THE POLITICAL ECONOMY OF POST-CONFLICT CAMBODIA
3.3 Re-Opening Windows to the World (1989 onwards)
2.3.1.1 Birrefringencia
La polarización lineal 𝑃⃗⃗⃗⃗ 𝐿 inducida por un campo eléctrico 𝐸⃗ aplicado en un medio dieléctrico se debe al reordenamiento de las cargas del medio. De esta forma, 𝑃⃗⃗⃗⃗ 𝐿 depende fuertemente de la estructura molecular del medio y puede ser dependiente de la dirección del campo aplicado 𝐸⃗ en un material anisótropo. En este caso, el índice de refracción 𝑛 depende de la polarización de 𝐸⃗ , y el medio se denomina birrefringente [24].
Una fibra SMF, lleva dos modos con polarizaciones ortogonales lineales. En una fibra ideal estos dos modos son degenerados, en el sentido de que tienen la misma constante de propagación β, y están desacoplados. Pero una ligera desviación de esta simetría ideal, inevitable en un caso real, debida a fluctuaciones aleatorias de la geometría o tensiones mecánicas, crea algo de birrefringencia, que resulta en una diferencia en las constantes de propagación de los modos [25].
El modo de polarización que se propaga con orientación en el eje rápido de birrefringencia evoluciona más rápidamente que su modo de polarización ortogonal, orientado en el eje lento de birrefringencia. Esto implica un desfase relativo entre los dos modos de polarización, lo que generalmente da lugar a una evolución del estado de polarización del modo fundamental [26]. El grado de birrefringencia en cada punto de la fibra se define por la siguiente expresión [26]:
𝐵 =|𝛽𝑥− 𝛽𝑦|
𝑘 = |𝑛𝑥− 𝑛𝑦| (2.46)
donde 𝑛𝑥 y 𝑛𝑦 son los índices de refracción efectivos de los dos modos ortogonales de polarización cuando estos se propagan orientados a los ejes locales de birrefringencia.
Las fibras cuya variación del estado de polarización del modo fundamental durante la propagación es lenta se denominan de baja birrefringencia. Entre ellas se encuentran las fibras
de telecomunicación estándar. En este tipo de fibras, por diseño se busca una simetría cilíndrica perfecta de la fibra, siendo el punto óptimo la birrefringencia nula. La evolución de la polarización en estas fibras no se puede conocer de forma exacta, ya que está condicionada por pequeñas birrefringencias residuales originadas durante el proceso de fabricación de la fibra o birrefringencias inducidas externamente por tensiones o presiones, que no son controlables [26].
2.3.1.2 Fibras mantenedoras de polarización
Para resolver el problema de la fluctuación en la polarización de la luz despolarizada debido a la birrefringencia en fibras SMF, se desarrollan fibras mantenedoras de polarización (PMF), que presentan una alta birrefringencia, constante en toda la longitud de la fibra. En este caso, si la polarización de la luz acoplada se alinea con uno de los ejes de birrefringencia, la polarización se mantendrá, sin ser afectada por pequeñas perturbaciones externas o pequeñas fluctuaciones de la propia fibra. Las fibras PMFs se construyen introduciendo asimetrías durante el proceso de fabricación. Estas asimetrías pueden ser geométricas (tales como núcleo no circular o fibras micro estructuradas asimétricas) o debidas a una tensión mecánica (fibras Panda, Bow-tie y Elliptical Jacket). La Figura 2.8 muestra algunos tipos de fibras PMF [24]: Panda, Bowtie y Elliptical Jacket.
Figura 2.8: Diferentes tipos de PMFs [27].
