4.3 Systematically fingerprinting honeypots
4.3.2 Protocol 1: SSH
Ejemplo 1.84. Un grupo de orden 12 no puede ser simple.
En efecto, un grupo G con|G| = 12 = 22· 3 posee uno o más 2-subgrupos de Sylow
(de orden 4) y uno o más 3-subgrupos de Sylow (de orden 3).
Si el 3-subgrupo de Sylow no es único, el número de ellos es 1+ 3k y divide 4, así que hay 4 de ellos. La intersección P ∩ Q de dos de ellos debe ser 1 (por el teorema de Lagrange), así que su unión contiene exactamente 8 elementos de período 3. Sobran el elemento neutro y tres elementos de períodos 2 ó 4, que son suficientes para conformar exactamente un subgrupo de orden 4.
Por lo tanto, hay un único 3-subgrupo de Sylow, o bien un único 2-subgrupo de Sylow. En todo caso, G posee un subgrupo normal de orden 3 ó 4.
(Es fácil comprobar, por ejemplo, que el grupo A4 tiene un 2-subgrupo isomorfo a V y
cuatro 3-subgrupos distintos.) ◊
Ejemplo 1.85. Si P es un grupo de orden primo p, por el teorema de Lagrange no tiene
subgrupos no triviales: cada elemento g 6= 1 es un generador, de período p; y P ' Cp.
Ahora sea G un grupo finito de orden 15. Tiene un 5-subgrupo de Sylow P y un 3- subgrupo de Sylow Q. Como (1 + 5k) divide 3 sólo si k = 0; y además (1 + 3l) divide 5 sólo si l = 0, estos subgrupos de Sylow son únicos y por tanto normales: P Ã G y Q Ã G. Entonces PQ= { gh : g ∈ P, h ∈ Q } es un subgrupo de G cuyo orden es divisible por 3 y por 5 (usando el teorema de Lagrange, porque P ¶ PQ y Q ¶ PQ); por lo tanto, PQ = G. También se ve que |P ∩ Q| = 1 por ser un divisor común de 3 y 5.
Si g ∈ P y h ∈ Q, considérese el elemento ghg−1h−1 ∈ G. Por ser P y Q subgrupos normales, se ve que
g(hg−1h−1) ∈ P mientras (ghg−1)h−1∈ Q,
así que ghg−1h−1 = 1 o bien, lo que es lo mismo, gh = hg. Conclusión: G = PQ donde
los dos subgrupos normales P y Q conmutan. En tal caso, se dice que G es el producto
directo de P y Q, escrito G = P × Q.
Se ha comprobado que G' C5× C3 si|G| = 15. En particular, C15' C5× C3. ◊ Ejemplo 1.86. Sea G un grupo finito de orden 6. Tiene un 3-subgrupo de Sylow P; como
(1 + 3k) divide 2 sólo si k = 0, este P es único, P Ã G con P ' C3 y G/P ' C2.
Sea Q un 2-subgrupo de Sylow de G; la condición “(1 + 2l) divide 3” admite dos posibilidades, l = 0 y l = 1. El caso l = 0 sigue el patrón del ejemplo anterior: G '
P× Q ' C3× C2 es un grupo abeliano. Por ejemplo, el grupo cíclico C6es de este tipo: si
C6= 〈g〉, entonces {1, g3} es el único 2-subgrupo porque los demás elementos g, g2, g4, g5
MA–561: Grupos y Anillos 1.6. El teorema de Sylow En el caso l= 1, hay tres conjugados distintos de Q (los tres 2-subgrupos de G) y por tanto G no es abeliano. Escríbase P = {1, a, a2} y Q = {1, b}, con a−1= a2. Los otros 2-
subgrupos de Sylow deben ser{1, ab} y {1, a2b}, porque G = {1, a, a2, b, a b, a2b}. Ahora
ba6= ab porque G no es abeliano; y es fácil comprobar que ba /∈ {1, a, a2, b}. Entonces
ba = a2b necesariamente. Estas relación determina la tabla de multiplicación para G: cualquier grupo no abeliano de orden 6 debe ser isomorfo a este caso.
Para la existencia de un grupo no abeliano de orden 6, basta recordar que|S3| = 6. La
asignación a7→ (123), b 7→ (12) da lugar a un isomorfismo G ' S3.
