QT dispersion

Hay algunos juegos en los que la configuración de pagos es de tal naturaleza que la propia condición estratégica del juego prácticamente se disuelve. Antes se ha visto que la característica de los juegos es que representan situaciones estratégicas, es decir, situaciones en las que la acción de cada uno depende de las expectativas que tenga sobre lo que los demás van a hacer. Pero excepcio- nalmente dicha dependencia puede neutralizarse, de forma que un jugador tenga buenas razones para elegir una estrategia frente a otra al margen de lo que vaya a hacer el otro jugador. Aunque formalmente nos encontremos en un contexto estratégico, pues las consecuencias de mis acciones dependen de lo que los demás hagan, en realidad la elección del jugador es paramétrica, pues el jugador elige sin tener en consideración qué estrategia va a elegir su contrincante. Esto sólo es posible cuando al elegir una cierta estrategia siem- pre estoy mejor jugando esa estrategia que si elijo otra, independientemente de la estrategia que elija el otro jugador. Cuando el juego se puede jugar, di- gámoslo así, “paramétricamente”, su resolución es más bien trivial.

Sea el juego del cuadro 2.2, J1 puede realizar el siguiente razonamiento: haga lo que haga J2, siempre estoy mejor eligiendo la estrategia D que la estrategia U. Si J2 elige l, entonces, si yo hago U, obtengo –1, pero si hago D obtengo 0; si J2 elige r, entonces, si hago U, obtengo 2, mientras que si hago D obtengo 3. Puesto que 0 es mejor que –1 y 3 es mejor que 2, haga lo que haga J2 me compensa siempre elegir D. Por tanto, decimos que para J1 la estrategia D domina a la es- trategia U. J1, a la hora de elegir su estrategia, no tiene en cuenta qué pueda ha- cer J2, puesto que haga lo que haga J2, J1 está mejor con D que con U. En cam- bio, J2 no tiene ninguna estrategia dominante: l le proporciona un pago más alto que r si J1 elige U, pero si J1 elige D, entonces r produce un pago mejor que l.

En este juego, aunque J2 no tiene una estrategia incondicionalmente mejor, sabe, por medio del análisis del juego, que J1 siempre va a elegir D habida cuenta

TEORÍA DE JUEGOS 37

CUADRO 2.2

EJEMPLO DE JUEGO CON DOMINACIÓN

J2

l r U –1, 3 2, 1 J1

de que D domina a U. Por tanto, está seguro que J1 va a elegir D si supone que J1 es racional. Sabiendo esto, la elección de J2 también se vuelve “paramétrica”, en el sentido de que se limita a elegir entre los pagos de 2 (si hace l) y 4 (si hace r). Como 4 es mejor que 2, elegirá r. J1 jugará D, J2 jugará r, y los pagos para cada uno serán 3 y 4 respectivamente. Hemos podido resolver el juego gracias a que la elección de cada jugador era en última instancia paramétrica. Si los jugado- res son racionales, la predicción es que jugarán las estrategias (D, r).

Ahora podemos definir con un poco más de precisión qué quiere decir que una estrategia domine a otra. Hay que distinguir dos tipos de domina- ción, fuerte y débil. Comenzamos por la definición de la dominación fuerte tomando como referencia en la notación a J1, aunque esto, obviamente, es irrelevante. Una estrategia S₁domina fuertemente a otra S₂si y sólo si

U_J1(S₁, s_j)  U_J1(S₂, s_j), ∀s_j

Dada cualquier estrategia de J2, S₁domina fuertemente a S₂si S₁siempre produce más utilidad que S₂. En el juego del cuadro 2.2, D domina fuerte- mente a U porque:

U_J1(D, l)  U_J1(U, l) y U_J1(D, r)  U_J1(U, r)

La definición de dominación débil es algo menos exigente. Una estrategia

S₁domina débilmente a otra S₂si y sólo si:

U_J1(S₁, s_j) _{ UJ1}(S₂, s_j), ∀s_j

y

U_J1(S₁, s_j) _{ UJ1}(S₂, s_j) para al menos una s_j

S₁domina débilmente a S₂si en todos los casos S₁proporciona al menos tanta utilidad como S₂y en al menos un caso S₁proporciona más utilidad que

S₂. De otra forma, una estrategia domina débilmente a otra si ambas propor- cionan la misma utilidad dadas las estrategias del otro jugador pero al menos para una estrategia del otro jugador sucede que la primera estrategia es estric- tamente mejor que la segunda. En el juego del cuadro 2.1, puede comprobarse que D domina débilmente a M, pues cuando J2 juega r, D y M proporcionan exactamente la misma utilidad, pero cuando J2 juega l o m, D es mejor que M. Cuando en un juego nos encontramos con estrategias dominadas, ya sea fuerte o débilmente, podemos eliminarlas, puesto que un jugador ra- cional nunca tendrá buenas razones para elegir estrategias dominadas. A veces podemos llegar a una solución única del juego mediante este proce- dimiento de eliminación sucesiva de estrategias dominadas. Vamos a ver cómo funciona este procedimiento en el caso del juego del cuadro 2.1. Es fácil darse cuenta de que r domina fuertemente a m. Por tanto, podemos

eliminar m y observar qué sucede en el juego resultante, que se representa en el cuadro 2.3.

