The response of the exchanges

En esta secci´on se describen y clasifican las extensiones simples de los cuerpos. Se demuestra adem´as la unicidad de ´estas, salvo equivalencia. En adelante, salvo que se advierta otra cosa, omitiremos el punto para la multiplicaci´on de escalar por vector en un espacio vectorial.

Definici´on 2.1.1. Se dice que el cuerpo L es una  extensi´ on  del cuerpo F  si F  es  un subcuerpo de L.

Proposici´on 2.1.2. Sea  L una extensi´ on de  F . Entonces  L es un espacio vectorial  sobre F.

Demostraci´ on. Los vectores de L se suman como elementos del cuerpo L, es decir, el grupo aditivo del espacio vectorial L es el grupo aditivo del cuerpo L. El producto de los escalares de F  por los vectores de L es el producto en L. Las propiedades que definen un espacio vectorial son entonces consecuencia de las propiedades de las operaciones del cuerpo L.

Definici´on 2.1.3. Sea L una extensi´ on de F . Se denomina  grado de la extensi´ on  a la dimensi´ on de L  considerado como espacio vectorial sobre F , y se denota por 

[L : F ] := dimF (L). La extensi´ on se dice  finita  si su grado es finito.

Proposici´on 2.1.4. Sea L una extensi´ on finita de K   y sea K  una extensi´ on finita  de F. Entonces L es una extensi´ on finita de F   y adem´ as [L : F ] = [L : K ] [K  : F ]. Demostraci´ on.  Sean

 _{

v1, . . . , vm

}

 una base de K  considerado como un espacio vec-

torial sobre F  y

 _{

u1, . . . , un

}

 una base de L  como K -espacio. Probemos que el con-

 junto

 _{

v jui

 |

1

≤

 j

 ≤

m, 1

≤

i

≤

n

}

 es una base de L considerado como un espacio

vectorial sobre F . Sea x un elemento cualquiera de L, entonces existen elementos k1, . . . , kn en K   tales que x = k1u1 +

· · ·

+ knun; para cada cada 1

 ≤

i

 ≤

n, ki

es combinaci´on lineal de los elementos v1, . . . , vm,  con coeficientes de F , es decir,

ki =



 _jm₌₁f  jiv j, f  ji

 ∈

 F . De lo anterior se desprende que x =



n,m

i=i,j=1f  jiv jui. Res-

ta probar la independencia lineal de los elementos v jui sobre el cuerpo F . Sean λ ji

elementos de F  tales que



n i=1(



m

 j=1λ jiv j)ui = 0,

como



 _jm₌₁λi

 jv j

 ∈

K  y

 {

u1, . . . , un

}

 es la base de L sobre K , entonces para cada

1

_≤

i

_≤

n   se tiene que



 _jm₌₁λi

 jv j  = 0, pero como

 {

v1, . . . , vm

}

  es una F -base

de K , entonces λi

 j  = 0 para 1

≤

i

≤

n y 1

≤

j

≤

m. Ahora es evidente que

[L : F ] = [L : K ] [K  : F ] .

Corolario 2.1.5. Sea L  una extensi´ on de K   y sea K   una extensi´ on de F . Si  L

es una extensi´ on finita de F   entonces L  es una extensi´ on finita de K y K   es una  extensi´ on finita de F . Adem´ as, [L : F ] = [L : K ] [K  : F ].

Demostraci´ on.  Como L y K  son espacios vectoriales sobre F  bajo las mismas opera- ciones y K 

 _⊂

L, entonces K  es un subespacio de L. Esto implica que [K  : F ] <

_∞

. De otra parte, cada conjunto de elementos de L que sea linealmente independiente sobre K  es linealmente independiente sobre F , pero como [L : F ] <

 _∞

  entonces [L : K ] <

_∞

. La relaci´on entre las dimensiones se obtiene de la proposici´on 2.1.4. Corolario 2.1.6. Sea L  una extensi´ on finita de F   de grado un n´ umero primo p. Entonces no hay campos intermedios entre L y F .

Demostraci´ on. Sea K  un subcuerpo de L que contiene a F , L

_⊇

K 

 _⊇

F . De acuerdo con el corolario anterior, [K  : F ]

 _|

[L : F ], luego [K  : F ] = 1 o [K  : F ] = p. En el primer caso K  = F , y en el segundo [L : K ] = 1 con lo cual K  = L.

Es claro que la intersecci´on de subcuerpos de un cuerpo es nuevamente un cuerpo. Se tiene entonces la siguiente noci´on.

