La aplicación de la simulación numérica de la refracción del oleaje basada en el modelo del trazo inverso de rayos y la estimación de la energía del oleaje en un sitio dado, contribuye al conocimiento de las condiciones del oleaje que incide en Playa Miramar. Sin embargo, para validar los estudios de refracción en la costa Sur de Tamaulipas y dar continuidad a éste estudio, se proponen semejantes trabajos:
1. Realizar mediciones del oleaje para contar con al menos un año de mediciones continuas en una posición fija cercana a la playa. Con esto se obtendrían mediciones del oleaje estadísticamente robustas.
2. Hacer la comparación entre los datos de mediciones de campo y los obtenidos del modelo de la refracción inversa para validar los resultados.
3. Emplear un programa o algoritmo numérico diferente al propuesto en ésta investigación, para la solución numérica de la ecuación del balance espectral de energía (1). Para comparar los resultados de la refracción inversa con tal programa, se podrían presentar resultados en términos de la contribución relativa de cada uno de los procesos de transformación del oleaje, de manera tal que se podría inferir la importancia relativa de la refracción del oleaje respecto a los otros procesos.
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Anexos
Anexo A. Obtención del criterio de refracción (20) analíticamente.
La substitución de en la ecuación (18) se obtiene:
(A1)
Considerar la parte real de la ecuación (A1),
(A2)
Despejando de la ecuación (A2) se tiene que
(A3) donde es un caso límite de la ecuación (A3) que se conoce como Ecuación de Onda Geométrica o Ecuación Eikonal, el cual describe las trayectorias de los rayos. La ecuación (A3) puede expresarse como
(A4) Para que sea una solución de la Ecuación de la Pendiente Suave los dos
últimos términos de la ecuación (A4) tiene que desaparecer, por ejemplo si consideramos que,
(A5b)
Las condiciones (A5a) y (A5b) se conocen como criterio de refracción en los estudios que combinan la refracción y difracción del oleaje. La condición (A5b) es conocida en investigaciones relacionadas con la Ecuación de Helmholtz, en tanto que el criterio de refracción en los estudios que sólo consideran la refracción del oleaje se obtiene de la condición (A5a), lo cual implica evaluar ésta condición en términos de la pendiente del fondo.
Con base en la teoría lineal del oleaje, sea , donde . Considerar ahora el producto
(A6)
en donde se ha utilizado y . Es posible demostrar que,
(A7) de manera que la condición (A5a) puede reescribirse como
(A8)
Ahora bien, el término
lo cual implica que no hay un máximo entre estos dos valores y por ello la condición (A8) siempre se satisface si,
(A10)
El trazo inverso de rayos no considera el cálculo de amplitudes entre ortogonales adyacentes, esto es que el cruzamiento de los rayos carece de importancia porque únicamente se calculan las direcciones iniciales y finales de sus trayectorias.
Entonces, si se prescinde de la influencia que ejercen las variaciones de la amplitud en la propagación del oleaje, el criterio de refracción se simplifica a (20).
Anexo B. El concepto físico que sustenta el espectro direccional del oleaje (42).
En general, las formulaciones de la transformación del espectro del oleaje sobre un fondo que va haciéndose más somero, suponen que el flujo de energía de la ola en una banda de frecuencia permanece en esta banda durante la transformación.
Esto implica que se ignoran las interacciones no lineales que podrían transferir energía de una banda de frecuencia hacia otra (LeMéhauté y Wang, 1982; Hodgins et al, 1985). Para cada frecuencia, el nivel de energía, que se caracteriza por ser proporcional al cuadrado de la elevación de la superficie libre, se considera un invariante durante la transformación. Entonces, la ley de transformación que se ha establecido para olas monocromáticas se aplica como si cada valor de la elevación de la superficie libre, fuera idéntica a una ola periódica de la misma amplitud y frecuencia, de modo que la energía contenida en cada banda de frecuencia y dirección, viaja a la velocidad de grupo a lo largo de su rayo correspondiente. Bajo estas consideraciones e ignorando el efecto de las corrientes sobre las olas y los procesos de generación y disipación de energía del oleaje, es posible calcular el espectro en cualquier profundidad del agua dividiendo un espectro inicial en bandas de frecuencia discretas, refractando luego cada banda de frecuencia en forma separada y, finalmente, recombinándolas para formar el espectro refractado (Pierson et al., 1953). Matemáticamente este concepto se expresa como,
(A11)
donde es el coeficiente cuadrado de someramiento, es el coeficiente de refracción al cuadrado y es el Jacobiano de la función inversa de dirección que permite el cambio de una dirección variable de aguas profundas a aguas someras. La ecuación (A11) no tiene una demostración formal y es el resultado de la intuición matemática de Pierson et al. (1953).
