Research Design and Variable Denitions

Aunque hay diferentes métodos de representación del terreno, los métodos usados en general en geomática, y en particular en esta tesis, son representaciones geométricas formadas por nubes de puntos (también líneas) con distribución regular, o bien irregular pero acorde a ciertas pautas (Oksanen, 2006).

Un modelo digital de elevaciones, conocido por sus siglas MDE o DEM (Digital Elevation Model), es una estructura de datos que representa digitalmente una distribución espacial continua de elevaciones. En la definición de un DEM intervienen un conjunto 𝑁 de puntos dato (también llamado nube de puntos) y un método para obtener el valor de la elevación en cualquier otro punto que no forme parte de 𝑁 (Li

et al., 2005). La nube de puntos es el conjunto

𝑁 = {(𝑥₁, 𝑦₁, 𝑧₁), (𝑥₂, 𝑦₂, 𝑧₂), … , (𝑥_𝑛, 𝑦_𝑛, 𝑧_𝑛)}, [1.67]

donde (𝑥𝑖, 𝑦𝑖), con 𝑖 ∈ [1, 𝑛], son las coordenadas planimétricas de los puntos en una

determinada proyección cartográfica y 𝑧_𝑖 son los valores de la cota sobre el terreno (ortométrica o elipsoidal). Cuando 𝑧_𝑖 es la altura del terreno sin considerar los elementos que existen sobre él (construcciones humanas, árboles, cultivos, etc…) se

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denomina modelo digital del terreno,también conocido por sus siglas MDT o DTM (Digital Terrain Model). Por último, cuando el atributo 𝑧_𝑖 es la altura del terreno considerando cualquier elemento que se encuentre sobre él, pasa a llamarse modelo digital de superficie también conocido por MDS o DSM (Digital Surface Model).

La construcción de un DEM tiene como objetivo facilitar la reconstrucción de una superficie de elevaciones a partir de las elevaciones en ciertos puntos. Dada una nube de puntos 𝑁, la calidad de un modelo digital de elevaciones está relacionada con el número de puntos que forman el modelo, la precisión en la medida de cada punto y la selección de los puntos. Si se trabaja con un modelo digital del terreno, una nube de menos puntos puede ser mejor que otra de más puntos, si la primera representa mejor la superficie del terreno porque tiene en cuenta las líneas de ruptura (líneas de cambio fuerte de pendiente).

Tipos de estructuras de datos para albergar un DEM

Entre las estructuras de datos de tipo vectorial que se utilizan para almacenar los modelos digitales de elevación encontramos la estructura de datos de isolíneas, que está formada por una serie de líneas (cada una queda definida por una serie de vértices) en las que el valor del atributo a representar permanece constante (Figura 1.23).

Figura 1.23. Representación gráfica de una estructura de datos de isolíneas para almacenar un modelo digital de elevaciones. En este caso las isolíneas se denominan curvas de nivel. Cuando las

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Otra estructura de datos vectorial es la red de triángulos irregulares o TIN (Triangulated Irregular Network). A partir de la nube de puntos 𝑁 se construye una superficie 𝑆 formada a trozos por superficies elementales planas triangulares, donde cada punto de la nube 𝑁 es vértice de algún triángulo en la superficie 𝑆 (Figura 1.24), cada triángulo es lo más regular posible y se busca que la longitud de los lados sea mínima. La triangulación así formada es la más adecuada para la formación de redes de triángulos irregulares o TIN en la generación de modelos digitales del terreno (Harijaona, 2009), además es única (Priego et al., 2002) y se conoce como

triangulación de Delaunay. Una red de triángulos se define como una triangulación de Delaunay si la circunferencia circunscrita de cada triángulo de la red cumple el llamado criterio de la esfera vacía, es decir, si no contiene en su interior otros vértices de la red. La superficie así construida cumple que dos puntos de la nube 𝑁 forman un mismo lado de la triangulación sí y sólo sí existe un círculo que contiene a ambos puntos en su circunferencia y no contiene en su interior a ningún otro punto de la nube. Para una descripción de los métodos para construir una triangulación de Delaunay o para modificar una existente por adición o sustracción de puntos, puede consultarse e.g. Mallet (2002) o Li et al. (2005).