Definici´on 2.1.7. Sea L una extensi´ on del cuerpo F   y sea X 

 _⊆

L. La intersecci´ on  de todos los subcuerpos de L que contienen a X  y a F   se denomina la  adjunci´ on  de X  a F , o tambi´en, el   subcuerpo generado por X y F :

F (X ) :=



(X 

_∪

F )

_⊂

Les subcuerpo de L

N´otese que F (X ) es el subcuerpo m´as peque˜no de L que contiene a F  y a X , y es a su vez una extensi´on de F . El conjunto X  se dice que es un sistema generador 

de la extensi´on F (X ).

Definici´on 2.1.8. Sea L  una extensi´ on del cuerpo F   y sea α

 _∈

L. La adjunci´ on 

F (α)  se conoce como  extensi´ on simple de  F . Se dice que α  es un   elemento generador  de la extensi´ on F (α).

La siguiente proposici´on describe la forma de los elementos de  F (α).

Proposici´on 2.1.9. Sea L una extensi´ on del cuerpo F   y sea α

_∈

L. Entonces,

F (α) =



 p_q(₍α_α)₎

 _|

 p(x), q (x)

_∈

F [x], q (α) = 0

_



, con  p_q(₍α_α)₎ := p(α)q (α)

−

1_.

Demostraci´ on. Sea A el conjunto de fracciones descritos en el enunciado. Es obvio que A  es un subcuerpo de L  que contiene a F  y α, luego A

_⊇

F (α). Ahora si, L



_es

un subcuerpo de L que contiene a F  y α, entonces claramente L



 _{contiene cualquier}

expresi´on polin´omica en α con coeficientes en F , y tambi´en cualquier cociente de tales expresiones polin´omicas, es decir, L

 _⊇

_{A. Por lo tanto, F (α) =}



_L

 _⊇

_A.

Observaci´on 2.1.10.  (i) Sea L  una extensi´on del cuerpo F  y sean α1, . . . , αn

 ∈

L;

razonando como en la demostraci´on de la proposici´on anterior encontramos que el subcuerpo generado por F  y α1, . . . , αn viene descrito por

F (α1, . . . , αn) =  {

p(α₁,...,αn)

q(α₁,...,αn)|p(x1, . . . , xn), q(x1, . . . , xn) ∈ F [x1, . . . , xn], q(α1, . . . , αn) = 0}.

(ii) Al final del cap´ıtulo volveremos a considerar las adjunciones F (α1, . . . , αn)

en el tema de dependencia e independencia algebraica.

Las extensiones simples pueden ser clasificadas en dos tipos: algebraicas y tras- cendentes. Para las primeras veremos que la forma de sus elementos dada en la proposici´on anterior se puede simplificar notablemente. Si  F  es un cuerpo, entonces denotaremos por F (x) el cuerpo de fracciones de  F [x].

Definici´on 2.1.11. Sea  L una extensi´ on de  F   y sea α

_∈

L. Se dice que α es  alge- braico sobre F  si existe un polinomio no nulo f (x) = a0 + a1x +

· · ·

+ anxn

∈

F  [x]

tal que α es ra´ız de f (x). Si tal polinomio no existe se dice que  α es  trascendente sobre F .

Teorema 2.1.12. Sea L una extensi´ on de F  y α

_∈

L.

(i) Si α  es algebraico sobre F , entonces existe un ´ unico polinomio f (x)

 _∈

F  [x]

que satisface las siguientes condiciones: f (α) = 0, f (x) es de grado m´ınimo, m´ onico, irreducible y  F (α)

∼

= F  [x] /

_

f (x)

_

. Adem´ as, si  h(x)

_∈

F [x] es tal que 

h(α) = 0, entonces f (x)

_|

h(x). El polinomio f (x)  se denomina el   polinomio m´ınimo de α y el entero n se denomina el  grado de α sobre F .

(ii) Si α es trascendente sobre F   entonces F  (α)

∼

= F (x).

Demostraci´ on. (i) Sea p(x)

_∈

F  [x] un polinomio no nulo tal que p(α) = 0; sea A :=

{

 p(x)

_∈

F  [x]

_|

 p(α) = 0, p(x)

_

= 0

_}

. Entonces A

_

=

 _∅

, y sea f (x) un polinomio de grado m´ınimo de A; n´otese que f (x) se puede tomar m´onico. Es claro que gr(f (x))

_≥

1. Probemos que f (x) es irreducible sobre F  [x]. Sup´ongase que existen p(x), q (x) en F  [x] tales que f (x) = p(x)q (x).  Mediante el homomorfismo evaluaci´on ϕα :

F  [x]

_−→

L obtenemos que f (α) = p(α)q (α) =0. Si suponemos que p(x) y q (x) son no constantes, entonces teniendo en cuenta que gr(f (x)) = gr( p(x)) + gr(q (x)), se contradice la escogencia de f (x). Por lo tanto, alguno, p(x) o q (x), es constante, y as´ı f (x) es irreducible.

