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Effros, como una versi´on a tiempos largos de producto usual.

Recordemos que cada sistema f´ısico particular esta determinado por su estado seg´un la definici´on 1.3, es decir por un funcional linealϕ, y para extraer informaci´on del observableA ∈Mn(C), que se pueda medir en el laboratorio,

debemos calcular los momentos de su distribuci´on de probabilidad asociada.

Ak_ϕ =ϕ(Ak) (9.1)

En particular el valor de expectaci´on del observable es ϕ(A).

As´ı como para tiempos largos los observables importantes son aquellos que est´an en M, hay estados que son los que dominan para tiempos largos tambi´en. Tomemos la proyecci´on al subespacio asint´otico P : Mn(C)→ M,

esta induce por la definici´on 1.2 una proyecci´on sobre los estados P0 a un subespacioM0 _{caracterizado por}

ϕ∈ M0 ⇐⇒ P0(ϕ) = ϕ◦P =ϕ (9.2) No es dif´ıcil ver que la evoluci´on dual sobre los estados tambi´en esta dominada por la parte enM0 _deϕ.

T_t0(ϕ)−T_t0(P0(ϕ))−−−→

t→∞ 0 ∀ϕ (9.3)

En ese sentido es conveniente llamar a los estados ϕ ∈ M0 _{como estados}

asint´oticos. La siguiente proposici´on muestra que para tiempos largos solo tiene sentido usar los estados asint´oticos y los observables en el subespacio asint´otico M para extraer informaci´on f´ısica.

Proposici´on 9.1. Sea A ∈ Mn(C) un observable y ϕ un estado. Entonces

es cierto que

hTt(A)i_ϕ− hTt(P(A))i_P0_(ϕ)−−−→

t→∞ 0 (9.4)

Es decir, calcular el valor de expectaci´on de un observable A en el estado ϕ para tiempos grandes es equivalente a usar P(A)∈ M yP0(ϕ)∈ M0_.

Demostraci´on. Denotamos por Q la proyecci´on al subespacio disipativo. Es decir, Q(A) =A−P(A) para todo A en Mn(C). Tomemos ahora un obser-

vable A y un estado ϕ arbitrario.

A=P(A) +Q(A) ϕ=P0(ϕ) +Q0(ϕ) (9.6) Sabemos que Tt(Q(A))−−−→ t→∞ 0 (9.7) T_t0(Q0(ϕ))−−−→ t→∞ 0 (9.8) Entonces hTt(A)iϕ =ϕ◦Tt(A) = ϕ◦Tt/2◦Tt/2(A) =Tt/02(ϕ)◦Tt/2(A) = =T_t/0₂(P0(ϕ))◦Tt/2(P(A)) +Tt/0 2(P 0 (ϕ))◦Tt/2(Q(A))+ +T_t/0 ₂(Q0(ϕ))◦Tt/2(P(A)) +Tt/0 2(Q 0_(ϕ))◦T t/2(Q(A)) (9.9) Y esta ´ultima es asint´otico por (9.7) y (9.8) a

hTt(A)iϕ _t→∞ T

0

t/2(P 0

(ϕ))◦Tt/2(P(A)) = hTt(P(A))iP0_(ϕ) (9.10)

Podemos entonces asumir que para tiempos largos solo nos interesan los observables en M y los estados en M0_{. Para ellos es que podemos dar una} interpretaci´on del producto Choi-Effros con la siguiente proposici´on.

Proposici´on 9.2. Para todoAyB enMy estadoϕenM0_{vale lo siguiente.}

* A◦ · · · ◦A | {z } m veces ◦B◦ · · · ◦B | {z } l veces + ϕ =AmBl_ϕ (9.11)

Es decir, las funciones correlaci´on entre dos observables en M pueden ser calculadas por el producto Choi-Effros en vez del producto usual si conside- ramos estados asint´oticos.

Demostraci´on. Aplicando la proposici´on 7.2 es sencillo ver que.

