PROGRAMME: HND BUSINESS ADMIN AND MANAGEMENT

Es común escuchar enunciados que involucren el concepto de probabi- lidad. En los noticieros nos dicen cosas tales como:

(a) El Instituto Meteorológico informa que hay un 5% de probabilidad de que llueva esta mañana.

(b)Las personas que comen más frutas y verduras, tienen menos proba- bilidades de desarrollar cáncer.

(c) La FIFA estimó que la Selección de Costa Rica tiene una probabilidad del 51% de ganar la próxima Copa Centroamericana.

De esos enunciados, nosotros deducimos conclusiones como las siguien- tes:

(a)¡Ah 5%! No voy a llevar el paraguas al trabajo.

(b)Debo de empezar a comer más seguido frutas y verduras, por mi sa- lud.

(c)¡No parece que Costa Rica vaya a ganarle a todos!

Todos entendemos que la probabilidad es una especie de medida mate- mática que intenta evaluar lo que es “posible”: evaluar la posibilidad de que cierto evento suceda o no.

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Una manera de dar esta estimación, normalmente, es utilizando porcen- tajes. Recuerde que:

𝐴% significa 𝐴

100

Los sucesos que tienen 100% de probabilidad se consideran seguros; por ejemplo: la probabilidad de que salga escudo o corona en el lanzamiento de una moneda es el 100%, dado que estas son sólo las dos posibilidades que se pueden dar en ese experimento; mientras que la probabilidad de que salga un 5 en el lanzamiento de un dado, ya no puede ser un suceso 100% seguro, pues hay otras alternativas posibles. Los sucesos que tiene probabilidad 0% (probabilidad nula) son sucesos que se llaman imposi- bles; por ejemplo: la probabilidad de obtener un 8 en el lanzamiento de un dado es 0%, es un suceso imposible, pues un dado está enumerado del 1 al 6 (¡tiene seis caras!).

La probabilidad de un suceso es la estimación matemática de que éste suceda; esto no debe confundirse con la posibilidad de que dicho evento se dé. Es decir: aunque las probabilidades de sacar el premio de la lotería navideña sean “muy bajas” para un jugador, no significa que éste no vaya

a poder ganar la lotería, pues esto sí es posible.

Es claro, que si una persona compra “muchos” números de lotería su pro- babilidad aumenta, mejora; por ejemplo: si en una rifa de cien números Juan compara 65 números, es muy probable que Juan obtenga el premio. (¡Suponiendo que es un juego limpio!)

Algunos teóricos de la probabilidad sostienen que una probabilidad su- perior al 50% en un evento del azar, lo hace un suceso “muy probable”, en caso contrario el suceso es “improbable”. En este documento asumi- remos ese presupuesto teórico, que más adelante el estudiante puede cuestionar, criticar e investigar libremente al respecto.

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Análisis de ejemplos

Escribir, en cada caso, si el enunciado es un suceso imposible, improbable,

igualmente probable, probable o seguro.

(a) Obtener un 8 en el lanzamiento de un dado no cargado ¡Suceso impo- sible! Dado que en un dado las caras están enumeradas del 1 al 6. (No cargado significa que no es un dado tramposo; o sea: que no está di- señado para que algunos números tengan “ventaja” sobre otros.) (b)Seleccionar un mes del año con exactamente 30 días ¡Suceso impro-

bable! Pues el año tiene apenas 4 meses que reúnen esa condición de 12 posibles. (No olvide que improbableno es sinónimo de imposible.) (c) Obtener una corona en el lanzamiento de una moneda no cargada ¡Su-

ceso igualmente probable! Pues la probabilidad de éste es el 50%, da- do que en el lanzamiento de una moneda sólo se pueden obtener dos casos posibles: escudo o corona, y los dos son igualmente probables. (d)Obtener un número del 1 al 6 en el lanzamiento de un dado ¡Suceso

igualmente probable! Pues en el lanzamiento de dado, estos los todos los posibles sucesos que se puedan dar; es decir: en el lanzamiento de un dado “siempre” se obtiene ó 1 ó 2 ó 3 ó 4 ó 5 ó 6, y todos estos son

igualmente probables.

(e) Seleccionar a un estudiante del 7-A que tenga celular ¡Suceso proba- ble! Pues (¡supongamos!) que de los 25 estudiantes de esa sección, hay 22 de ellos que tienen teléfono celular, o sea: la probabilidad de selección supera al 50%, lo que lo hace un suceso “altamente” proba- ble.

(f) Obtener un número del 1 al 6 en el lanzamiento de un dado ¡Suceso se- guro! (Note que en este caso no importa si el dado está cargado o no.) En ciencias, un experimento es una actividad en la que hay posibilidad de que ocurran diferentes resultados. Los diferentes resultados que pueden ocurrir reciben el nombre de eventos posibles del experimento. Los cien- tíficos llaman espacio muestral de un experimento, a todos los resulta-

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dos posibles que se pueden dar. Se acostumbra usar llaves “{ }” para mostrar los espacios muestrales de los experimentos. Veamos algunos ejemplos:

(a) En el lanzamiento de una moneda, el espacio muestral sería: {corona, escudo}, pues estos son todos los resultados posibles que se pueden obtener en un lanzamiento.

(b) Mientras que en el lanzamiento de un dado, el espacio muestral sería {1,2,3,4,5,6}.

