La relaci´on entre clases de equivalencia en bS/ 'D(GS) y funciones primas
puede ser extendida a todas las funciones de agregaci´on en FGS, debido a la
siguiente propiedad:
Definici´on 6. La clase de funciones de agregaci´on FGS est´a parcialmente
ordenada por la inclusi´on (hablando en t´erminos de conjuntos) de sus rangos, ⊆. Esto es, decimos que f f0 si y solo si para todo perfil profS, f profS ⊆ f0 profS.
El orden es parcial ya que es reflexivo, antisim´etrico y transitivo. No es completo, es decir, hay funciones de agregaci´on que no son comparables. Por otro lado, como no pusimos restricci´on sobre la cardinalidad de S o en el tipo de ´ordenes admisibles, Ord (S) puede ser tan grande como 2|S|. Lo que
51 realmente importa para nuestro argumento es que para cada f , su imagen es tal que Im f ⊆ Ord(S). Esto es, FGS est´a acotado superiormente. De acuer-
do al Lema de Zorn tenemos que cada cadena (suborden lineal) en hFGS, i
tiene un elemento maximal. Un argumento similar muestra que, dado que ∅ acota a FGS inferiormente, la existencia de una funci´on de agregaci´on minimal
(prima) est´a asegurada.
Ejemplo 11. Consideremos la familia de funciones de agregaci´on q − cuota: para cada perfil hR1, . . . , Rni y cada s, t ∈ S, fq hR1, . . . , Rni(s, t) si y solo
si existe un Iq ⊆ {1, . . . , n}, tal que |Iq| = dq×n
100e y para cada i ∈ I q, R
i(s, t).5
Para la secuencia decreciente q ↓1000 tenemos la siguiente cadena: f100 . . . f99 . . . f1
es decir, de la funci´on de agregaci´on Unanimidad a la funci´on de agregaci´on Inclusiva.6
El orden entre funciones de agregaci´on se refleja en la estructura de las situaciones sociales.
Proposici´on 8. Para cualquier funci´on de agregaci´on f ∈ FGS existe una
familia de clases de equivalencia { ¯Sj}
j∈J ⊆ bS/ 'D(GS) tal que
f (profS) = ¯R para todo S = hS, profS; ¯Ri ∈ ∪j∈JS¯j.
Prueba. Para cada funci´on de agregaci´on prima f existe una familia {fj}j∈J−0
de funciones de agregaci´on prima tal que cada fj f . Consideremos cada
¯
R ∈ Im f. Si ¯R 6= ∅ solo consideremos las clases de equivalencia asociadas a cada funci´on prima de acuerdo con el Teorema 11: { ¯Sj}
j∈J−0 ⊆ bS/ 'D(GS).
Es claro que para cada profS tal que S ∈ ∪j∈J−0S¯
j tenemos que existe
al menos un j ∈ J−0 que verifica que fj(profS) = ¯R. Por otro lado, si
R = ∅ entonces consideremos ¯S0 la clase de todas las situaciones de la for-
ma hS, R1, . . . , Rn; ∅i. Esta clase corresponde a la funci´on prima f0 tal que
f0(profS) = ∅. Entonces, si consideramos la clase J = J−0∪ {0}, tenemos que
f (profS) = ¯R para cada S ∈ ∪j∈JS¯j.
Esto indica que cada f ∈ FGS puede ser asociada a una clase en el engro-
samiento de la partici´on bS/ 'D(GS). Esto muestra de hecho, que las propie-
dades de cualquier funci´on de agregaci´on pueden ser analizadas en t´erminos
5dre es el menor entero mayor que r.
del comportamiento de las uniones de clases de equivalencia en la partici´on b
S/ 'D(GS). Las caracter´ısticas de hFGS, i se reflejan en el orden agregacional
de bS:
Definici´on 7. El orden agregacional de bS es una subclase de particiones de b
S, hΠαi
α≥0, tal que Π0 = bS/ 'D(GS) y para cada par de ´ındices α < α 0
, Πα
es un refinamiento de Πα
0
, es decir, para cada π ∈ Πα existe π0 ∈ Πα0 tal que
π ⊆ π0.
Tenemos entonces el siguiente resultado:
Teorema 12. Para toda cadena C, hf0, f1, . . . , fii tal que para cada par de
´ındices k < k0, fk fk0, existe una subsucesi´on hΠα0, Πα1, . . . , Παk, . . .i
k≥0 de hΠαi α≥0, tal que Πα0 = bS/ ' D(GS)= Π 0
y para cada par k < k0, αk < αk0.