Por otra parte, Longuet-Higgins (1957) demostró mediante un teoría rigorosa, que si para la evolución de un espectro del oleaje en aguas someras se define la densidad de energía por área unitaria en el espacio del número de onda, entonces la densidad de energía permanece constante conforme se sigue cualquier velocidad de grupo a lo largo de la trayectoria de un rayo. Posteriormente Karlsson (1969) demostró analíticamente que este concepto es equivalente a la ecuación de conservación de energía de en el espacio de , es decir,
constante (A12) a lo largo de la trayectoria de un rayo, es constante. Esta ecuación corresponde a la ecuación (42). La aportación del trabajo de LeMéhauté y Wang (1982) consiste en demostrar que la ecuación (A12) es equivalente a la ecuación (A11). Las generalizaciones de (A12) para incluir disipación o generación y corrientes se deben a Collins (1972) y Phillips (1977).
Anexo C.
Lista de Símbolos
= Amplitud de la ola.
= Término de la aproximación inicial. = Factor de escala.
= Término para establecer condiciones. = Rapidez de fase de la ola.
= Velocidad de grupo de la ola.
= Componente de la velocidad de propagación de la ola en el espacio . = Componente de la velocidad de propagación de la ola en el espacio . = Componente de la velocidad de propagación de la ola en el espacio . = Componente de la velocidad de propagación de la ola en el espacio . = Coeficientes.
= Densidad de acción del oleaje. = Frente de la ola.
= Frecuencia de la ola.
= Máximo de la frecuencia espectral de la ola.
= Función de densidad de probabilidad de Rayleigh. = Función de densidad de probabilidad de Weibull.
= Aceleración de la gravedad. = Altura de la ola.
= Altura significante de la ola. = Profundidad del fondo.
= Curvatura de la trayectoria del rayo.
= Curvatura promedio de la trayectoria del rayo. = Número de onda.
= Término fuente que representa los efectos de generación, disipación e interacciones alineales entre olas.
= Cantidad total de mediciones de la rapidez del viento. = Coeficiente de refracción.
= Coeficiente de someramiento. = Función de fase de la ola. = Término.
= Espectro de densidad de energía del oleaje en frecuencia y dirección. = Espectro de densidad de energía del oleaje en frecuencia y dirección.
= Espectro en frecuencia de JONSWAP.
= Espectro en frecuencia de Pierson-Moskowitz.
= Trayectoria del rayo. = Período de la ola.
= Rapidez del viento medida a una altura de 10 m arriba del nivel del mar.
= Rapidez promedio del viento medida a una altura de 10 m arriba del nivel del mar.
= Factor. = Factor.
= Frecuencia angular de la ola.
= Distancia o superficie sobre el océano en que sopla el viento con dirección y magnitud constante.
= Sistema de coordenadas cartesiano.
= Constante de Philips con un valor numérico de 0.0081. = Ángulo de un rayo con el eje .
= Ángulo promedio de un rayo con el eje . = Error relativo.
= Amplitud compleja de la superficie libre de la ola. = Ángulo de fase de la ola.
= Función inversa de dirección.
= Término.
= Operador gradiente.
= Operador gradiente en la horizontal. = Parámetro pi.
= Parámetro que determina la forma básica de una distribución en particular. = Densidad del agua del mar.
= Controla la amplitud del máximo espectral del oleaje. = Varianza.
= Dirección de la ola con respecto al eje de referencia (o contornos del fondo).
Superíndice = Grados. = Minutos. = Segundos. = Promedio. Subíndice = Valores calculados de ( ). = Evaluación en aguas someras. = Índice.
= Evaluación en aguas profundas. = Valores verdaderos de ( ).