Figura 1.24. Representación gráfica de una estructura de datos TIN para almacenar un modelo digital del terreno. Cada vértice de un triángulo es un punto de la nube de puntos 𝑁 (fuente

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En cuanto a las estructuras de datos ráster para almacenar modelos digitales de elevación, la más extendida es la formada por rejillas o mallados regulares (grid). Cada nodo de la malla alberga un píxel y su valor es el del atributo a representar del modelo digital de elevaciones. Se trata de una estructura de datos muy simple, que en la mayor parte de los casos carece de valores medidos ya que el valor digital asignado a cada punto suele ser una interpolación del atributo a representar.

Obtención de la superficie del DEM

Se dispone de una nube 𝑁 de puntos 𝑃𝑖 de coordenadas conocidas (𝑥𝑖, 𝑦𝑖, 𝑧𝑖),

y se pretende calcular en un punto cualquiera 𝑃 de coordenadas planimétricas también conocidas (𝑥𝑝, 𝑦𝑝), el valor de su elevación, 𝑧𝑝.

En un TIN es sencillo obtener la ecuación de la superficie, al tratarse de un plano en cada triángulo. Esto simplifica el cálculo del valor de la elevación en cualquier punto 𝑃. Existen otros métodos de construcción de la superficie 𝑆, que en general, se conocen como métodos de interpolación o de ajuste de superficies.

El método de interpolación por el inverso de la distancia (e.g. Bartier y Keller, 1996) obtiene 𝑧𝑝 como media ponderada de los valores en un subconjunto 𝑀 ⊂ 𝑁

formado por 𝑛 puntos, 𝑃_𝑖, de coordenadas conocidas (𝑥_𝑖, 𝑦_𝑖, 𝑧_𝑖)

𝑧_𝑝 = ∑ 𝑧𝑗 _𝐷 𝑝𝑖𝛼 ⁄ 𝑛 𝑖=1 ∑ 1 𝐷_𝑝𝑖𝛼 ⁄ 𝑛 𝑖=1 , 𝐷_𝑝𝑖 = √(𝑥_𝑖− 𝑥_𝑝)2+ (𝑦_𝑖 − 𝑦_𝑝)2, [1.68]

donde 𝛼 es un exponente con el que se modela la forma en que el peso disminuye con la distancia. Según sea su valor, hablamos de inverso de la distancia (𝛼 = 1), inverso del cuadrado de la distancia (𝛼 = 2), etc. El subconjunto 𝑀 puede contener todos los puntos de la nube 𝑁 o extraerse de ella mediante algún criterio (e.g. los 𝑛

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puntos de la nube más cercanos a 𝑃, o utilizar estrategias de selección de puntos por sectores, etc.).

La regresión polinómica múltiple (Myers et al., 2009), es un método de ajuste de superficie que permite calcular el valor 𝑧_𝑝 del punto 𝑃 mediante una expresión del tipo (no se usan expresiones de grado superior a 2)

𝑧_𝑝 = ∑ ∑ 𝑎_𝑖𝑗 𝑥_𝑝𝑖 _𝑦 𝑝𝑗 𝑗=𝑚−𝑖 𝑗=0 𝑖=𝑚 𝑖=0 , [1.69]

siendo 𝑎_𝑖𝑗 los coeficientes del polinomio y 𝑚 su grado. Estos coeficientes se determinan por mínimos cuadrados (método paramétrico), considerando las coordenadas de los puntos 𝑃𝑖 de la nube 𝑁 de observaciones. Para un ajuste

polinómico de grado 2, son al menos necesarios 6 puntos. Los puntos 𝑃_𝑖 se conocen también como puntos de control (Fan and Gijbels, 1996).