M´as a´un, si C = hf0, f1, . . . , f|C|i, donde |C| es la longitud de C, tenemos
que toda fk tiene como soporte a una partici´on πk ∈ Παk.
Prueba. Primero notemos que cada cadena C en hhFGS, i tiene una longitud,
definida como su cardinalidad y notada |C|. Consideremos primero el caso en que |C| ≤ ℵ0, es decir, que C es numerable. Si C = hf0, f1, . . . , f|C|i, f0
es la ´unica funci´on de agregaci´on prima en C. De acuerdo con el Teorema 11, para f0 existe un ¯S0 ∈ bS/ '
D(GS) tal que f
0(prof(S)) = ¯R para cada
S = hS, R1, . . . , Rn; ¯Ri ∈ ¯S0. Probaremos por inducci´on que para cada fk ∈ C
existe un elemento πken una partici´on Παk
tal que fk(prof(S)) = ¯R para cada
S = hS, R1, . . . , Rn; ¯Ri ∈ πk. M´as a´un, que Πα
k
es un refinamiento de Παk+1 para cada k:
Consideremos el caso de f1. Acorde a la Proposici´on 8 tenemos que
existe { ¯Sj}
j∈J ⊆ bS/ 'D(GS) tal que f (profS) = ¯R para cada S =
hS, profS; ¯Ri ∈ ∪j∈JS¯j. Supongamos que ¯S0 6= ¯Sj para cada j ∈ J ,
pero esto significa que f0(prof
S) 6= f1(profS) para todo S ∈ ¯S0. Esto es
absurdo, ya que asumimos que f0 f1. Entonces ¯S0 ∈ { ¯Sj}
j∈J. Esto
es, mientras que f0 es soportado por ¯S0 ∈ bS/ '
D(GS), f 1 es soportado por ¯S0∪ j∈J,j6=0S¯j. Si llamamos ¯S0, π0 y bS/ 'D(GS), Π α0, veremos que si denotamos ¯S0 ∪
j∈J,j6=0S¯j como π1, es claro que π0 ⊆ π1. Por otro
lado, π1 ∪j0∈J/ S¯j
0
= bS mientras que π1 ∩ ¯Sj
0
= ∅ para cada j0 ∈ J./ Esto significa que π1 y { ¯Sj
0
}j0
/
∈J constituyen una partici´on de bS, que
llamaremos Πα1. Dado que para π0 ∈ Πα0, π0 ⊆ π1 y para cada ¯Sj ∈
Πα0 (j ∈ J ), ¯Sj ⊆ π1 mientras que ¯Sj0 ∈ Πα1
para j0 ∈ J, Π/ α1
es un engrosamiento de Πα0
53 Asumimos que el resultado es v´alido para k. Esto es, fk es soportada
por una πk ∈ Παk
. Sin p´erdida de generalidad asumimos que si fk es
soportada, de acuerdo con la Proposici´on 8, por una familia { ¯Sl} l∈L ⊆ b S/ 'D(GS) entonces π k = ∪ l∈LS¯l y Πα k = {πk, { ¯Sl0} l0∈L/ }. Ahora consi-
deremos el caso que fk+1. Nuevamente, por la Proposici´on 8, tenemos
que existe { ¯Sj}
j∈J ⊆ bS/ 'D(Gn,GS) tal que f
k+1(prof
S) = ¯R para cada
S ∈ ∪j∈JS¯j. Dado que fk fk+1 tenemos que fk(profS) ⊆ fk+1(profS)
para cada S ∈ πk. Esto es, πk ∈ { ¯Sj}
j∈J. Llamemos a este ´ultimo
πk+1. Tenemos que πk+1 y { ¯Sj0}
j0∈J/ es una partici´on de bS que llama-
mos Παk+1
. Es claro que πk ⊆ πk+1 y ¯Sj ⊆ πk+1 para j ∈ J , mientras
que ¯Sj0 ∈ Παk+1 para j0 ∈ J. Entonces, Π/ αk+1 es un engrosamiento de
Παk.
Por lo tanto, la afirmaci´on es v´alida para todo k.
