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La tasa de interés (y, en general, las tasas utilizadas tanto en matemáticas fi nancieras como en evaluación fi nan- ciera de proyectos) recibe diferentes nombres; por esta razón enseguida veremos algunas de las más utilizadas:

• Tasa de interés simple

• Tasa de interés compuesta

• Tasa de interés efectiva

• Tasa de interés nominal

• Tasas de interés equivalentes

• Tasa de interés discreta

• Tasa de interés continua

• Tasa de interés vencida

• Tasa de interés anticipada

• Tasas de interés compuestas

• Tasa de infl ación

• Tasa de devaluación

• Tasas de oportunidad

• Tasa interna de retorno

Dada la importancia que tiene la llamada tasa interna de retorno como índice de evaluación fi - nanciera, le dedicaremos el capitulo 9 de este texto.

3.8.1 TASA DE INTERÉS SIMPLE

Es la tasa de interés que, al fi nal de cada período, se aplica únicamente sobre el capital inicial. Esto implica que el capital permanece constante durante el tiempo de la operación fi nanciera, así como los intereses devengados al fi nal de cada período.

FIGURA 3.10 22 (1,025)n 1,72157 1,764615 24 1,808726 n n 89 003 matematicas.indd 89 003 matematicas.indd 89 17/08/2007 18:42:0217/08/2007 18:42:02

Por ejemplo, cuando se invierte un capital de $ 1.000.000 al 5% trimestral de interés simple y al cabo del primer trimestre los intereses son de 0,05(1.000.000) = 50.000, otro tanto al fi nal del segun- do, tercero y cuarto trimestres, lo que signifi ca que al cabo de un año el inversionista tendrá un total acumulado de $ 1.000.000 + 4(50.000) = $ 1.200.000. Esto quiere decir que la inversión ganó el 20% anual.

Como podemos ver, los intereses devengados en un trimestre no ganaron intereses en el trimes- tre siguiente.

En la actualidad, debido a la pérdida del poder adquisitivo del dinero, es factible que los $ 1.200.000 del fi n de año no tengan el poder adquisitivo de $ 1.000.000 del principio del año, lo que hace que esta clase de interés ya no se utilice en las operaciones fi nancieras, y, en cambio, sí aquel donde los intereses se capitalizan, que es el interés compuesto.

3.8.2 TASA DE INTERÉS COMPUESTO

Esta es la tasa de interés que, al fi nal de cada período, se aplica tanto al capital anterior como a los intereses devengados en ese período. Esto equivale a decir que es la operación en la cual los intereses ganan intereses, y por eso el sistema se conoce como sistema de capitalización, lo que signifi ca que los intereses devengados en un período forman parte del capital (se convierte en capital) para el perío- do siguiente. Es el caso de la mayoría de inversiones actuales; así, por ejemplo, si invertimos hoy una suma de $ 500.000 a una tasa del 8% trimestral, dentro de un año tendremos un total acumulado de:

F = 500.000(1,08)4 _{= $ 680.244,5}

y no la suma de 500.00 + 4(40.000) = $ 660.000, que correspondería al caso del 8% trimestral de interés simple durante un año.

Esta clase de interés se aplica en la mayoría de las operaciones de cualquier sistema fi nanciero, y por esta razón debe dársele la máxima atención y estudio.

3.8.3 TASA DE INTERÉS EFECTIVA

Es la tasa de interés que realmente se aplica en el período de capitalización sobre el capital, para cal- cular los intereses.

La tasa de interés efectiva se identifi ca porque solamente aparece en la parte numérica seguida del período de capitalización o liquidación de intereses; por ejemplo, se dice “una tasa de interés del 3% mensual, del 9% trimestral, del 15% semestral o del 32% anual”, y también se denota como el 32% EA (el 32% efectivo anual). Es de advertir que estas tasas anteriores no son equivalentes entre sí. La interpretación es: si invertimos, por ejemplo, $ 100 hoy al 3% mensual, dentro de un mes tendremos:

100(1 + 0,03) = 100(1,03) = $ 103 que corresponde a:

100 + 0,03(100) = $ 103

Al fi nal del segundo mes tendremos: 103(1,03) = $ 106,09

que corresponde a: 100 + 0,03(103) = $ 106,09

Como podemos observar, la tasa del 3% se aplica cada mes al capital anterior. Al fi nal del tercer mes tendremos: 100(1,03)3 _{= $ 109,27} que corresponde a: 106,09 + 0,03(106,09) = $ 109,27 y así sucesivamente. 90 003 matematicas.indd 90 003 matematicas.indd 90 17/08/2007 18:42:0317/08/2007 18:42:03

Es decir, la tasa del 3% se aplica cada mes al capital existente al fi nal del mes anterior, y así obte- nemos los intereses reales o efectivos en ese mes.