Una vez eliminado m, es evidente que ahora la estrategia U domina fuerte- mente a la estrategia M. Por tanto, eliminamos M, con la seguridad de que si J1 es racional, nunca juega M. El juego así modificado aparece en el cuadro 2.4.

En este juego reducido, todavía es posible ir más lejos. Ahora cabe eliminar

D, ya que U domina fuertemente a D. El resultado aparece en el cuadro 2.5.

TEORÍA DE JUEGOS 39

CUADRO 2.3

EL JUEGO DEL CUADRO 2.1 TRAS HABER ELIMINADO m

J2 l r U 4, 3 6, 2 J1 M 2, 1 3, 6 D 3, 0 3, 8 CUADRO 2.4

EL JUEGO DEL CUADRO 2.1 TRAS HABER ELIMINADO m Y M

J2 l r U 4, 3 6, 2 J1 D 3, 0 3, 8 CUADRO 2.5

EL JUEGO DEL CUADRO 2.1 TRAS HABER ELIMINADO m, M Y D

J2

l r

Llegados a este punto, la resolución del juego es trivial: dadas las dos es- trategias de J2, salta a la vista inmediatamente que l domina fuertemente a r, por lo que el resultado final o solución del juego es la combinación de estra- tegias (U, l), con pagos de 4 para J1 y 3 para J2.

Cuando en un juego hay varias estrategias dominadas, se llega al mismo resultado final independientemente de por dónde comencemos el proceso de eliminación. A este proceso de búsqueda por eliminación de estrategias do- minadas de la solución del juego se le llama “dominación repetida” (iterated

domination). Se trata de un proceso mecánico, que funciona únicamente

porque el juego, cuando hay estrategias dominadas, puede llegar a perder su condición estratégica y transformarse en un problema de elección paramé- trica. No todos los juegos se pueden resolver así.

A pesar de que este proceso de “dominación repetida” pueda parecer completamente lógico, los expertos en teoría de juegos han ideado ejemplos en los que este método da lugar a resultados dudosos. Veamos uno de esos ejemplos. Sea el juego del cuadro 2.6.

En principio, uno puede considerar que la manera en que se jugará este juego es ésta: la columna l domina fuertemente a la columna r; J1, sabiendo esto, ha de elegir entre U, que le proporciona 8 si J2 juega l, y D, que le pro- porciona 7 si J2 juega l. Evidentemente, U domina fuertemente a D, luego J1 juega U. La solución del juego por dominación repetida es (U, l), con pagos (8, 10). Ahora bien, esta forma de analizar el juego presupone que J1 está completamente seguro de la racionalidad de J2, de modo que J2 nunca va a elegir r frente a l. Justo porque hay esta certeza, el juego se puede resolver mecánicamente, mediante dominación repetida. La decisión de J1 es como una decisión paramétrica, es decir, J1 considera que la estrategia de J2 no es más que un parámetro del ambiente. Sin embargo, este planteamiento no es del todo realista, pues nunca estamos seguros del todo de la racionalidad de las personas, siempre albergamos alguna pequeña duda de que el rival no sea racional. En ese caso, si J1 elige U, corre un riesgo de acabar con –100 si J2 no actúa racionalmente, mientras que si juega D o bien saca 7 o bien saca 6.

CUADRO 2.6

UN JUEGO DONDE EL CRITERIO DE DOMINACIÓN RESULTA DUDOSO

J2

l r U 8, 10 –100, 9 J1

De ahí que no todo el mundo esté de acuerdo con que la solución obvia del juego sea (U, l). Supongamos que la creencia de J1 acerca de J2 es que hay una probabilidad del 98% de que J2 sea racional, y una del 2% de que sea irracional (podemos considerar que la racionalidad de J2 es un estado del mundo). Si J2 es racional, siempre juega l, mientras que si es irracional, siempre juega r. Desde el punto de vista de la utilidad esperada, J1 estaría en tal caso mejor eligiendo D que U:

UE_J1(U) = 0,98*8 + 0,02*(–100) = 5,84

UE_J1(D) = 0,98*7 + 0,02*6 = 6,98

Con un margen tan pequeño de incertidumbre, deja de ser cierto en este juego que U sea la mejor estrategia posible para J1. La solución basada en la dominación repetida tiene sentido cuando la incertidumbre desaparece com- pletamente. Pero el supuesto de seguridad absoluta no es demasiado realista, a no ser que J2 sea un ordenador programado para maximizar utilidad. En la medida en que nuestra concepción de las personas sea algo más compleja que un ordenador que maximiza utilidad, la solución por dominación repeti- da no es en todos los juegos la forma más razonable de jugarlos.