Ahora consideremos el caso en que |C| > ℵ0. Entonces, el conjunto de ´ındices
k en C = hf0, f1, . . . , f|C|i puede ser descompuesto en dos clases, aquellas funciones con ´ındices sucesores o l´ımite. Esto es, aquellos ´ındices k0 que tienen la forma k0 = k + 1 (los ´ındices sucesores) y aquellos que verifican que k0 = limk<k0k, los ´ındices l´ımite. La prueba para la longitud numerable de C aplica
tambi´en para los ´ındices sucesores. La siguiente es la prueba para los ´ındices l´ımite:
Supongamos que el resultado es v´alido para cada k < k0 para un ´ındice l´ımite k0. Esto es, cada fk es soportada por una πk ∈ Παk
y, como fk es
soportada por una familia { ¯Sl}
l∈L ⊆ bS/ 'D(GS) entonces π
k = ∪ l∈LS¯l
y Παk
= {πk, { ¯Sl0}
l0∈L/ }. M´as a´un, para cada par k1 < k2 < k
0
, Παk1
es un refinamiento de Παk2. Ahora consideremos fk0. Por la Proposici´on
8 tenemos que existe { ¯Sj}
j∈J ⊆ bS/ 'D(GS) tal que f
k0(prof
S) = ¯R
para cada S ∈ ∪j∈JS¯j. Para todo fk fk+1 tenemos que fk(profS) ⊆
fk0(prof
S) para cada S ∈ πk. Esto es, cada πk ∈ { ¯Sj}j∈J. Llamemos a
este ´ultimo πk0. Tenemos que πk0 y { ¯Sj0}
j0∈J/ es una partici´on de bS que
llamamos Παk
0
. Es claro que para cada k < k0, πk ⊆ πk0 y ¯Sj ⊆ πk0
para j ∈ J , mientras que ¯Sj0 ∈ Παk0
para j0 ∈ J. Entonces, Π/ αk0
es un engrosamiento de {Παk}k<k0.
Esto es, una cadena de funciones est´a asociada a una cadena de parti- ciones. M´as a´un, cada funci´on en la cadena tiene como soporte una clase
en la correspondiente partici´on. Como se discuti´o anteriormente, cada cla- se de equivalencia ¯S ∈ bS/ 'D(GS) se define por sus conjuntos de decisi´on,
FGS( ¯S) = {D(s, t)}s,t∈S. Notemos que cada funci´on de agregaci´on f , asocia-
da a una πf en particular en una partici´on Πf de bS, se define en t´erminos de sus conjuntos de decisi´on correspondientes a πf. M´as precisamente, como
πf ⊆ bS/ '
D(GS), existe un conjunto de ´ındices J tal que π
f = ∪
j∈JS¯j y por
lo tanto los conjuntos de decisi´on πf son ∪j∈JFGS( ¯S
j) = ∪
j{{D(s, t)}s,t∈Sj}j.
Una consecuencia inmediata es que el ´ultimo conjunto, que llamamos DE C(f ), define completamente f .7 En otras palabras:
Proposici´on 9. Para cada cadena C en hFGS, i, C = hf
0, f1, . . . , f|C|i, existe
una secuencia
CDEC = hDE C(f0), DE C(f1), . . . , DE C(f|C|)i
tal que DE C(fk) son los conjuntos de decisi´on que definen fk.
M´as a´un, si k < k0, DE C(fk) ⊆ DE C(fk0). Esto es, CDEC es una cadena
bajo la inclusi´on de conjuntos.
Prueba. De acuerdo con el Teorema 12, C genera una cadena de particiones, y particularmente de clases de equivalencia, un πkpara cada fk ∈ C. Como cada πk est´a totalmente descripto por DE C(fk), tenemos que C genera tambi´en
una sucesi´on de la forma CDEC = {DE C(fk)}|C|
k=0. Para ver que C
DEC es una
cadena bajo ⊆, consideremos el hecho que para k < k0, para todo perfil profS tenemos que fk prof
S ⊆ fk
0
profS. Como en particular fk prof
S(s, t) ⊆
fk0 prof
S(s, t) para cada situaci´on S y todo par s, t ∈ S, la clase de agentes
que son decisivos sobre s y t para la funci´on anterior, Dk({s, t}) ∈ Fk
GS( ¯S) ⊆
DEC(fk) es tambi´en una clase de agentes decisivos sobre s y t para la ´ultima.
Esto es, Dk({s, t}) ∈ Fk0
GS( ¯S) ⊆ DEC(f
k0). En otras palabras: DE C(fk) ⊆
DEC(fk0).