(c) Si en lugar de lanzar una moneda, lanzamos dos monedas en orden (primero una, luego la otra) y denotamos con “C = corona” y “E = es- cudo”, entonces el espacio muestral sería:

{𝐸𝐸, 𝐶𝐶, 𝐸𝐶, 𝐶𝐸}

Dado que se pueden dar todas esas situaciones: que salga primero es- cudo y luego también, que salga primero escudo y luego corona, etc. (d)Carlos tiene tres camisetas limpias en la secadora: una blanca, otra

negra y una azul; entonces, si desea elegir una de ellas, su espacio muestral será: {blanca, negra, azul}.

(e) La compañía Intel elegirá dos de los cuatro finalistas de la Feria Na- cional de Ciencias para un viaje a Perú. Si ellos son Carlos, Pedro, Ana, Lucia, entonces el espacio muestral será, abreviadamente, {C, P, A, L}. Pasamos ahora a dar la definición de probabilidad.

Definición 3 (de Bernoulli). Si un evento puede ocurrir de “s” maneras de un total de “n” posibles, diremos entonces que la probabilidad “P” de dicho evento es

𝑃 = 𝑠 𝑛

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Análisis de ejemplos

Ejemplo 1. Sabemos que el espacio muestral del lanzamiento de un dado es {1,2,3,4,5,6}. Queremos averiguar cuál es la probabilidad que tiene el siguiente evento: Obtener un número par. En este caso note que hay 3 ca- sos posibles (2, 4 y 6), es decir s = 3; entonces la probabilidad de este evento sería: 𝑃 = 3 6= 1 2 Es decir: 1

2= 0,5. Multiplicando por 100, tendríamos que 0,5 ∙ 100 =

50% ¡Claro! La mitad de los números del espacio muestral es par. Es de- cir: los eventos “obtener un número par” u “obtener un número impar” en este experimento son igualmente probables (50% a 50%).

Ejemplo 2. Supongamos que se lanza una moneda al aire tres veces. Se quieren determinar las probabilidades de los siguientes eventos: (a) ob- tener puras coronas, (b) obtener exactamente dos escudos; (c) que sal- gan por lo menos dos coronas. Veamos, primero hay que encontrar el es- pacio muestral de este experimento, o sea: el conjunto que reúne todos

los casos posibles que se pueden dar. Así:

{𝐶𝐶𝐶, 𝐶𝐶𝐸, 𝐸𝐶𝐶, 𝐶𝐸𝐶, 𝐸𝐶𝐸, 𝐶𝐸𝐸, 𝐸𝐸𝐶, 𝐸𝐸𝐸}

Vamos a ahora a calcular la probabilidad de (a): la probabilidad de “obte- ner puras coronas”, es

𝑃 = 1 8

Dado que sólo hay un caso posible de un total de ocho. Podemos, ver que

1

8= 0,125 = 12,5% ¡Lo que nos dice que es un evento improbable!

62 𝑃 = 3

8

Dado que sólo hay tres casos posibles de un total de ocho (Estos son:

ECE, EEC y CEE). Podemos, ver que 3

8 = 0,375 = 37,5% (¡lo que nos dice

que es un evento improbable!, pero más probable que el anterior). Para (c), la probabilidad de “que salgan por lo menos dos coronas” tenemos que:

𝑃 = 4 8=

1

2= 50%

Ejemplo 3. Suponga que en un laboratorio se ha fabricado una caja en la cual se han colocado dos ratas. Si se sabe que la caja tiene tres posibles salidas (A, B y C), determine la probabilidad de que (a) al menos una rata salga por A; (b) las dos ratas salen por una misma salida. Al igual que el ejemplo anterior, vamos a encontrar primeramente, el espacio muestral del experimento:

{𝐴𝐴, 𝐴𝐵, 𝐴𝐶, 𝐵𝐴, 𝐶𝐴, 𝐵𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐵, 𝐶𝐶}

Entonces para (a) tenemos que: la probabilidad de que “al menos una rata salga por A” es

𝑃 = 5

9= 0,555 … = 0, 5̅ ≈ 55,5%

¡Lo que lo hace un evento probable! Por otro lado, para (b): la probabi- lidad de que “las dos ratas salgan por la misma salida”:

𝑃 = 3 9 =

1

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Insistimos: no debe confundirse improbable con imposible.

Ejemplo 4. Felipe y Ramona juegan a lanzar un dado, cada uno, dos ve- ces consecutivas. Felipe ganará si el total de puntos de sus lanzamientos es 7; Ramona ganará, si el total de puntos de sus lanzamientos es cinco ¿Puede decirse que este es un juego justo?

¡No! Hagamos una tabla con todos los puntajes posibles del juego: la pri- mera fila de la tabla representa los puntajes posibles en el primer lanza- miento; mientras que la primera columna representa los puntajes posi- bles del segundo lanzamiento; los otros datos corresponden a la suma de los puntajes totales obtenidos en ambos lanzamientos, a saber:

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12

Se observa que Felipe tiene “cierta ventaja” sobre Ramona, pues hay más posibilidades de que obtengamos siete de que se obtenga un 5 como pun- taje total; por lo que la probabilidad de que Felipe gane es:

𝑃 = 6 36 =

1

6 = 0,1666 … = 0,16̅ ≈ 16,6%

Pues de los 36 casos posibles, sólo 6 veces se obtiene 7. Mientras que en el caso de Ramona, la probabilidad sería:

𝑃 = 4 36 =

1

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Dado que, en este caso, sólo hay 4 posibilidades de obtener 5 de 36 posi- bles ¡Lo que nos dice que hay una leve ventaja de Felipe sobre Ramona! Aunque, es importante hacer notar, de que ambos son eventos improba- bles, dado que su probabilidad es inferior al 50%.