

Si el campo eléctrico no es uniforme se deberá hacer una partición en la superficie en cuadrados muy pequeños. En cada cuadrado se puede suponer que ~E es uniforme de manera que el flujo total será

Φ = l´ım N →∞ N X i=1 ~ Ei· ∆ ~Si (4.9)

que se representa simbólicamente de la siguiente forma Φ =

Z

S

~

4.4.2.

Enunciado del Teorema de Gauss

Sea una superficie cerrada (que suele denominarse superficie de Gauss) relativa a una región del espacio en la que existe un campo eléctrico, entonces el flujo eléctrico a través de dicha superficie cerrada viene dado por

Φ = I S ~ E · d ~S = (1/0) N X i=1 qi = 4πKe N X i=1 qi (4.11) donde PN

i=1qi es la suma de las cargas en el interior de la superficie. Omitiremos la

demostración ya que corresponde a un nivel universitario.

4.4.3.

Aplicaciones

Campo en el interior y en el exterior de un conductor

Una sustancia conductora será considerada como un sistema (distribución continua de materia) en la que al estar cargada las cargas eléctricas pueden moverse. Lo primero que debemos de tener en cuenta es que la carga eléctrica en el interior de un conductor cargado es nula. En efecto, si no fuera así, esto es, si la carga estuviera en el interior se producirían repulsiones que obligaría a ésta a distribuirse por la superficie de forma que las repulsiones sean mínimas. Por ello, deberemos convenir que la carga eléctrica de un conductor cargado se distribuye en la superficie del mismo. Ello conformará una situación de distribución superficial de carga estacionaria.

Por ello también, deberemos admitir que el campo eléctrico en el interior del con- ductor será nulo, ya que, en caso contrario, dicho campo eléctrico obligaría a las cargas eléctricas a moverse, en contra de la situación estacionaria de que hablábamos. En efec- to, el hecho de que no exista carga en el interior de un conductor quiere decir que en su interior la materia está neutra, es decir, que las cargas positivas compensan las negati- vas. Si el campo en el interior de un conductor no fuese cero, polarizaría las cargas en el interior generándose un movimiento interno de cargas en contradicción con la situación estacionaria que supuestamente se habrá alcanzado.

El hecho de que el campo eléctrico en el interior de un conductor sea cero también se puede ver desde el Teorema de Gauss ya que si consideramos una superficie de Gauss en el interior del conductor y dado que la carga en el interior es cero el flujo eléctrico deberá ser cero con independencia de cómo sea la superficie de Gauss lo cual sólo puede ser compatible con el hecho de que el campo sea nulo.

Por otra parte, en el exterior del conductor (cerca de la superficie), el campo es normal a la misma superficie, ya que en caso contrario, las cargas se moverían por la superficie lo cual estaría asimismo en contradicción de una situación estacionaria. Por tanto, si se aplica el Teorema de Gauss a una superficie pequeña que tenga parte en el interior y parte en el exterior del conductor.

4.4. TEOREMA DE GAUSS PARA EL CAMPO ELÉCTRICO 95

Figura 4.9

Como el campo eléctrico en el exterior es perpendicular a la superficie podemos tomar como superficie gaussiana un pequeño cilindro con caras paralelas a la superficie del conductor como se muestra en la figura. El cilindro será suficientemente pequeño como para considerar constante el módulo del campo eléctrico y que la curvatura de la superficie del conductor sea despreciable. El flujo sólo será no nulo hacia la dirección perpendicular a la superficie y hacia el exterior ya que el producto escalar en la otras direcciones será cero (en el interior porque el campo es cero y en los laterales porque el producto escalar entre el campo y el vector superficie sería cero). Por tanto,

Φ = E∆S = q 0 = σ∆S 0 (4.12) por lo que E = σ 0 (4.13)

Campo en el interior y en el exterior de una esfera conductora cargada

Para analizar cómo es la distribución de campo distinguiremos puntos interiores y puntos exteriores a la esfera. En puntos interiores dado que la esfera es conductora el campo será cero por los mismo motivos vistos en el apartado anterior.

Para puntos exteriores consideraremos la superficie gaussiana de radio r de la parte (b) de la figura. El campo eléctrico será radial por simetría ya que una esfera implica que no hay ninguna dirección privilegiada. Por otra parte si suponemos que la carga es positiva el campo será hacia afuera. Finalmente, el campo también debido a la simetría esférica sólo dependerá de la distancia r al centro de la esfera. Por tanto,

Φ = E4πr2 = Q 0 (4.14) por lo que E = 1 4π0 Q r2 (4.15)

La figura representa la variación del módulo del campo eléctrico en función de la distancia r al centro de la esfera.

Figura 4.11

Hay que fijarse que a los efectos del campo eléctrico es lo mismo una esfera conductora cargada que una esfera no conductora hueca (corteza esférica).

Campo en el interior y en el exterior de una esfera no conductora maciza cargada

En este caso la situación es igual al caso anterior para puntos exteriores. Para puntos interiores, sin embargo, la situación es radicalmente diferente ya que la carga no sólo no va a ser nula sino que estará distribuida por toda la esfera. Supondremos que esta distribución es uniforme. Por ello, si consideramos un punto interior a una distancia r del centro de la esfera menor que el radio de la misma y que esa distancia será el radio de la superficie esférica gaussiana a la que aplicaremos el Teorema de Gauss tenemos,

Φ = E4πr2 = Qint 0

4.5. POTENCIAL ELÉCTRICO. ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA. 97