4.4.2.1. Procedimiento general
En principio no existe fisura,
= 0
, y el material tiene un comportamiento elástico, por lo que se van obteniendo las tensiones a partir de los desplazamientos impuestos, con la expresión [4.14]. En cada estado de deformación se comprueba la condición de fisuración, criterio de Rankine: que la tensión principal máxima alcance la resistencia a tracción del material, ft. En el momento que suceda, se produce la fisuración. En eseinstante se introduce una fisura perpendicular a la dirección de la tensión principal máxima, obteniéndose como un autovector unitario del tensor
σ
.El siguiente paso será obtener el vector
&̅
,
para lo que nos basaremos en el análisis realizado anteriormente, según el cual los equilibrios local y global sólo se alcanzan simultáneamente cuando es paralelo a&̅
, así como en la observación realizada por Borja, R.I (2.000) según la cual, el comportamiento de este tipo de elemento es mejor, cuando la dirección de la fisura es lo más paralela posible al lado opuesto al nodo solitario. Con lo dicho se determinan la dirección de la fisura y el vector&̅
.Las tensiones, cuando el elemento ha fisurado, vienen dadas por la expresión [4.15]:
En esta expresión los desplazamientos nodales son conocidos y, por tanto,
":
$, así comoy
&̅
. Para obtener la apertura de fisura, , se aplica el método de Newton-Raphson.
Una vez obtenido el vector de tensiones, se ha de determinar el nuevo tensor constitutivo elástico,
CCCC
. Si no hay fisuración, se conserva el tensorCCCC
, pero si ha fisurado el elemento se debe obtener el tensor constitutivo tangente,CCCC
tantantantan, que para el elemento viene dada por la expresión [4.18]:̅ = = ;%":<− =&̅ ⊗ >?( [4.16]
4 = ;%":<− =&̅ ⊗ >?( = ;%C":DEá?GHI<J − C":KEá?/MH?NO<J(
donde:
XXXX
bbbb Matriz de interpolación de deformaciones debida al salto.H
HH
H
xyxyxyxy Matriz de cambio de ejes locales a globales.JJJJ
Matriz jacobiana.PPPP
Matriz de rotación de tensiones.CCCC
Tensor de módulos elásticos.Los detalles del cálculo del tensor constitutivo tangente se encuentran recogidos en la tesis de Reyes, E. (2.004).
4.4.2.2. Adaptación de la fisura
Uno de los principales problemas que se encuentra en las formulaciones de discontinuidad embebida, es el de conseguir el avance de la fisura sin que se produzca un bloqueo en el desarrollo de la misma después de una cierta propagación. Este bloqueo parece deberse a una mala predicción de la dirección de la fisura en el elemento contiguo al que se acaba de fisurar y que está justamente detrás de la punta de la fisura pre-existente.
Uno de los métodos para corregir este problema es el de forzar la continuidad del camino de la fisura, por medio de un procedimiento global que limita el ángulo que pueden formar las fisuras que se pueden formar en dos elementos contiguos. Para ello se realiza, previamente, la selección de una banda de elementos que son susceptibles de fisurar y que forman un cierto ángulo suficientemente suave a partir de un elemento semilla por donde se inicia la fisura. Con ello se tiene una "banda" de fisura trazada previamente al cálculo. Es lo que se conoce como tracking de la fisura o definición de zonas de exclusión.
Para eliminar este problema sin forzar la continuidad del camino de la fisura, se ha introducido una cierta adaptabilidad de la fisura en cada elemento. Se trata de un procedimiento estrictamente local y que se realiza a nivel de elemento. El buen funcionamiento del modelo se basa en la mejora que produce en la representación del campo de tensiones. La estimación de las direcciones de fisuración de un elemento triangular de deformación constante no es muy exacta, como consecuencia de los altos gradientes de tensiones que se producen en la punta de la
fisura, precisamente el lugar donde el nuevo elemento va a comenzar su fisuración, sin embargo a medida que va avanzando la fisuración, la estimación de las tensiones principales va mejorando. Esto se consigue dejando rotar libremente la fisura hasta que haya alcanzado un determinado valor de abertura de la misma. Se ha comprobado en diversos trabajos que con pocas iteraciones la fisura adopta una dirección adecuada para proporcionar una buena aproximación de la fisura real.
El procedimiento que se va a exponer tiene un cierto paralelismo con los expuestos por Tano, R. et al (1.998) y Jirásek, M. y Zimmermann, T. (2.001) que emplean un modelo de fisura rotante para evitar el bloqueo, que permite un pequeño giro en la orientación de la fisura obtenida en el primer cálculo de la tensión principal. Con ello se permite en el mismo elemento, que se forme otra discontinuidad con una inclinación diferente, de tal manera que las tensiones residuales disminuyan hasta que se propague en la dirección apropiada.
Como ya se ha comentado el proceso que se aplica consiste en que, mientras que la abertura de la fisura sea pequeña, se permite que se vaya adaptando a las variaciones de la tensión principal que se vayan produciendo. Esto se implementa de una manera sencilla:
1º. Se impone que mientras que la abertura de fisura equivalente
(
=max | |
no sea mayor de un cierto valor, c,
la dirección de laabertura se recalcula en cada paso como si se hubiera creado en ese momento.
2º. Una vez alcanzada la condición:
>
c la dirección de la fisura queda fijada.Los valores límites que se asignan a c son del orden de: 0,1GF/ft, siendo GF la energía
específica de fractura y ft la resistencia a tracción del material.