Empecemos con una pequeña paradoja. Los seres cuyas mentes fueron hechas como las nuestras, y con sentidos como los nuestros, pero sin cualquier educación preliminar, pueden recibir - de un mundo externo adecuadamente escogido - impresiones que los llevarían a construir una geometría distinta a la de Euclides, y a localizar los fenómenos de este mundo externo en un espacio no euclidiano, o incluso en un espacio de cuatro dimensiones. En cuanto a nosotros, cuya educación ha sido hecha por nuestro mundo real, si fuésemos súbitamente transportados a este nuevo mundo, no tendríamos dificultad alguna en referir los fenómenos a nuestro espacio euclidiano. Quizá pueda haber alguien, algún día, que dedique su vida a ello, y sea capaz de representarse una cuarta dimensión.
Espacio geométrico y espacio representativo. A menudo se dice que las imágenes que
formamos de los objetos externos están localizadas en el espacio, e incluso que sólo pueden formarse bajo esta condición. También se dice que este espacio, que nos sirve así como una especie de marco ya preparado para nuestras sensaciones y representaciones, es idéntico al espacio de los geómetras, teniendo todas las propiedades de ese espacio. Para todo hombre lúcido que piense de esta manera, la declaración anterior podría parecerle extraordinaria; pero es tan bueno para ver si no son las víctimas de alguna ilusión que pueda ser disipada por un análisis más detallado. En primer lugar, ¿cuáles son las propiedades del espacio propiamente dicho? Me refiero a ese espacio que es el objeto de la geometría, y al que llamaré espacio geométrico. Los siguientes son algunos de los más esenciales:
Primero, es continuo; segundo, es infinito; tercero, es de tres dimensiones; cuarto, es homogéneo - esto es, todos sus puntos son idénticos uno con el otro -; quinto, es isotrópico. Ahora comparemos esto con el marco de nuestras representaciones y sensaciones, al que llamaré espacio representativo.
Espacio visual. Antes que nada, consideremos una impresión puramente visual, debida
muestra esta imagen como continua, pero como poseyendo únicamente dos dimensiones, lo que ya distingue lo puramente visual de lo que puede ser llamado espacio geométrico. Por otra parte, la imagen está encerrada dentro de un marco limitado; y hay una diferencia no menos importante: este espacio puramente visual no
es homogéneo. Todos los puntos sobre la retina, aparte de las imágenes que pueden ser
formadas, no desempeñan el mismo papel. La mancha amarilla no puede ser, de ninguna manera, considerada como idéntica a un punto sobre el borde de la retina. No solamente el mismo objeto produce en ella impresiones mucho más brillantes, sino que, si consideramos todo el marco limitado, el punto que ocupa el centro no aparecerá idéntico a un punto cercano a uno de los bordes. Sin duda, un análisis más detallado mostrará que esta continuidad en el espacio visual y sus dos dimensiones no son más que una ilusión. Este análisis haría al espacio visual todavía más distinto del espacio geométrico, pero podemos considerar a esta observación como incidental.
