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Una vez se han escogido los elementos que forman parte del sistema se podria proceder a dibujar las diversas interacciones que tienen lugar. Este procedimiento se ha comprobado que tiene ciertos riesgos de "olvidar" alguna que otra interacci´on. El comentario del alumno en estos casos no se hace esperar: "caramba me he olvidado de incluir la fuerza de contacto entre los dos bloques".

El an´alisis de todas las interacciones con la presencia visual de todos los elementos con- lleva unos riesgos que se traducen en la falta de ciertas interacciones. El motivo es establecer un orden para ir analizando la interacci´on del elemento i con el resto del sistema. Si se sigue este proceso todas las interacciones quedan anotadas y ninguna queda en el olvido. En sentido figurado seria como ir a comprar al supermercado sin lista de la compra corriendo el riesgo de descuidar algun producto.

Partiendo del ejemplo de la figura 2.9 se genera una matriz en donde se disponen los elementos en forma de fila y columna. Una vez construida la matriz se procede a rellenarla de manera que en cada fila y columna se anota la interacci´on o interacciones que tienen lugar entre los elementos escogidos. Las propiedades importantes de dicha matriz son las siguientes:

1) La matriz tiena la diagonal principal vac´ıa, esto es, un elemento nunca interacciona consigo mismo.

2) La matriz es sim´etrica como consecuencia directa de la tercera ley.

3) Las interacciones anotadas en cada fila o columna nos proporcionan las fuerzas que configuraran el diagrama del cuerpo libre del elemento considerado.

Dado que la tercera ley de Newton indica que las interacciones ente el elemento i con el elemento j tienen los m´odulos iguales, se puede rellenar la matriz con dichos m´odulos y en este sentido se obtendr´a una matriz sim´etrica. Si se optase por indicar como interacciones a los vectores fuerza en lugar de sus m´odulos, entonces las casilla ij y la casilla ji contendr´ıan cantidades opuestas en signo.

Puesto que la finalidad de dicha matriz es ni m´as ni menos que dibujar los vectores en el diagrama de cuerpos separados, hay que decidir si se opta por indicar vectores o m´odulos. Se ha visto que para una mayor claridad visual es preferible indicar solo los m´odulos, ya que en el diagrama del cuerpo libre los vectores ya indican el sentido de las fuerzas.

Se puede ver en la tabla 2.1 la disposici´on en filas y columnas para el ejemplo de la figura 2.9 con los 4 elementos. La notaci´on para indicar a cada elemento es arbitraria y se puede realizar a conveniencia. En el ejemplo se han usado unos n´umeros para etiquetar a los elementos: bloque, plano inclinado, plano horizontal y la Tierra. Mientras no exista confusi´on se puede usar cualquier notaci´on.

Tabla 2.1

Para anotar las casillas de la matriz se procede analizando la interacci´on de cada elemento con el resto. En la fila i se anotar´an las acciones que el cuerpo i recibe del resto. As´ı las fuerzas que aparezcan en la casilla ij seran todas las acciones que el elemento i recibe del elemento j . En realidad esta elecci´on tambi´en se puede invertir dada la simetria de la matriz. Veamos de forma detallada el orden de como se realiza dicho an´alisis empezando por la fila 1.

• Elemento 1 con elemento 1: no hay interacci´on por la raz´on comentada anteriormente. • Elemento 1 con elemento 2: aqu´ı se anotan las acciones que el elemento 2 realiza sobre

el 1. El bloque est´a en contacto con el plano inclinado mediante una fuerza normal que se indica con N1 y tambi´en tiene lugar un rozamiento que se indica con F .

• Elemento 1 con elemento 3: la casilla aparece vac´ıa ya que el bloque no interact´ua con el plano horizontal

• Elemento 1 con elemento 4: aqu´ı aparece el peso P1 debido a la interacci´on gravitatoria.

Tabla 2.2

El resultado de todo ello se puede ver reflejado en la tabla 2.2 en donde se ha completado la primera fila y hay contenidas todas las interacciones que recibe el elemento 1 . En este momento tenemos los datos necesarios para dibujar todas las fuerzas que recibe dicho bloque, es decir, tenemos en forma "latente" el diagrama del cuerpo libre de dicho elemento.

Una vez se han analizado y anotado las interacciones del primer elemento con el resto hay que seguir con el segundo elemento y as´ı sucesivamente. Para ello solo hace falta ver las interacciones de dicho elemento con los dos siguientes, es decir, el 3 y 4, ya que la interacci´on con el 1 es la misma que la de ´este con el 2, es decir las casillas 12 y 21 son las mismas. Se puede generalizar el proceso en el caso de tener n elementos: el an´alisis del elemento i con los restantes se reduce a fijarse en el i + 1, i + 2, . . . hasta llegar al ´ultimo elemento n .

• Elemento 2 con elemento 3: el plano inclinado interact´ua con el suelo mediante la fuerza normal N2.

• Elemento 2 con elemento 4: en ese caso la interacci´on es la gravitatoria y por eso aparece el peso P2 .

Una vez se ha llegado al elemento 3 (pen´ultimo) solo nos queda su interaci´on con el 4 (´ultimo). Se puede ver como se van reduciendo los elementos de an´alisis a medida que se avanza en el relleno de la matriz. Efectivamente, en el an´alisis del ´ultimo elemento no es necesario "anotar" ninguna fuerza debido a la simetria de la matriz.

Tabla 2.4

Hay que tener en cuenta que para el relleno de la matriz solo se han analizado de forma directa la mitad de las casillas que aparecen en la misma. En realidad se estudian solamente las interacciones que corresponden a la semidiagonal superior y la otra semidiagonal inferior se rellena por las propiedades de simetria de la matriz.

Tabla 2.5

Si nuestro estudio posterior del diagrama se va a reducir solamente a los cuerpos 1 y 2 , es decir al bloque y el plano inclinado solo hace falta considerar entonces las dos primeras filas de la matriz. Aunque se haya hecho el relleno completo de la misma y no se use no significa en un principio ning´un desgaste, todo lo contrario, sirve para reforzar los pilares b´asicos del

modelo cognitivo que perseguimos.

Tabla 2.6

En el caso concreto de que se pida solamente el diagrama del cuerpo libre para el elemento 2 , es decir, para el plano inclinado entonces solo basta con traducir la fila 2 de la tabla 2.7 al diagrama del cuerpo libre. Hay que indicar que este ´ultimo caso no resulta habitual pero nos sirve en nuestro proceso de aprendizaje para ver si se ha comprendido la confecci´on y uso posterior de dicha matriz.

Tabla 2.7