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Al calcularse esta relación ajustando los datos por el método de los mínimos cuadrados se cae en el error de ponderar de la misma forma los distintos valores de las cantidades de sismos, a pesar de que se esta en una relación semilogarítmica.

Para evitar esto en Aki (1965) se propone la estimación de esta relación por el método de máxima verosimilitud.

Tomando la relación de Gutenberg-Richter para un M mayor que una magnitud mínima Mmin se puede rescribir de la forma log10

( )

(

)

Luego, despejando N:

( min) ( min) ( min)

10^{a b M M} 10 10^{a b M M} 10 ^{b M M} N = ^{− ⋅ −} = ⋅ ^{− ⋅ −} = ⋅A ^{− ⋅ −} ( ) ( min) min log 10 10 b M M e ^{b M M} N = ⋅A ^{− ⋅ −} = ⋅A e ^{− ⋅ −}

Como se tiene que ⁽ min⁾

( )

min

log 10_e ^{− ⋅b M M−} = − ⋅b M −M ⋅log 10_e Tomando 'b = ⋅b log 10_e queda blog 10_e ⁽M Mmin⁾

N = ⋅A e^{− ⋅ ⋅ −}

Suponiendo que la frecuencia de sismos mayores a un M superior a Mmin es la distribución de probabilidades tipo Poisson de que ocurra un sismo con magnitud M

( )

f M = ⋅A e^{− ⋅ −}

Y suponiendo que alguna vez habrá un sismo con magnitud mayor que Mmin:

( min) min min ' 1 b M M M M f dM A e dM ∞ ∞ − ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ =

∫ ∫

se tiene que resolviendo la integral y despejando: A=b'

Luego, para N Magnitudes M1,…Mn, la distribución de probabilidades conjunta es de:

( )

Aplicando a la ecuación anterior el método de máxima verosimilitud para b’ queda que: min 1 1 ' _N i i b M M n = = ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∑

Luego, las constantes para la relación de Gutenberg-Richter quedan como:

10 min 1 log N i i e b M M n = = ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∑

En Aki (1965) también se determina el error para calcular b con un 95% de confianza es db b ^{1, 96}

N

= ⋅

Se aplica este método a los catálogos telesísmicos de NEIC e ISC, entre 1973 a 2008 y al de la red local CHASE (2005-2006)

A continuación se presentan las figuras con el calculo de los parámetros a y b de la relación de Gutenberg Richter, tanto por el método de Aki como por el método de los mínimos cuadrados para los catálogos del NEIC, el ISC, y el catálogo en base a los datos de la red temporal CHASE. Esto para los sismos corticales según las zonas antes definidas en el capítulo 7.

Cálculo a y b para la zona de estudio con catálogo NEIC:

Cálculo a y b para la zona F con catálogo NEIC:

Cálculo a y b para la zona I con catálogo NEIC:

Cálculo a y b para la zona K con catálogo NEIC:

Cálculo a y b para la zona C con catálogo ISC:

Cálculo a y b para la zona H con catálogo ISC:

Cálculo a y b para la zona J con catálogo ISC:

Cálculo a y b para toda la zona con catálogo Red CHASE (2005-2006):

Cálculo a y b para la zona F con catálogo Red CHASE (2005-2006):

Cálculo a y b para la zona I con catálogo Red CHASE (2005-2006):

También se hizo el cálculo del b-value para los sismos corticales y de intraplaca de profundidad intermedia de manera automática y sin discriminar espacialmente por las diferentes zonas sismogenéticas en la zona cortical.

El procedimiento consta en grillar la zona y para cada punto de la grilla se calcula el b-value para una subzona delimitada por un radio de influencia centrado en ese punto.

Para esto se fija un número mínimo de sismos para los cuales se puede calcular la ley de Gutenberg-Richter, en este caso se determinó que esa cantidad era de 150 sismos, y además se fija un radio máximo y un radio mínimo de influencia. Para cada punto de la grilla se fija un radio mínimo que ira aumentando en un paso dado si no se alcanza la cantidad de sismos mínima impuesta en esa sub-zona. Cuando alcanza esta cantidad se calcula el b-value con el método de máxima verosimilitud antes mencionado para el radio en el cual esta al cantidad mínima. Si se llega hasta el radio máximo y aun no se alcanza esa cantidad mínima de sismos no se asigna b-value a esa zona y se pasa al siguiente punto de la grilla. En este caso se fijó el radio mínimo como el mínimo entre la distancia entre grillas latitudinales y longitudinales, el paso entre radios de un kilómetro y el radio máximo de 25 km.

Figura 21 : Cálculo espacial b-value para sismos corticales e intraplaca de profundidad intermedia

En la Figura 21 donde aparece gráficamente el cálculo de los b-values espacialmente se puede ver que las zonas más rojas son aquellas con el mayor b-value calculado en la zona de estudio, y a medida que el color en la zona tiende al azul oscuro este disminuye. Las zonas en blanco son aquellas en que no se alcanzó el número mínimo de sismos en el radio máximo y no se calculó el b-value.

En el caso de los sismos corticales se puede ver que las zonas con colores más cálidos (rojo, naranjo, amarillo, verde y turquesa) coinciden con las zonas donde se observan cluster sísmicos, en especial en las zonas donde se encuentra la gran minería, es decir la zona de Andina-La Disputada y la zona de El Teniente. Las zonas con colores más fríos (celeste y azul) son aquellas con presencia de fallas bien determinadas.

La mínima magnitud de corte elegida para toda la zona y válida para todos los puntos de la grilla es de mb=3,8

Del cálculo espacial de la relación de Gutenberg-Richter se puede ver que la distribución en el plano de los valores a de esta relación es concordante con la encontrada en los valores b tanto en los sismos corticales como en los intraplaca de profundidad intermedia.

En el caso de los sismos corticales (Figura 22) el valor a llega a un máximo de 14 en la zona B, es decir donde se encuentra la mina de Andina-La Disputada, y un valor mínimo poco menor que 6 en el sector F, cercana a la zona oriente de Santiago y el sistema de Fallas de San Ramón.

Figura 22 : Cálculo espacial a-value para fuente cortical

En el caso de los sismos intraplaca (Figura 23) de profundidad intermedia el máximo valor de a-value es un poco superior a 12 y se encuentra en la parte suroeste de la zona de estudio, y los memores valores de los a-values son un poco menores a 5 y se encuentran en el borde oriente de la zona en que fue posible calcular la relación de Gutenberg Richter, es decir cercana a las zona donde se encuentran el sistema de

Figura 23 : Cálculo espacial a-value para fuente intraplaca de profundidad intermedia

De esta forma teniendo los parámetros de la ecuación de Gutenberg-Richter variantes en el plano, se puede calcular con un determinada probabilidad de excedencia la máxima magntitud posible en un determinado período de diseño de la estructura. En este caso, como se muestra en la Figura 24 se considerará una probabilidad del 10% de excedencia, y tiempos de diseño para T=50 años y T=250 años, para ambos ambientes sísmicos.

Figura 24 : Cálculo espacial Maxima magnitud mb con probabilidad del 10% de excedencia y tiempos de diseño de 50 y 250 años, para fuentes corticales e