Sin embargo, la vista nos permite apreciar la distancia, y, por tanto, percibir una tercera dimensión. Pero cualquiera sabe que esta percepción de la tercera dimensión se reduce a un sentido del esfuerzo de acomodación que debe hacerse, y a un sentido de la convergencia de los dos ojos, que debe tener lugar para poder percibir un objeto distintivamente. Estas son sensaciones musculares muy distintas de las sensaciones visuales que nos han proporcionado el concepto bidimensional. Por lo tanto, no nos parecerá que la tercera dimensión desempeñe el mismo papel que las otras dos. Lo que puede llamarse un espacio visual completo no es entonces un espacio isotrópico. Tiene, es cierto, exactamente tres dimensiones, lo que significa que los elementos de nuestras sensaciones visuales (por lo menos los que concurren en formar el concepto de extensión) estarán completamente definidos si conocemos tres de ellos; o, en lenguaje matemático, serán funciones de tres variables independientes. Pero veamos esta cuestión un poco más cerca. La tercera dimensión es revelada a nosotros en dos formas distintas: por el esfuerzo de acomodación, y por la convergencia de los ojos. No hay duda que estas dos indicaciones están siempre en armonía; existe entre ellas una relación constante; o, en lenguaje matemático, las dos variables que miden a estas dos sensaciones musculares no nos aparecen como independientes. O, de nuevo, para evitar apelar a ideas matemáticas que son más bien refinadas, podemos volver al lenguaje del capítulo anterior y enunciar el mismo hecho como sigue: Si dos sensaciones de convergencia A y B son indistinguibles, las dos sensaciones de acomodación A’ y B’, que respectivamente las acompañan, serán también indistinguibles. Pero esto es, por
decirlo de alguna manera, un hecho experimental. Nada nos previene, a priori, de asumir lo contrario, y si lo contrario tiene lugar, si estas dos sensaciones musculares varían de forma independiente, debemos entonces tomar en cuenta una variable independiente más, y el espacio visual completo nos parecerá un continuo físico de cuatro dimensiones. Y así, en esto también hay un hecho de experimento externo. Nada nos previene de asumir que un ser con una mente como la nuestra, con los mismos órganos sensitivos que los nuestros, pueda ser puesto en un mundo en donde la luz sólo lo alcance después de haber pasado a través de complicados medios de refracción. Las dos indicaciones que nos permiten apreciar distancias dejarían de estar conectadas por una relación constante. Un ser educando sus sentidos en tal mundo no dudaría en atribuir cuatro dimensiones al espacio visual completo.
Espacio táctil y motor. El “espacio táctil” es todavía más complicado que el espacio
visual, y difiere aún más ampliamente del espacio geométrico. Es inútil repetir, para el sentido del tacto, mis observaciones sobre el sentido de la vista. Pero fuera de los datos de la vista y el tacto, existen otras sensaciones que contribuyen tanto o más a la génesis del concepto del espacio. Son aquellas que todo mundo conoce, que acompañan todos nuestros movimientos, y que usualmente llamamos sensaciones musculares. El marco correspondiente constituye lo que puede llamarse espacio motor. Cada músculo da lugar a una sensación especial, que puede ser incrementada o disminuida, de manera que el agregado de nuestras sensaciones musculares dependerá de tantas variables como músculos tengamos. Desde este punto de vista, el espacio motor tendrá tantas
dimensiones como músculos tengamos. Sé que se dice que si las sensaciones musculares
contribuyen a formar el concepto de espacio, es porque tenemos el sentido de dirección de cada movimiento, y que esto es una parte integral de la sensación. Si esto fuese así, y si un sentido muscular no pudiese ser a menos que estuviese acompañado por este sentido de dirección geométrica, el espacio geométrico ciertamente sería una forma impuesta a nuestra sensitividad. Pero cuando analizo mis sensaciones, no veo esto de ninguna forma. Lo que sí veo es que las sensaciones que corresponden a movimientos en la misma dirección están conectadas en mi mente por una simple asociación de
ideas. Es así como se reduce esta asociación que llamamos sentido de dirección. No
podemos, por tanto, descubrir este sentido en una única sensación. Esta asociación es extremadamente compleja, porque la contracción del mismo músculo puede corresponder, de acuerdo con la posición de los miembros, a movimientos de dirección
muy diferentes. Es más, es evidente que esto es adquirido; es, como todas las asociaciones de ideas, el resultado de un hábito. Este hábito, por sí mismo, es el resultado de un gran número de experimentos, y, no cabe duda, si la educación de nuestros sentidos hubiese tenido lugar en un medio distinto, donde pudimos haber estado sujetos a diferentes impresiones, entonces hubiésemos adquirido hábitos contrarios, y nuestras sensaciones musculares hubieran sido asociadas de acuerdo con otras leyes.
