RESEARCH METHODOLOGY

La astronomía y la física de aceleradores de partículas, han sido las principales impulsoras del desarrollo de la dinámica, en general, y de las teorías de difusión en sistemas Hamiltonia- nos, en particular.

Dentro de la astronomía, el sistema sobre el que se han realizado la mayoría de las aplia- ciones de teorías difusivas es el Sistema Solar, debido principalmente a la posibilidad de contar con datos observados de calidad.

solución analítica exacta. Tal solución puede expresarse en función de seis elementos orbita-

les a, e, i, ω,Ω y E que representan, respectivamente, el semieje mayor, la excentricidad, la

inclinacióndel plano orbital respecto a algún plano de referencia, el argumento del pericen- tro, lalongitud del nodo y laanomalía excéntrica. Los primeros cinco elementos orbitales son constantes de movimiento del problema Kepleriano.

Por otro lado, al modelar al Sistema Solar dinámicamente, considerando más de dos cuer- pos atraídos por la fuerza gravitatoria, el sistema Hamiltoniano obtenido no es integrable. Dependiendo de los cuerpos bajo estudio y de las condiciones iniciales elegidas, dicho Ha- miltoniano puede ser (o no) considerado como casi–integrable y analizado bajo el enfoque de la teoría perturbativa. En la misma, el Hamiltoniano integrable puede estar conformado por el problema gravitatorio de dos cuerpos (problema Kepleriano). Dicho Hamiltoniano presen- ta degeneración esencial y K-degeneración, su superficie de energía (I0) no es convexa, y el

espacio de fases no es acotado. Estas características hacen que este problema quede afuera de las hipótesis necesarias para las teorías de la difusión mencionadas en la sección anterior. Sin embargo, existen trabajos cuyo objetivo ha sido el lograr generalizaciones a dichas teorías capaces de ser aplicadas en el problema de dos cuerpos perturbado. En estos casos, en gene- ral, se estudia el proceso difusivo de cantidades asociadas aa,e, i, llamadas valores propios,

para distintas configuraciones de los cuerpos y en distintas regiones del Sistema Solar, que por lo general son entornos de resonancias. Por citar algunos se menciona a Robutel et al. (2005), Robutel and Gabern (2006), Tsiganis et al. (2007) y Cachucho et al. (2010). Debido a la relación metodológica de esta tesis, en lo que respecta a cómputo de coeficientes de difu- sión a través de varianzas de ensamble, con los trabajos Cordeiro y Mendes de Souza (2005) y Cordeiro (2006), se resume el primero de ellos a continuación.

En dicho estudio se presenta evidencia numérica de que para describir los procesos difusivos que tienen lugar en regiones de resonancias Jovianas de primer orden, es más adecuado utilizar un modelo RW con difusión anómala que utilizar uno con difusión normal. En este trabajo se utilizan ensambles de partículas prueba para determinar la evolucion temporal de la desviación estándar del semieje mayor (σa) y de la excentricidad (σe). Cada una de estas curvas presenta

oscilaciones de orden de magnitud relativo cercano a uno. Sin embargo, es posible apreciar que la envolvente de estas cantidades obedece, aproximadamente, una ley tipo MBF (1.74). Posteriormente proponen un modelo probabilístico para dicho comportamiento, ajustan el valor del exponente de Hurst (υ) y conforman mapas cromáticos de tal cantidad sobre el planoa, e, en entornos de las resonancias Jovianas 2:1, 3:2 y 4:3. Se debe aclarar que bajo el

término “ensamble”, los autores se refieren a unquasi–ensamble de partículas de prueba con

condiciones inicialesquasi–idénticas. La elección de este método de ensambles está justificado por la siguiente propiedad: los períodos seculares no afectan a la evolución de la desviación estándar porque los cambios principales experimentados por una partícula de un ensamble son también experimentados por todas las otras partículas del ensamble. Esto permite adoptar intervalos de integración que son más pequeños que los períodos seculares típicos deayeen

las regiones resonantes estudiadas por ellos. Este método de ensambles será adoptado para el cálculo de cantidades estadísticas en capítulos 4 y 5.

Los autores concluyen que en los bordes de resonancias (capas estocásticas), la difusión se comporta exponencialmente, es decir,σ(t) =αeβtγ (α,βyγ constantes) al inicio pero lue-

go prosigue una lenta difusión con un crecimiento de las desviaciones estándar despreciable. También encuentran que en la región resonante, la desviación estándar no muestra inicial- mente un comportamiento difusivo. Sin embargo, habiendo transcurrido un cierto intervalo de tiempo, la difusión actúa como difusión anómala asociada a una ley de potencias. Además,

presentan un análisis de la correlación entre las regiones pobladas por asteroides y los valores deυ asociados.

En el capítulo 4 se medirá la difusión en los bordes de una resonancia de un sistema Hamiltoniano 3DoF, focalizando en la etapa de difusión lenta mencionada en párrafo anterior. Al integrar durante tiempos relativamente mayores, se podrá observar un aumento neto de la varianza y cuantificar su razón de cambio.

Otros sistemas astronómicos donde los efectos de la difusión caótica han sido estudiados son los modelos de sistemas extrasolares y las galaxias. En Efthymiopoulos et al. (2007) se analizan diversos aspectos de la dinámica galáctica, haciendo la conexión con el problema de la difusión en sistemas Hamiltonianos. En particular, se menciona que es de suma importancia para la dinámica galáctica comprender el rol de la difusión de Arnold y de la difusión en régimen deoverlap. Asimismo se brindan ejemplos de difusión de órbitas debilmente caóticas

a lo largo de lineas de resonancia en el espacio de frecuencias. En Efthymiopoulos (2010) se continua el estudio precedente, demostrando como la teoría perturbativa resonante lleva a una teoría orbital para la estructura de galaxias espirales.