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Al hablar del conjunto de números racionales en la semana 3 indicamos que un número racional es aquel que se puede escribir como la razón de dos enteros, en este punto vale la pena agregar que el número racional !

! (con 𝑎𝑎 y 𝑏𝑏 enteros y 𝑏𝑏 ≠ 0) es realmente el

conjunto formado por !

! y todas las fracciones equivalentes.

De todas las operaciones básicas en los diferentes conjuntos numéricos, quizá las que atañen a los números fraccionarios constituyen las mayores dificultades para muchos estudiantes, es por ello que, asumiendo que el estudiante maneja con cierta propiedad las operaciones entre números enteros, abordamos aquí el tratamiento de operaciones sobre el conjunto de los números racionales desde un enfoque básico, de tal manera que sirva de refuerzo temático al estudiante de licenciatura en educación y pueda usarlo como orientación en su desarrollo profesional con estudiantes de educación básica.

Fracciones equivalentes

Para ilustrar los principios asociados con operaciones entre fracciones, vistos como partes de una unidad, conviene inicialmente tratar la noción de fracciones equivalentes, para ello nos valdremos de una idea relacionada con la representación de fraccionarios en una recta, pero no usaremos el segmento unidad sino rectángulos de área unitaria.

Figura 1: Diferentes formas de representar y expresar una unidad Fuente: Propia.

La figura 1a, muestra un rectángulo unidad, en la figura 1b, vemos la misma unidad pero dividida en dos mitades, en este caso la unidad es equivalente a !

! (dos medios), en 1c, la

unidad está dividida en tres partes (tres tercios) lo que significa que la unidad es equivalente a !

!, finalmente la 1d, muestra la unidad dividida en cuatro partes (cuatro

cuartos). Tenemos entonces diferentes formas de expresar una unidad.

Figura 2. diferentes formas de representar y expresar una fracción Fuente: Propia.

En la figura 2a, se observa una unidad dividida en tres partes, pero solo se resalta o rellena en amarillo dos de ellas, con lo cual se representa el número !

!. En la figura 2b, la misma

unidad se divide en seis partes (seis sextos), lo que significa que de cada tercio se obtiene 2 sextos, con lo cual la cantidad !

! representada en la parte a) es equivalente a la cantidad !

! representada en la parte b). Finalmente, en la figura 2c, podemos ver que la unidad está

dividida en 12 partes iguales (doce doceavos), el estudiante puede verificar, observando la figura 2, que cada tercio de la parte a) es equivalente a dos sextos de la parte b) y a cuatro doceavos de la parte c. Además, la cantidad resaltada es equivalente a !

!", lo que en

últimas nos permite expresar las siguientes equivalencias entre fracciones. 𝟐𝟐 𝟑𝟑= 𝟒𝟒 𝟔𝟔= 𝟖𝟖 𝟏𝟏𝟏𝟏

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Amplificación y simplificación de fracciones

Con base en las ideas antes vistas, en relación con fracciones equivalentes podemos ver que a partir de una fracción dada podemos obtener otra fracción equivalente. Si se los términos de la nueva fracción son mayores que los de la fracción original decimos que se ha amplificado la fracción, lo cual se logra multiplicando numerador y denominador por un mismo número mayor que 1. Por ejemplo, la fracción 𝟒𝟒

𝟔𝟔 se puede obtener mediante la

amplificación de la fracción 𝟐𝟐

𝟑𝟑, en este caso se multiplica por 2 numerador y denominador.

Si numerador y denominador de una fracción tienen factores o divisores comunes, podemos dividir los elementos de la fracción por alguno de sus divisores comunes y obtenemos una fracción equivalente de términos menores, en este caso decimos que se simplifica la fracción. A continuación abordamos el estudio de operaciones entre

fracciones, en lo cual nos valemos de simplificación y amplificación.

Iniciamos el estudio de la suma de fracciones de igual denominador a partir de la

interpretación de la representación de las fracciones como partes de una unidad, esto lo ilustramos en la figura 4.3.

Figura 3. Representación de suma de fracciones de igual denominador Fuente: Propia.

La parte a) de la figura 3 ilustra la suma de las fracciones !

!y

!

!. La representación gráfica

de esta operación muestra claramente que el resultado es !

!por lo que al lado de la

correspondiente imagen hemos escrito !

!

+

!

!

=

!

!

.

una situación similar en la que claramente se ve que !

!

+

!

!

=

! !

.

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Losdos casos anteriores corresponden a situaciones en las cuales el resultado es una fracción menor que la unidad, pero existen situaciones en las cuales la suma de dos fracciones resulta en una cantidad mayor que la unidad, un par de ejemplos de esto se ilustra en la figura 4.

Figura 4. Representación de suma de fracciones de igual denominador Fuente: Propia.

La figura 4b, muestra que la representación gráfica de la suma !

!

+

!

!, dado que la unidad

equivale a !

!, claramente se ve que no es suficiente fraccionar en cuartos una sola unidad,

situación similar se observa en el caso b), donde el resultado es !

! . Respaldados en las

respectivas representaciones gráficas resumiendo ahora los resultados de las operaciones anteriores: 𝟐𝟐 𝟔𝟔 + 𝟑𝟑 𝟔𝟔 = 𝟓𝟓 𝟔𝟔 ; 𝟏𝟏 𝟒𝟒 + 𝟐𝟐 𝟒𝟒 = 𝟑𝟑 𝟒𝟒 ; 𝟑𝟑 𝟒𝟒 + 𝟐𝟐 𝟒𝟒 = 𝟓𝟓 𝟒𝟒 ; 𝟓𝟓 𝟔𝟔 + 𝟑𝟑 𝟔𝟔 = 𝟖𝟖 𝟔𝟔 En los cuatro casos claramente se ve que el resultado es otra fracción de igual

denominador y el numerador es la suma de los numeradores, esta idea se puede extender a la suma y resta combinada de fracciones de igual denominador, con lo cual tenemos la siguiente generalización.

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La suma y resta de fracciones de igual denominador es otra fracción con el mismo denominador de las fracciones originales y el numerador se obtiene mediante las respectivas sumas y resta de los numeradores.

Ejemplo: 4.1: a continuación se muestra dos casos de sumas y restas de fracciones de igual denominador. Nótese en los casos a) y c) el resultado se puede simplificar a una fracción equivalente.

𝒂𝒂) 𝟒𝟒_{𝟔𝟔 +} 𝟓𝟓_{𝟔𝟔 −} 𝟐𝟐_{𝟔𝟔 +}𝟕𝟕_{𝟔𝟔 =}𝟏𝟏𝟏𝟏_{𝟔𝟔 =}𝟕𝟕_𝟑𝟑

𝒃𝒃) _{𝟐𝟐𝟐𝟐 +} 𝟓𝟓 𝟑𝟑𝟑𝟑_{𝟐𝟐𝟐𝟐 − 𝟐𝟐𝟐𝟐 +}𝟖𝟖 𝟏𝟏𝟏𝟏_{𝟐𝟐𝟐𝟐 −}𝟏𝟏𝟏𝟏_{𝟐𝟐𝟐𝟐 =}𝟑𝟑𝟑𝟑_{𝟐𝟐𝟐𝟐}

𝒄𝒄) 𝟏𝟏𝟏𝟏_{𝟖𝟖 +} 𝟐𝟐𝟐𝟐_{𝟖𝟖 −} 𝟒𝟒_{𝟖𝟖 =}𝟑𝟑𝟑𝟑_{𝟖𝟖 =}𝟗𝟗_𝟐𝟐