Características del espacio representativo. Así, el espacio representativo en su triple
forma - visual, táctil y motor - difiere esencialmente del espacio geométrico. No es ni homogéneo ni isotrópico; ni siquiera podemos decir que es tridimensional. A menudo se dice que nosotros “proyectamos” en el espacio geométrico los objetos de nuestra percepción externa; que los “localizamos”. Ahora bien, ¿tiene esto algún significado? Y si es así, ¿cuál es? ¿Significa que nos representamos objetos externos en el espacio geométrico? Nuestras representaciones son sólo la reproducción de nuestras sensaciones; no pueden ser, por tanto, acomodadas en el mismo marco, es decir, en un espacio representativo. Es igualmente imposible para nosotros representarnos objetos externos en un espacio geométrico así como es imposible para un pintor pintar sobre una superficie plana objetos tridimensionales. El espacio representativo es sólo una imagen del espacio geométrico, una imagen deformada por una especie de perspectiva, y solamente podemos representarnos objetos al hacer que éstos obedezcan a las leyes de esta perspectiva. Así, no nos representamos cuerpos externos en el espacio geométrico, sino que razonamos sobre estos cuerpos como si estuviesen situados en el espacio geométrico. Cuando se dice, por otra parte, que “localizamos” tal objeto en tal punto del espacio, ¿qué se quiere decir realmente? Simplemente significa que nos representamos
los movimientos que deben tener lugar para alcanzar tal objeto. Y no significa que,
para representarnos estos movimientos, éstos tengan que estar proyectados en el espacio, y que el concepto de espacio deba, por tanto, preexistir. Cuando digo que nos representamos estos movimientos, simplemente me refiero a que nos representamos las sensaciones musculares que los acompañan, que no tienen carácter geométrico alguno, y que, por tanto, de ninguna manera implican la preexistencia del concepto de espacio.
Cambios de estado y cambios de posición. Pero, puede decirse, si el concepto de
espacio geométrico no está impuesto sobre nuestras mentes, y si, por otra parte, ninguna de nuestras sensaciones puede proporcionarnos ese concepto, ¿cómo es que existe? Esto es lo que tenemos que examinar ahora, y tomará algún tiempo; pero puedo resumir, en unas pocas palabras, el intento de explicación que desarrollaré: Ninguna de nuestras
sensaciones, aislada, pudo habernos dado el concepto de espacio; somos llevados a él únicamente al estudiar las leyes por las cuales aquellas sensaciones se suceden unas a otras. Primero vemos que nuestras sensaciones están sujetas al cambio; pero dentro de
estos cambios que comprobamos, rápidamente podemos hacer una distinción. A veces decimos que los objetos, las causas de estas impresiones, han cambiado su estado, a veces que han cambiado su posición, que solamente han sido desplazados. Ya sea que un objeto cambie su estado o sólo su posición, esto siempre es traducido por nosotros de la misma manera, a saber, por una modificación en un agregado de impresiones. ¿Cómo es entonces que hemos sido capaces de distinguirlos? Si únicamente hubiera cambios de posición, podríamos restaurar el agregado primario de impresiones al hacer movimientos que nos confrontaran con el objeto movible en la misma situación relativa. Así, corregimos la situación que ha sido producida, y reestablecemos el estado inicial por una modificación inversa. Si, por ejemplo, fuese una cuestión de la vista, y si un objeto fuese desplazado ante nuestros ojos, podríamos “seguirlo con los ojos”, y retener su imagen en el mismo punto de la retina a partir de movimientos adecuados del globo del ojo. Estamos conscientes de estos movimientos porque son voluntarios, y porque están acompañados por sensaciones musculares. Pero esto no significa que nos los podamos representar en un espacio geométrico. De manera que lo que caracteriza el cambio de posición, lo que lo distingue del cambio de estado, es que siempre puede ser
corregido por estos medios. Puede entonces suceder que pasemos del agregado de
impresiones A al agregado B de dos distintas formas. Primero, involuntariamente y sin experimentar sensaciones musculares - lo que sucede cuando es el objeto el que es desplazado -; segundo, voluntariamente y con sensaciones musculares - lo que sucede cuando el objeto está inmóvil, pero nos desplazamos de tal forma que el objeto tiene un movimiento relativo con respecto a nosotros -. Si esto es así, la traducción del agregado
A al agregado B es sólo un cambio de posición. Se sigue que la vista y el tacto no nos
pudieron haber dado la idea del espacio sin la ayuda del “sentido muscular”. No solamente no pudo haber derivado este concepto de una única sensación, o incluso de una serie de sensaciones; sino que un ser inmóvil nunca podría adquirirlo, porque, al no
ser capaz de corregir, por sus movimientos, los efectos del cambio de posición de los objetos externos, no tendría ninguna razón para distinguirlos de los cambios de estado. Ni hubiera sido capaz de adquirir este concepto si sus movimientos no fuesen voluntarios, o si no estuvieran acompañados por cualquier sensación.
