2.2.1.
Conjunto finito
Definición 2.2 Conjunto finito
Aquel conjunto que consta de cierto número de elementos distintos cuyo proceso de conteo tiene límite, se denomina conjunto finito.
Ejemplo 2.2 Sea
A = {x/x = provincias de Ecuador}
Que se lee ¨A es el conjunto de las x, tales que x son las provincias de Ecuador¨. A es un conjunto finito porque si es posible contar todas las provincias de Ecuador.
2.2.2.
Conjunto infinito
Definición 2.3 Conjunto infinito
Aquel conjunto que consta de un número indeterminado de elementos distintos, se denomina con- junto infinito.
Ejemplo 2.3 Sea
A = {z/z = arena en el mar}
Que se lee ¨A es el conjunto de las z, tales que z son los granos de arena en el mar¨. A es un conjunto infinito porque no se puede contar el número de granos de arena, es infinito.
2.2.3.
Noción de pertenencia
Se indica el hecho de que x es un elemento del conjunto A escribiendo x ∈ A y se indica el hecho de que x no es un elemento del conjunto A escribiendo x /∈ A.
Ejemplo 2.4 Sea A = {1, 3, 5, 7}. Entonces 1 ∈ A, 3 ∈ A pero 2 /∈ A.
Ejemplo 2.5 Si S = {x/x es un número natural menor que 4}, es el conjunto {1, 2, 3} de- scrito anteriormente, enlistando sus elementos.
Ejemplo 2.6 Sea S = {x/x es un número real y x2 = −1}, dado que el cuadrado de un número real x es siempre positivo.
2.2.4.
Igualdad de conjuntos
Definición 2.4 Igualdad de conjuntos
Los conjuntos son totalmente determinados cuando se conocen todos sus miembros. Así pues, se dice que dos conjuntos A y B son iguales si tienen los mismos elementos y se escribe A = B.
CAPÍTULO 2. TEORÍA DE CONJUNTOS 54
2.2.5.
Conjuntos vacío
Definición 2.5 Conjunto vacío
Cuando la condición impuesta es contradictoria, no existe ningún elemento que la cumpla, se dice que define un conjunto vacío, que suele simbolizarse por .
Ejemplo 2.8 Son vacíos los conjuntos siguientes: triángulos equiláteros rectángulos; números primos pares mayores que 2.
2.2.6.
Conjunto unitario
Definición 2.6 Conjunto unitario
Un conjunto que tiene un único elemento, se denomina conjunto unitario.
Ejemplo 2.9 Sea
A = {Los meses del año, cuyo nombre empieza con F }
2.2.7.
Conjunto universal
Definición 2.7 Conjunto universal
El conjunto que contiene a todos los elementos de otros conjuntos, se denomina conjunto universal o referencial. Se denota con la letra U.
Ejemplo 2.10 Sea
A = {T odos los números}
Este es un conjunto universal, porque contiene todos los números de los conjuntos R, N, Z, C, ....
2.2.8.
Subconjunto
Definición 2.8 Subconjunto
Si todos los elementos de A son también elementos de B, esto es si cuando x ∈ A, entonces x ∈ B, decimos que A es un subconjunto de B o que A está contenido en B y se escribe A ⊆ B. Si A no es un subconjunto de B, se escribe A B.
Los conjuntos A y B son iguales si y solamente si B está incluido en A y A está incluido en B.
El conjunto vacío se considera subconjunto de todo conjunto.
Si A no es subconjunto de B, entonces hay por lo menos un elemento de A que no pertenece a B.
CAPÍTULO 2. TEORÍA DE CONJUNTOS 55
Subconjunto propio e impropio
Definición 2.9 Subconjunto propio e impropio
Si A ⊂ U y A 6= , A 6= U , el conjunto A se denomina subconjunto propio del conjunto U . Los subconjuntos y U del conjunto U reciben el nombre de impropios.
Es decir, dado A ⊂ B, entonces el subconjunto A es subconjunto propio del conjunto B, si por lo menos un elemento del conjunto B no es elemento del conjunto A. Pero si todos los elementos de A son iguales a los elementos de B, ya no es un subconjunto, en este caso los conjuntos son iguales.
Ejemplo 2.11 Se tiene que Z+ ⊆ Z. Además, si Q indica el conjunto de todos los números
racionales, entonces Z ⊆ Q.
