Cuando al emplear la prueba de X2se presentan valores esperados menores a cinco y cuando el total de casos es inferior a 60, se recomienda utilizar la prueba exacta de
Fisher en vez de la de X2. Sin embargo, existe una diferencia importante en el
planteamiento de ambas pruebas: la de X2evalúa la probabilidad de discrepancias en ambos sentidos, mientras que la prueba exacta de Fisher sólo considera diferen- cias en una dirección (véase la Sec IV. 3). Para eliminar esta diferencia basta duplicar el resultado de la probabilidad exacta.
La prueba de Fisher se basa en el cálculo exacto de la probabilidad de encon- trar diferencias iguales o mayores que las existentes entre los datos y la hipótesis nula de independencia entre las variables. Aunque la evaluación de las probabilida- des es simple, el procedimiento es largo y complicado porque requiere considerar la serie de tablas 2 x 2 que señalan diferencias mayores que las observadas.
Antes de exponer el cálculo de las probabilidades exactas, se introducirá la notación del factorial de un número entero, NI, que indica el factorial de TV; N\ signi- fica que N debe multiplicarse por todos los enteros menores a él, hasta uno:
M = N (AM) (N-2) (N-3) (W-4)... (1)
Por ejemplo: 4! = 4 (3) (2) (1) = 24 7! = 7 (6) (5) (4) (3) (2) (1) = 5 040
Por definición, el factorial de cero es uno (0! = 1).
La probabilidad de un conjunto específico de frecuencias en las celdas de una tabla 2 x 2 , considerando que los totales marginales son valores fijos, se obtiene mediante:
El procedimiento consiste en calcular esta probabilidad en la tabla que contiene los datos y, también, en todas las tablas que impliquen una diferencia mayor que la observada; el resultado de la prueba es la suma de las probabilidades obtenidas. La probabilidad exacta se interpreta directamente, si es menor de 0.05 o de 0.01 se afirma que hay diferencia entre las proporciones en ambos grupos; la probabilidad de error tipo I es a calculada o la significancia observada. Feldman y Klinger (1963), idearon un método para abreviar el cálculo de esta prueba, en el ejemplo se descri- be ese método.
Para generar las tablas que indican una diferencia mayor que la existente en los datos, se toma el menor de a, b, c y d, se le resta uno y se ajustan los valores de las otras celdas a fin de conservar fijos los totales. Estos pasos se repiten hasta obtener una tabla cuya frecuencia menor sea cero.
Ejemplo IV.3: cálculo de la prueba exacta de Fisher
En un estudio acerca de la producción porcina en México, se analizaron gran- jas del bajío y del noroeste del país, y para cada una se averiguó si contaba con planes de producción bien establecidos. Los datos que aparecen en el cuadro IV.6 indican que 43% de las empresas en el bajío programan su producción y que en el noroeste el 71% lo hace.
Si las dos variables son independientes, la probabilidad de que ocurra el arre- glo de frecuencias que aparece en el cuadro IV. 6 es:
Se usa como subíndice de p la menor frecuencia que aparece en la tabla, en este caso el menor de 3, 5, 3 y 2, el cual es 2. Las tablas 2 x 2 que muestran diferen- cias mayores entre porcentajes de respuesta a la existente en los datos, se presentan en el cuadro IV. 7.
La probabilidad de cometer un error tipo I, al afirmar que los porcentajes son distintos en ambos grupos, se obtiene de la suma de las probabilidades asociadas a cada tabla:
Cuadro IV.6
Ubicación geográfica y planificación en 14 granjas
Ubicación _______
Bajío Noroeste Total Programas Planifican 3 5 8 de
producción No planifican 4 2 6 __________________Total _________________7__________ 7__________ 14
Cuadro IV. 7
Tablas 2 x 2 con mayor discrepancia respecto de la independencia que los datos del cuadro IV.6
(á) Ubicación _______
Bajío Noroeste Total Programas Planifican 2 6 8
de
producción No planifican 5 1 6
Total 7 7 14
(b) Ubicación _______
Bajío Noroeste Total Programas Planifican 1 7 8
de
producción No planifican 6 0 6
Total 7 7 14
Feldman y Klinger (1963) desarrollaron un método abreviado para calcular F, con base en una fórmula que se aplica de manera recurrente:
Si la frecuencia más pequeña en la tabla 2 x 2 aparece en las casillas b o c, la expresión cambia a:
Para realizar los cálculos conforme este método se obtiene la probabilidad en la tabla original, y para las subsecuentes se utiliza la fórmula mencionada; por ejem- plo, usando los datos anteriores (cuadros IV.6 y IV.7):
Puede corroborarse que este valor corresponde al resultado que se obtuvo con el método directo. La probabilidad exacta que se busca depende del planteamiento del problema; si la hipótesis original señala una dirección específica para la diferen- cia entre ambos grupos, entonces la probabilidad exacta de caer en un error del tipo I es el valor de F ya calculado. Este caso ocurre cuando la pregunta es ¿hay un mayor grado de planificación en el noroeste que en el bajío? El juego de hipótesis implica- do es:
Ho: P1 > P2 Ha: P1 < P2
Como F = 0.296 04 es mayor que 0.05 se concluye que no hay una diferencia significativa en el porcentaje de planificación en ambos grupos.
Si, por el contrario, no se establece desde un principio que la diferencia entre los grupos ocurra de un modo específico, entonces la probabilidad de cometer un error tipo I será el doble de F. Así, al plantear preguntas como ¿difieren los empre- sas de ambas zonas en el grado de planeación de sus actividades? no se especifica ventaja de un grupo sobre el otro, por lo que las hipótesis estadísticas son:
Ho: P1 = P2 Ha: P1 P2
Y la probabilidad exacta que resulta de la prueba de Fisher es el doble de F. Para este caso el ejemplo daría como resultado final: a observada = 2F = 2(0.296 04) = 0.592 08 que por ser mayor de 0.05 indica que la diferencia en el porcentaje de granjas que planean sus operaciones no es significativamente distinto.