Condiciones de compensación. ¿Cómo es tal compensación posible, de tal forma que
dos cambios, de otra manera mutuamente independientes, puedan ser recíprocamente corregidos? Una mente ya familiarizada con la geometría razonaría como sigue: Si debe haber compensación, las diferentes partes de los objetos externos por una parte, y las diferentes partes de nuestros sentidos, por otra, deben estar en la misma posición
relativa después del doble cambio. Y para que esto sea el caso, las diferentes partes del
cuerpo externo por una parte, y los diferentes órganos de nuestros sentidos, por otra, deben tener la misma posición relativa las unas con las otras después del doble cambio; y así con las diferentes partes de nuestro cuerpo con respecto a unas con otras. En otras palabras, el objeto externo, en el primer cambio, debe ser desplazado como sería desplazado un sólido invariable, y también debe ser así con la totalidad de nuestro cuerpo en el segundo cambio, que debe corregir al primero. Bajo estas condiciones, puede producirse la compensación. Pero nosotros, que todavía no sabemos nada de geometría, y cuyas ideas del espacio aún no están formadas, no podemos razonar de este modo; no podemos predecir a priori si la compensación es posible. Pero el experimento nos demuestra que algunas veces tiene lugar, y comenzamos, desde este hecho experimental, a distinguir cambios de estado de cambios de posición.
Cuerpos sólidos y geometría. Dentro de los objetos que nos rodean, existen algunos que
frecuentemente experimentan desplazamientos que pueden ser corregidos por un movimiento correlativo de nuestro propio cuerpo, a saber, los cuerpos sólidos. Los otros objetos, cuya forma es variable, solamente padecen un desplazamiento similar en circunstancias excepcionales (cambio de posición sin cambio de forma). Cuando tiene lugar el desplazamiento de un cuerpo con deformación, nos es imposible ya, a partir de movimientos apropiados, poner los órganos de nuestro cuerpo en la misma situación
relativa con respecto a este cuerpo; no podemos más, por tanto, reconstruir el agregado
primario de impresiones.
Es sólo más tarde, y después de una serie de nuevos experimentos, que podemos aprender cómo descomponer un cuerpo de forma variable en elementos más pequeños
tal que cada uno sea desplazado de manera aproximada de acuerdo con las mismas leyes de los cuerpos sólidos. De esta manera, distinguimos “deformaciones” de otros cambios de estado. En estas deformaciones, cada elemento experimenta un simple cambio de posición que puede ser corregido; pero la modificación del agregado es más profunda, y ya no puede ser corregida por un movimiento correlativo. Tal concepto es muy complejo incluso en esta etapa, y ha sido relativamente lento en su apariencia. No hubiera sido concebido de ninguna manera si de antemano la observación de los cuerpos sólidos no nos hubiese mostrado cómo distinguir cambios de posición.