Ejemplo 2.12 Determine si la proposición 2 ⊂ A = {−2, 2, 5} es verdadera o falsa. Solución
Es falsa pues 2 ∈ A como elemento, pero no como subconjunto.
Ejemplo 2.13 Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {2, 4, 5}, C = {1, 2, 3, 4, 5}. Entonces B ⊆ A, B ⊆ C, C ⊆ A. Sin embargo A B, A B, C B.
Definición 2.10 Subconjunto de sí mismo
Si A es cualquier conjunto, entonces A ⊆ A. Esto es, cualquier conjunto es subconjunto de sí mismo.
Sea A un conjunto y sea S = {A, {A}}, por tanto, puesto que A y {A} son elementos de S, tenemos que A ∈ S y {A} ∈ S. De esto se sigue que {A} ⊆ S y {{A}} ⊆ S. Sin embargo, no es verdad que A ⊆ S.
Dado que una implicación es verdadera si la hipótesis es falsa, se sigue que ⊆ A.
Ejemplo 2.14 Dados los conjuntos A, B, C, demuestre las siguientes expresiones: 1. Si A ⊆ B, B ⊆ C, entonces A ⊆ C;
2. Si A ⊂ B, B ⊆ C, entonces A ⊂ C; 3. Si A ⊆ B, B ⊂ C, entonces A ⊂ C; 4. Si A ⊂ B, B ⊂ C, entonces A ⊂ C. Solución
Procederemos a demostrar cada uno de los literales de forma minuciosa:
1. Sea x ∈ A. Como A ⊆ B, x ∈ B. Entonces con B ⊆ C, x ∈ C. De ahí que x ∈ A entonces x ∈ C y A ⊆ C.
2. Sea x ∈ A. A ⊂ B entonces x ∈ B. B ⊆ C entonces x ∈ C. De ahí que A ⊆ C. Como A ⊂ B, existe y ∈ B, donde y /∈ A. Con B ⊆ C, y ∈ C. En consecuencia, A ⊆ C e y ∈ C, con y /∈ A, de modo que A ⊂ C.
3. Si x ∈ A, entonces A ⊆ B entonces x ∈ B y B ⊂ C entonces x ∈ C. De ahí que A ⊆ C. Como B ⊂ C, existe y ∈ C con y /∈ B. Además, A ⊆ B e y /∈ B entonces y /∈ A. En consecuencia, A ⊆ C e y ∈ C con y /∈ A entonces A ⊂ C.
4. Como A ⊂ B, resulta que A ⊆ B. Entonces, el resultado se obtiene de 3).
Ejemplo 2.15 Para cualquier conjunto A, ⊆ A; ⊂ A si A 6= . Solución
Si el primer resultado no es verdadero, entonces ⊆ A, de modo que hay un elemento x del universo con x ∈ , pero x /∈ A. Pero x ∈ es imposible. Además, si A 6= , entonces hay un elemento a ∈ A y a /∈ , de modo que ⊂ A.
CAPÍTULO 2. TEORÍA DE CONJUNTOS 56
2.2.9.
Conjunto de partes
Definición 2.11 Conjunto de partes
Todo conjunto integrado por la totalidad de subconjuntos que se puede formar a partir de un con- junto dado, se denomina conjunto de partes y se denota P(A).
Ejemplo 2.16 Indique todos los subconjuntos del conjunto de tres elementos {a, b, c}. Solución
El conjunto de tres elementos tiene los subconjuntos impropios y {a, b, c} y los subconjuntos propios: {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}.
2.2.10.
Conjunto potencia
Definición 2.12 Conjunto potencia
Si A es un conjunto, entonces al conjunto de todos los subconjuntos de A se le llama conjunto potencia de A. Tienen la misma connotación del connunto de conjuntos.
Es decir, el conjunto potencia es el número de subconjuntos que se puede formar con elementos del conjunto, incluyendo el vacío. Se calcula con PA= 2n, donde n es el número de elementos del
conjunto A o ¨cardinalidad del conjunto A¨.
Ejemplo 2.17 Indique el número de subconjuntos o conjunto potencia del conjunto {a, b, c, d}. Solución
Aquí n = 4, por consiguiente
PA= 24= 16.