Luego, hay dos grupos no isomorfos de orden 6: C6 (abeliano) y S3 (no abeliano). ◊ Ejemplo 1.87. El grupo alternante A4 tiene ocho 3-ciclos, por ejemplo (123) y tres pro-
ductos de transposiciones disjuntos, por ejemplo(12)(34). El cálculo (123) · (12)(34) · (123)−1= (123) · (12)(34) · (132) = (14)(23)
indica que el subgrupo R generado por (123) y (12)(34) debe incluir el subgrupo V = {1,(12)(34), (13)(24), (14)(23)} y el subgrupo Q = {1, (123), (132)}. Del teorema de Lagrange se obtiene|R| = 12, es decir, R = A4. Ahora bien, un subgrupo de A4 de orden 6
debe de contener un elemento de período 2 y otro de período 3, por la Proposición 1.80 de Cauchy. Como cualquier par de elementos de períodos 2 y 3 generan todo el grupo, se concluye que el grupo A4, de orden 12, no incluye subgrupo alguno de orden 6.
Este contraejemplo indica que no es posible generalizar el teorema de Sylow para obtener subgrupos cuyos órdenes son divisibles por dos primos distintos. ◊
Ejemplo 1.88. Sea G = GL(n, p) ≡ GL(n, Fp), el grupo de matrices invertibles con en-
tradas en el cuerpo finito Fp. Las columnas de una matriz A∈ GL(n, p) son vectores en el
espacio vectorial(Fp)ny son linealmente independientes porque el rango de A es n. Aparte
de dicha independencia lineal, las columnas de A son arbitrarias. La primera columna a1
puede ser cualquier vector no nulo en (Fp)n —recuérdese que{0} es linealmente depen-
diente en cualquier espacio vectorial— así que hay (pn − 1) posibilidades para a
1. La
segunda columna a2 no debe ser proporcional a a1: hay(pn− p) posibilidades para a
2.
Las primeras j columnas generan un subespacio de dimensión j sobre Fp, con pj elemen-
tos: quedan (pn− pj) posibilidades para a
j+1. En fin, el número total de elementos de
GL(n, p) es |GL(n, p)| = n−1 Y j=0 (pn− pj) = pn(n−1)/2 n−1 Y j=0 (pn− j− 1).
Sea UT(n, p) ≡ UT(n, Fp) el grupo de matrices unitriangulares, es decir, matrices con
entradas 1 en la diagonal y 0 debajo de la diagonal: aj j = 1, ai j = 0 si i > j. Una matriz
unitriangular es invertible: su determinante es 1 y su inverso, calculado por eliminación gaussiana o bien por la regla de Crámer, es también unitriangular. Luego UT(n, p) es un subgrupo GL(n, p). Evidentemente, este subgrupo no es normal: una conjugación
A 7→ BAB−1 ejecuta un cambio de base en Fp, que destruye la forma unitriangular de la
matriz A en casi todos los casos.
Los entradas supradiagonales de una matriz unitriangular son arbitrarias, porque su invertibilidad está garantizada por las entradas 1 en la diagonal. Ahora, cada una de las
n(n − 1)/2 entradas ai j con i< j es un elemento de Fp = {0, 1, . . . , p − 1}. Esto muestra que|UT(n, p)| = pn(n−1)/2y por ende UT(n, p) es un p-subgrupo de Sylow de GL(n, p). ◊
1.7
Productos directos y semidirectos de grupos
Definición 1.89. El producto directo de dos grupos H, K es su producto cartesiano H× K con la operación de grupo “por coordenadas”: (h1, k1)(h2, k2) := (h1h2, k1k2).
Análogamente, se define el producto directo H1× H2× · · · × Hm de varios grupos.
Hay un par de homomorfismos canónicos20 π
1: H× K → H y π2: H× K → K dados
por π1(h, k) := h y π2(h, k) := k.
Se identifican H y K con los subgrupos{ (h, 1) : h ∈ H } y { (1, k) : k ∈ K } de H × K. Obsérvese que (h, 1)(1, k) = (h, k) = (1, k)(h, 1): las copias de H y K en el producto directo conmutan. Bajo estas identificaciones, H y K son subgrupos normales de H× K,
con intersección trivial, H∩ K = {(1, 1)}. ◊