A◦ · · · ◦A | {z } m veces ◦B◦ · · · ◦B | {z } l veces =P(AmBl) (9.12)

Y por lo tanto * A◦ · · · ◦A | {z } m veces ◦B ◦ · · · ◦B | {z } l veces + ϕ =ϕ◦P(AmBl) (9.13)

Pero comoϕ esta enM0_.

ϕ◦P =ϕ (9.14)

As´ı

ϕ◦P(AmBl) =ϕ(AmBl) = AmBl_ϕ (9.15)

Usando las dos ´ultimas proposiciones, vemos que para tiempos largos solo necesitamos considerar observables en el subespacio asint´otico y estados asint´oticos. Para ellos, las funciones correlaci´on pueden ser calculadas usando el producto Choi-Effros, es en este sentido que es una versi´on asint´otica del producto usual. Cuando el producto Choi-Effros no coincide con el usual

A◦B 6=AB (9.16)

Puede ocurrir que dos observables A y B no conmuten y sin embargo si conmuten con el producto Choi-Effros, es decir:

[A, B]6= 0 [A, B]_CE = 0 (9.17) En ese caso, para escalas de tiempo grandes, dos observables incompatibles (que no conmutan y por ende no admiten una distribuci´on de probabilidad cl´asica conjunta) pueden volverse indistinguibles de un par de observables compatibles (si conmutan con el producto Choi-Effros). Esto es interesante, porque nos dice que comportamientos cl´asicos de los observables pueden sur- gir como consecuencia de la din´amica abierta. ¿Cu´al es la escala de tiempo en la que uno tiene que medir para ver este comportamiento? Las partes reales de los autovalores del generador nos proporcionan una respuesta, ya que son ellas las que indican que tan r´apido decaen las cosas en el subespacio disipativo. En particular si definimos:

1

τ .

Esperamos que las f´ormulas asint´oticas y las conclusiones que se derivan de ellas sean una buena aproximaci´on cuando trabajamos en escalas de tiempo donde:

10.

Conclusiones

En esta secci´on enunciamos el resultado sobre el comportamiento general de SDC para tiempos largos en dimensi´on finita.

Teorema 10.1. Sea {Tt}t≥0 un SDC en dimensi´on finita. Entonces existe

una proyecci´on P completamente positiva, ∗−invariante, y unital tal que si Ran(P) = M Ran(1−P) = A (10.1)

Entonces Mn(C) puede ser escrito como

Mn(C) =M ⊕ A (10.2)

Donde M y A son subespacios Tt invariantes para todo t≥0 que cumplen.

Tt(A)−−−→ t→∞ 0 A∈ A (10.3) Tt(A) = P(Uet ∗ AUet) A∈ M (10.4) Donde e Ut =P(e−itH) (10.5) Con H =H∗ en M.

Es decir, obtuvimos una descomposici´on del espacio de observables com- pletamente general, en una parte que se disipa con el tiempo y otra cuya evoluci´on es unitaria respecto a un nuevo producto. Adem´as, dimos una in- terpretaci´on para dicho producto argumentando que para tiempos largos solo es necesario considerar estados y observables asint´oticos para obtener infor- maci´on f´ısica, y en esta situaci´on los c´alculos con ambos productos coinciden. Recalcamos tambi´en que toda la informaci´on asint´otica est´a contenida en la proyecci´onP, pues a partir de ella se pueden calcular todos los t´erminos que aparecen en la f´ormula asint´otica. Adem´asP puede ser calculado resolviendo un problema de autovalores, lo que le da un valor pr´actico extra a la descom- posici´on, esto difiere notablemente de otros enfoques donde las definiciones deMyA son dadas de forma que no son calculables de forma sencilla en la pr´actica.

La aparici´on de un nuevo producto, permite adem´as argumentar la apari- ci´on de comportamientos cl´asicos en los observables si uno mide en escalas de tiempos grandes, ya que la no conmutatividad caracter´ıstica de la cu´antica puede ser ocultada por los efectos de disipaci´on, este ´ultimo es un resultado novedoso en el an´alisis de la ecuaci´on de Lindblad.

Referencias

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