Otro método de interpolación espacial muy extendido es Kriging, que al igual que el método del inverso de la distancia, interpola haciendo un promedio ponderado de los valores observados en puntos de los alrededores. Se trata de un método geoestadístico que tiene en consideración la correlación espacial entre puntos y calcula los pesos óptimos minimizando la desviación media cuadrática entre las predicciones y las observaciones (e.g. Cressie, Wikle 2011). Kriging resulta de especial interés cuando las observaciones están mal distribuidas. Aunque existen diferentes tipos de kriging, resulta de especial interés el kriging ordinario, ya que considera desconocida la esperanza de la variable (aunque la supone estacionaria), por lo que se calcula con la vecindad de la estimación, y asume que los datos pueden tener error (predictor no exacto) (e.g. Cressie, 1993).

Existen otros métodos para interpolar superficies a partir de nubes de puntos. Algunos ejemplos de métodos utilizados en geomática son las superficies de Bézier o Splines (Bartels et al., 1998) y el método de Zevenbergen and Thorne (Zevenbergen

et al., 1987) que permite obtener mediante un método numérico directo además del valor de la 𝑧, el valor de la pendiente y de la orientación de la pendiente.

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Pendiente y orientación sobre la superficie del DEM

Dada una superficie cualquiera 𝑆 definida por la ecuación

𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), [1.70]

el gradiente en un punto 𝑃 de coordenadas planimétricas (𝑥_𝑝, 𝑦_𝑝) sobre esa superficie, ∇⃗⃗⃗𝑓(𝑥_𝑝, 𝑦_𝑝) =𝜕𝑧

𝜕𝑥|_𝑃𝑖⃗ + 𝜕𝑧

𝜕𝑦|_𝑃𝑗⃗, nos permite calcular la pendiente 𝑝 (su

módulo) y la orientación de la pendiente 𝜃 (su dirección), mediante las expresiones

𝑝(%) = 100 √(𝜕𝑧 𝜕𝑥) 2 + (𝜕𝑧 𝜕𝑦) 2 , 𝜃 = atan ( 𝜕𝑧 𝜕𝑥 ⁄ 𝜕𝑧 𝜕𝑦 ⁄ ) . [1.71] Error en el DEM

Existen varias formas de estimar los errores que se producen en la generación de un modelo digital de elevaciones, aunque sólo los dos que se muestran a continuación son los usados en esta tesis. En realidad se trata de evaluación de discrepancias (diferencias entre valores obtenidos) y no de errores propiamente dichos (diferencia entre los valores real y obtenido), si bien en la práctica éstas se utilizan como estimación del error.

Si para evaluar el error de una superficie definida mediante un DEM se dispone de otra superficie obtenida con un método de mayor precisión, se pueden comparar ambas superficies (restándolas) para construir un histograma con todas las diferencias producidas por intervalos. De esta forma podemos determinar si existe algún error sistemático en la nueva superficie calculada y también se puede estudiar la distribución de errores aleatorios (ver Figura 1.25).

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Figura 1.25. Función que representa la diferencia entre dos modelos digitales y el número de veces que se repite esta diferencia. Se puede observar que la diferencia media es de 52,779 m debida a la

ondulación del geoide. La desviación estadística es de ±2,671 m.

No siempre se dispone de una superficie mejor con la que comparar el modelo, por lo que el error cometido ha de determinarse usando otros métodos. Dada la nube

𝑁 formada por 𝑖 puntos, se extrae un subconjunto 𝑀 de 𝑗 puntos de 𝑁 (𝑗 < 𝑖). Estos puntos extraídos deben ser de relleno y no formar parte de líneas de ruptura. De esta forma, se construye la superficie usando un total de 𝑖 − 𝑗 puntos y se obtienen las cotas para los puntos de 𝑀 en la superficie que acabamos de calcular. El resultado se compara con la cota observada para los 𝑗 puntos de 𝑀, obteniéndose una distribución parecida a la representada en la Figura 1.25, que nos permite estimar el error cometido en la obtención del modelo digital de elevaciones (Podobnikar, 2009).

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