Si, por tanto, no hubiese cuerpos sólidos en la naturaleza, no habría geometría.
Otra observación requiere un momento de atención. Supongamos un cuerpo sólido ocupando, de manera sucesiva, las posiciones α y β; en la primera posición, nos dará un agregado de impresiones A, y en la segunda posición el agregado de impresiones B. Que ahora haya un segundo cuerpo sólido, de cualidades completamente distintas al primero (de diferente color, por ejemplo). Asumamos que pasa de la posición α, donde nos da el agregado de impresiones A’, a la posición β, donde nos da el agregado de impresiones B’. En general, el agregado A no tendrá nada en común con el agregado A’, ni el agregado B tendrá nada en común con el agregado B’. La transición del agregado A al agregado B, y la del agregado A’ al agregado B’ son, por tanto, dos cambios en donde, en sí mismos, en general no tienen nada en común. Aún así consideramos ambos cambios como desplazamientos; y, más aún, los consideramos como el mismo desplazamiento. ¿Cómo puede ser esto? Es simplemente porque ambos pueden ser corregidos por el mismo movimiento correlativo de nuestro cuerpo. El “movimiento correlativo”, por consiguiente, constituye la única conexión entre dos fenómenos que de otra forma nunca hubiéramos siquiera soñado en conectar.
Por otra parte, nuestro cuerpo, gracias al número de sus articulaciones y músculos, puede tener una multitud de distintos movimientos, pero no todos son capaces de “corregir” una modificación de objetos externos; aquellos movimientos, por sí mismos, son capaces de ello en la medida en que todo nuestro cuerpo, o por lo menos todos aquellos en donde los órganos de nuestros sentidos entran en juego, son desplazados en bloque, es decir, sin ningún tipo de variación de sus posiciones relativas, como en el caso de un cuerpo sólido.
Para resumir:
1. En primer lugar, distinguimos dos categorías de fenómenos: los primeros, involuntarios, sin estar acompañados por sensaciones musculares, y atribuidos a objetos
externos - son, pues, cambios externos -; los segundos, de carácter opuesto y atribuidos a los movimientos de nuestro propio cuerpo, son, pues, cambios internos.
2. Notamos que ciertos cambios de cada una de estas categorías puede ser corregido por un cambio correlativo de la otra categoría.
3. Distinguimos, entre los cambios externos, aquellos que tienen una correlativa en la otra categoría (que llamamos desplazamientos); y, de la misma forma, distinguimos, entre los cambios internos, aquellos que tienen una correlativa en la primera categoría.
Así, por medio de esta reciprocidad, se define una clase particular de fenómenos llamados desplazamientos. Las leyes de estos fenómenos son el objeto de la geometría.
Leyes de homogeneidad. La primera de estas leyes es la ley de homogeneidad.
Supongamos que, debido a un cambio externo, pasamos del agregado de impresiones A al agregado B, y que después este cambio α es corregido por un movimiento voluntario correlativo β, de manera que somos llevados de vuelta al agregado A. Supongamos ahora que otro cambio externo α’ nos lleva de nuevo del agregado A al agregado B. El experimento nos demuestra que este cambio α’, como el cambio α, puede ser corregido por un movimiento voluntario correlativo β’, y que este movimiento β’ corresponde a las mismas sensaciones musculares que el movimiento β que corrigió a α.
Este hecho es usualmente enunciado como sigue: El espacio es homogéneo e
isotrópico. También podemos decir que un movimiento que es una vez producido puede
ser repetido una segunda y una tercera vez, y así sucesivamente, sin variación alguna de sus propiedades. En el primer capítulo, en donde discutimos la naturaleza del razonamiento matemático, vimos la importancia que debemos dar a la posibilidad de repetir la misma operación indefinidamente. La virtud del razonamiento matemático se