También podemos ver que al fi nal del tercer mes los $ 100 invertidos inicialmente al 3% mensual se han convertido en $ 109,27, lo que nos muestra que el 3% mensual no equivale al 9% trimestral, ya que con esta última tasa el valor total acumulado al fi nal del primer trimestre será de:

100 + 0,09(100) = 100(1,09) = $ 109

Es importante tener en cuenta que todas las operaciones fi nancieras se calculan con tasa de inte- rés efectiva, así como toda fórmula que se utilice para resolver problemas fi nancieros. Sin embargo, en la práctica muchas veces la tasa viene expresada en otros términos; por tanto, lo que debe hacerse en estos casos es convertirla a efectiva, o, utilizando una calculadora fi nanciera, esta automáticamente hace la conversión a efectiva y desarrolla la operación correspondiente.

3.8.4 TASA DE INTERÉS NOMINAL

Es la tasa de interés que, expresada anualmente, capitaliza varias veces al año. Por esta razón, la tasa nominal no refl eja la realidad en cuanto a los intereses devengados anualmente, y de ahí su nombre; a diferencia de la tasa efectiva, que sí nos indica el verdadero interés devengado por un capital al fi nal del período respectivo. Sin embargo, en la mayor parte de las operaciones fi nancieras se utiliza la tasa nominal para expresar el tipo de interés que debe pagarse o cobrarse en esa operación. Esto implica que para realizar los cálculos de la operación fi nanciera, lo primero que debe hacerse es convertir esta tasa nominal a la tasa efectiva en cada período de capitalización, porque, como ya se anotó, solo debemos utilizar la tasa efectiva por período.

La forma de denotar una de estas tasas es, por ejemplo, cualquiera de las siguientes expresiones:

• El 36% nominal anual capitalizable trimestralmente.

• El 36% nominal capitalizable trimestralmente.

• El 36% nominal trimestral.

• El 36% capitalizable trimestralmente.

• El 36% anual liquidable por trimestre vencido.

• El 36% TV (TV: trimestre vencido).

• El 36% ATV (ATV: anual trimestre vencido).

La relación que existe entre una tasa nominal del j% capitalizable m veces al año y la tasa del i% efectiva en cada uno de los m períodos es la siguiente:

(3-5) Así, por ejemplo, el 36% nominal trimestral corresponde a una tasa efectiva trimestral del 9% (el 36%/4), y es esta la tasa que debe utilizarse cada trimestre cuando la tasa pactada en la operación fi nanciera sea del 36% nominal trimestral.

EJEMPLO 3.16

Supongamos que invertimos hoy $ 100 en una entidad que paga el 36% TV. Si el tiempo es de un año, determinar el valor total acumulado al fi nal del año.

La tasa trimestral para determinar los intereses es:

de tal manera que al cabo de cuatro trimestres se tendrá un total acumulado de: 100(1,09)4 _{= 141,16}

Lo que quiere decir que los $ 100 invertidos inicialmente ganan un total de $ 41,16 de intereses al cabo de un año; esto es, la tasa de interés efectivo anual en esta inversión fue del 41,16%. Por esta

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razón, a la tasa del 36% se le llama nominal, dado que como cifra lo es solo de nombre, puesto que la que mide la rentabilidad real es la tasa del 41,16% anual.

Debe tenerse en cuenta que algunas veces se habla, por ejemplo, del 30% nominal anual o sim- plemente del 30% convertible anualmente, para indicar que es la tasa que capitaliza una sola vez al año, es decir, que corresponde a una tasa efectiva anual del 30%.

Con lo anterior se quiere signifi car que la tasa anual es la única tasa que en forma nominal capi- taliza una sola vez al año; en otras palabras, que la única tasa que puede ser simultáneamente nomi- nal y efectiva es la tasa anual, y por eso comúnmente se habla, por ejemplo, del 32% nominal anual equivalente al 32% efectivo anual.