2.3.1.3 Dispersión del modo de polarización
El fenómeno de dispersión del modo de polarización (PMD)[28][29] ocurre cuando las dos componentes ortogonales de polarización (llamados modos de polarización) del modo fundamental de propagación viajan con distinta velocidad de grupo 𝑣𝑔 = 𝜕𝜔 𝜕𝛽⁄ [9] llegando
PANDA
Bowtie
EllipticalJacket
Sílice dopada-BO2 3
Cubierta de acrilato
Eje Rápido (x) Eje Rápido (x)
Eje Rápido (x)
en distintos instantes al final de la fibra óptica, ensanchando y distorsionando los pulsos. Esta diferencia de retardo entre los modos de polarización se denomina retardo diferencial de grupo (DGD). Esta variación de la velocidad de grupo se produce por las características birrefringentes del medio de la fibra óptica. Como la birrefringencia tiene carácter aleatorio en función de la distancia y del tiempo, el DGD variará de la misma forma.
El DGD se utiliza para determinar la PMD y se define como [30]:
𝐷𝐺𝐷 = ∆𝜏 = √𝜏2− 𝜏
02 (2.47)
donde 𝜏0 y 𝜏 son las anchuras temporales de los pulsos de entrada y salida, respectivamente. El coeficiente de PMD (PMDCOEF)se mide en ps/km1/2 y se puede expresar como:
𝑃𝑀𝐷𝐶𝑂𝐸𝐹 = 𝐷𝐺𝐷 √𝐿⁄ (2.48)
2.3.1.4 Parámetros de Stokes y de Jones
Para describir la polarización de la luz se usan comúnmente dos métodos matemáticos: el formalismo de Jones y el de Stokes. En esta sección describiremos ambos, ya que vamos a hacer uso de ellos a lo largo de esta tesis doctoral.
El formalismo de Stokes trata el caso de luz parcialmente polarizada, mientras que el formalismo de Jones nos da información acerca de la fase absoluta de los campos de luz. Por otro lado, los vectores de Stokes se basan solo en la intensidad de la luz medida, sin tratar información de la fase [13].
Existe una correspondencia entre los dos formalismos: los vectores de Jones se pueden expresar en función de los parámetros de Stokes incluso sin tener información sobre la fase [13].
Para ambos formalismos vamos a considerar una onda plana monocromática definida como:
𝐸⃗ (𝑧, 𝑡) = 𝐴(𝑧, 𝑡)𝑒𝑗(𝑘⃗ 𝑧−𝜔𝑝𝑡)+ 𝑐. 𝑐. (2.49)
donde 𝐴 es un vector complejo: 𝐴 = 𝐴𝑥𝑒̂ + 𝐴𝑥 𝑦𝑒̂𝑦.
Asumiendo que 𝐴𝑥= 𝑎𝑥𝑒𝑗𝜙𝑥 y 𝐴𝑦 = 𝑎𝑦𝑒𝑗𝜙𝑦, donde 𝑎𝑥 y 𝑎𝑦 son las amplitudes reales del campo en las direcciones x e y respectivamente, y 𝜙𝑥 y 𝜙𝑦 son las fases del campo en las direcciones x e y respectivamente.
Formalismo de Jones
El vector de Jones se puede definir como [13]: 𝐽 = (𝑢𝑢𝑥
𝑦) (2.50)
Normalizado por definición tal que |𝐽 | = 1, de modo que:
𝐴 = 𝑎𝑜𝑒𝑗𝜙𝑥𝐽 (2.51)
siendo 𝑎𝑜 = √𝑎𝑥2+ 𝑎𝑦2 , lo que implica que los componentes del vector de Jones se definen como: 𝑢𝑥= 𝑎𝑥 𝑎0 (2.52) 𝑢𝑦 = 𝑎𝑦 𝑎0𝑒 𝑗(𝜙𝑦−𝜙𝑥) (2.53)
Se dice entonces que dos estados de polarización son ortogonales cuando se satisface: 𝐽 1𝑡∙ 𝐽 2∗ = 𝑢1𝑥𝑢2𝑥∗+ 𝑢
1𝑦𝑢2𝑦∗ = 0 (2.54)
En el caso de inversión de la dirección de polarización, el vector de Jones resultante se convierte en el complejo conjugado del vector inicial.
