5 Technical specific experience
5.3 Content Playback Optimisation
5.3.1 Real-time Content Capture Redesign
Describimos a continuación un resumen de la descripción de Darwin.
Darwin construyó una teoría dinámica de la difracción para el caso de Bragg (reflexión), aprovechando el hecho de que la teoría cinemática es válida para apilamientos delgados de planos reflectores de un cristal.
Consideraremos una familia de planos paralelos a la superficie del cristal situados a una distancia a la superficie 0., r-l, r, r+ 1... La onda incidente se refleja en estos
planos de acuerdo con la condición de Bragg. El cociente entre la amplitud de la onda reflejada A,. y la inicial A0 se define por el factor de estructura y es igual a cierto coeficiente iq (O). Por otro lado, la onda transmitida, dispersada en la dirección inicial, ha perdido cierta intensidad y su amplitud (relativa a la inicial) es iq(0) (la cantidad i refleja la diferencia de fase).
Este proceso se repite para cualquier onda que incide sobre el plano r dentro del cristal. Debido a las sucesivas reflexiones y transmisiones, la amplitud de la onda en el plano (r-1), incidiendo en el plano r, no es la misma que la amplitud inicial. Usando las ecuaciones para los coeficientes de reflexión y transmisión de forma recurrente a través de los planos r-l, r, r+1, es posible obtener la expresión de la intensidad del haz reflejado por un cristal grueso. Si el cristal se rota lentamente alrededor del ángulo de Bragg, la curva del coeficiente de reflexión R para un cristal perfecto vale 1 en el máximo, pero la anchura angular de esta zona es pequeña, del orden de 10-40 segundos de arco (ver figura 2.7)
Figura 2.7 Perfil de reflexión para un cristal perfecto sin absorción según la teoría de Darwin.
Para un cristal de espesor A que contenga N planos (ANd, donde d es el espaciado interpíanar) y para un haz inicial sin polarizar, el coeficiente de reflexión integrado vale:
R’~’= 8/3w e2/mi2 [1 +(cos 20)) /2 sen 20 NX2
1
Fh¡
El hecho esencial es que la intensidad es proporcional a la primera potencia del factor de estructura
¡
Fh1
y no como en la teoría cinemática al cuadrado del factor de estructura j Fh 2Debido a la interacción dinámica de las ondas primaria y reflejada, la onda propagada en la dirección inicial se hace menos intensa. Este fenómeno, extinción primaria, es particularmente importante en reflexiones intensas, pero puede ser despreciada para cristales suficientemente pequeños (para los bloques que constituyen el mosaico de un cristal con esta estructura) [2.1].
La teoría dinámica de la difracción es imprescindible para describir fenónemos de difracción en estructuras complejas donde se observan interferencias entre las ondas difractadas por las distintas capas de la estructura. Este es el caso de las estructuras láser estudiadas en los apartados 2.5. También es imprescindible en algunos tipos de estructuras especiales como los pozos (o barreras) cuánticos tensados de espesores muy pequeños como los que estudiamos en el apartado 2.4.2.
2.3.2. Formalismo de Takag¡-Taupin
El formalismo dinámico más usado actualmente no es ni el de Ewald-Laue ni el de Darwin sino el conocido por formalismo de Takagi-Taupin. Dichos autores independientemente y aproximadamente a la vez elaboraron una teoría de la difracción
de la que a continuación exponemos sus bases [2.14 y 2.15]:
Parten de una relación diferencial entre las amplitudes incidente y difractada:
(iXYH/lr) (dDHIdz) = X0 OH +
C XH
DO0 - cxH(z)DH(iXyH/r) (dDjdz) = ~ 0~ + C Xfl 0H
donde:
D0 y 0H son las amplitudes incidente y difractada y z es la profundidad en el cristal,
‘YH = n.k11 donde n es la normal a la superficie y kH es el vector del haz difractado,
X es la longitud de onda,
C es el factor de polarización [=1 ó (cos O)],
XH esta relacionado con el factor de estructura a través de:
=
(>3
r0hrV) FHdonde FE es el factor de estructura, V es el volumen de la celda unidad, re es
el radio del electrón.
cYH(z) = -2 X (~-~~) cos Q¡d(z) es el parámetro de desviación
donde O~ es el ángulo de Bragg de la reflexión y(z) es la distancia interpíanar que depende de la profundidad.
Definiendo la razón de amplitudes:
Y = DE/DO
Ecuación que puede ser integrada por partes. La solución es:
Y(z,w) =
{ 5
Y(z,w) + i [E + B Y(z,w)] tg GS(z-Z)} ¡ {S-i [AY(zw) + B] tg GS(z-Z)} dondeArXn LyHIk’0B = 0.5[XJ1- YH
1
¡Y0) - ctH(z)15
= (B2-AE)’~G = - ~r/(X
¡
YH 1) E=XHTomando las condiciones de contorno,
YQ~, w) = O ~ (reflectividad nula a profundidad infinita) r
se calcula ~A (z,w) para z1 < z < ~
Siendo z1 la profundidad de la intercara 1 y ~A la razón de amplitudes en la capa A.
Para z = z1 la condición de contorno es
~A (z1,w) = Y~ (z1,w)
A continuación se calcula YB(z,w) para z1 < z < z1
Siendo z2 la profundidad de la intercara 2. El proceso se continua hasta z = O
(superficie) donde se calcula la reflectividad, que es la medida experimental:
El modelo de difracción dinámica que hemos usado nosotros está basado es esta aproximación [2.18)
Hay muchos casos en Jos que se requiere el formalismo dinámico y el uso de teorías no dinámicas puede inducir a errores importantes [2.19].
Como ejemplo hemos simulado los difractogramas de tres epitaxias de AlAs sobre GaAs con espesores de 500, 100 y 50 nm. Estos difractogramas pueden verse en la figura 2.8. Se aprecia claramente que a medida que el espesor disminuye la posición del máximo de difracción se desplaza hacia ángulos mayores. Este desplazamiento dinámico aparece para espesores menores de unos 100 nm aproximadamente.
Sin embargo la composición en los tres casos es la misma (AlAs), y por lo tanto, también la distancia interpíanar.
La simulación de los difractogramas basados en teorías cinemáticas y semidinámicas daría para los tres casos máximos de difracción situados donde predice la ley de Bragg, ángulo marcado en ~» en la figura 2.8.
El mismo fenómeno ocurre en todo el rango de composiciones del Al~Ga1.~As (0’Zx< 1). La determinación de la composición de las aleaciones del Al~Ga1.~As de espesores menores que esta cota debe hacerse utilizando teoría dinámica, de lo contrario la determinación de la composición no es correcta.