Si el medio óptico es lineal, podemos expresar los componentes del campo eléctrico 𝐽 2 a la salida del sistema óptico como una combinación lineal del campo de entrada 𝐽 1 [31]:
{𝑢𝑢2𝑥 = 𝑇11𝑢1𝑥+ 𝑇12𝑢1𝑦
2𝑦 = 𝑇21𝑢1𝑥+ 𝑇22𝑢1𝑦 (2.55)
donde 𝑻 es la matriz de Jones del sistema óptico.
Si tenemos en cascada n diferentes sistemas ópticos la matriz de Jones es: 𝐽⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑜𝑢𝑡 𝑇𝑛
Formalismo de Stokes
Los vectores de Stokes se definen de forma habitual como [26]:
𝑆̂ = ( 𝑆0 𝑆1 𝑆2 𝑆3 ) = ( |𝑢𝑥|2+ |𝑢 𝑦| 2 |𝑢𝑥|2− |𝑢 𝑦| 2 𝑢𝑥𝑢𝑦∗+ 𝑢 𝑥∗𝑢𝑦 𝑗(𝑢𝑥𝑢𝑦∗− 𝑢 𝑥∗𝑢𝑦)) (2.56)
donde el parámetro de Stokes 𝑆0 es proporcional a la intensidad del modo, el parámetro 𝑆1 representa la relación entre las componentes horizontal y vertical del campo eléctrico, 𝑆2 indica la orientación del vector campo eléctrico respecto a los ejes de coordenadas cartesianas x e y, y finalmente 𝑆3 indica el grado de elipticidad del estado de polarización.
Así mismo, en esta tesis doctoral, se hace uso de la representación en la esfera de Poincaré, para representar el vector de Stokes, y por tanto, los estados de polarización. Los tres ejes de la esfera se hacen coincidir con los parámetros 𝑆1, 𝑆2 y 𝑆3, como se indica en la Figura 2.9. En la esfera de Poincaré, todos los estados de polarización quedan representados. Cada punto de la esfera indica un estado de polarización. Así, los puntos del ecuador corresponden a estados linealmente polarizados. Los puntos en el hemisferio superior de la esfera corresponden a estados de polarización elíptica dextrógira, mientras que en el hemisferio inferior quedan representados los estados de polarización elíptica levógira. Los polos de la esfera corresponden a polarizaciones circulares. El resto de puntos excepto los polos y el ecuador se corresponden con estados de polarización elípticas. El grado de elipticidad queda determinado en función del ángulo θ (ángulo que forma el vector de Stokes con el plano ecuatorial de la esfera de Poincaré) [26]. La luz puede estar parcialmente polarizada (puntos dentro de la esfera) o totalmente polarizada (en la superficie de la esfera). El ratio de polarización PR indica el grado de polarización de la luz, siendo del 100 % para luz totalmente polarizada [13]: 𝑃𝑅 =√𝑆1 2+ 𝑆 22+ 𝑆32 𝑆0 ∙ 100 % (2.57)
En este caso, dos estados de polarización son ortogonales cuando sus parámetros Stokes tienen signos opuestos. 𝑆̂ es ortogonal a 𝑆̂′cuando se satisface:
𝑆̂ = ( 𝑆0 𝑆1 𝑆2 𝑆3 ) , 𝑆̂′= ( 𝑆0′ 𝑆1′ 𝑆2′ 𝑆3′) = ( 𝑆0 −𝑆1 −𝑆2 −𝑆3 ) (2.58)
En el caso de inversión de la dirección de polarización, el parámetro 𝑆3 invierte su signo, lo que resulta en una operación de reflejo con respecto al plano ecuatorial.
Figura 2.9: Representación en la esfera de Poincaré de los estados de polarización 𝑆 .
El rol que tienen las matrices de Jones en el formalismo de Jones lo tienen las matrices de Mueller para el caso de los vectores de Stokes. La relación en este caso entre el campo eléctrico de entrada 𝑆̂1 y entre el campo a la salida de un sistema óptico 𝑆̂2 se puede escribir como [13]:
𝑆̂2 = 𝑴 ∙ 𝑆̂1 (2.59)
En este caso, si hay inversión de la dirección de polarización, la matriz de Mueller es la traspuesta de la matriz inicial.