Notemos que Im(ϕα) = F [α], es decir, Im(ϕα) es el menor subanillo de L que

contiene a F  y α, y consta de todas las expresiones polin´omicas en α con coeficientes en F ; adem´as, ker(ϕα) =



f (x)



. En efecto, es claro que

 

f (x)

 ⊆

  ker(ϕα); sea

 p(x)

 _∈

 ker(ϕα), existen q (x), r(x) en F  [x] tales que p(x) = q (x)f (x) + r(x), con

r(x) = 0 o gr(r(x)) < gr(f (x)). Resulta, p(α) = q (α)f (α)+r(α) = 0+r(α) = 0. Por la escogencia de f (x) se tiene que r(x) = 0 con lo cual p(x)

_{∈ }

f (x)

_

. Por el teorema fundamental de homomorfismo para anillos se tiene que F [α]

∼

= F  [x] /

_

f (x)

_

. Como f (x) es irreducible entonces F [α] es un cuerpo. Adicionalmente notemos que F [α]

_⊆

F (α), pero F [α] contiene a F  y α, por lo tanto, F (α)

 _⊆

F [α], con lo cual F [α] = F (α).

Veamos ahora la unicidad de f (x). Sea g(x) otro polinomio m´onico de grado n tal que g(α) = 0; por el algoritmo de la divisi´on se tiene que f (x) = q (x)g(x) + r(x), con r(x) = 0 ´o gr(r(x)) < gr(g(x)), resulta f (α) = 0 = q (α)g(α) + r(α) = r(α), y de minimalidad de n se tiene que r(x) = 0. Por lo tanto, g(x)

_|

f (x), pero f (x) es irreducible, luego f (x) y g(x) son asociados, y como ambos son m´onicos, entonces g(x) = f (x).

Para la ´ultima afirmaci´on de este numeral aplicamos nuevamente el algoritmo de la divisi´on: h(x) = c(x)f (x) + s(x), con s(x) = 0 ´o gr(s(x)) < n, resulta h(α) = 0 = c(α)f (α) + s(α), por la minimalidad de n  se tiene que s(x) = 0.

(ii) Si α es trascendente, entonces ϕα es inyectivo, luego F [x]

∼

= F [α], y entonces

el cuerpo de fracciones de F [x] es isomorfo al cuerpo de fracciones de  F [α], es decir, F (α)

∼

= F (x).

Corolario 2.1.13. Sea L una extensi´ on de F   y sea α

 _∈

 L  un elemento algebraico de grado n

_≥

1 sobre F . Entonces,

(i) F (α) =



n_k=0

−

1 akαk

|

ak

 ∈

F 



.

(ii)

_{

1, α , . . . , αn

₋

1

}

 es una base de F (α) y [F (α) : F ] = n.

Demostraci´ on.  (i) Denotemos S  :=



n_k=0

−

1 akαk

|

ak

 ∈

F 



. En la demostraci´on del

teorema 2.1.12 vimos que I m(ϕα) = F [α] = F  (α). Es obvio que S 

 ⊆

F (α). Sea a =

a0+ a1α +

· · ·

+ amαm un elemento cualquiera de F (α) y sea p(x) = a0+ a1x +

· · ·

+

amxm

∈

F  [x]. Sea f (x) el polinomio m´ınimo de α, se tiene p(x) = q (x)f (x) + r(x)

con gr(r(x)) < gr(f (x)) ´o r(x) = 0. Aplicando ϕα  encontramos que a = p(α) =

q (α)f (α) + r(α) = r(α) = r0 + r1α +

· · ·

+ rn

₋

1αn

−

1

∈

S . Por lo tanto, F (α)

⊆

S  y

entonces F (α) = S .

(ii) Seg´un (i),

 _{

1, α , . . . , αn

₋

1

}

 es un sistema de generadores de  F (α); sea ahora 0 = a0 + a1α +

· · ·

+ an

₋

1αn

−

1, con ai

 ∈

F, 1

≤

i

≤

n

−

1, entonces 0 =



_kn₌₀

−

1 akαk,

luego α es ra´ız de t(x) :=



n_k=0

−

1 akxk con lo cual t(x) = 0, es decir,  ai = 0 para cada

0

_≤

i

_≤

n

₋

1. Resulta, [F (α) : F ] = n.

(iii) Si β  no es algebraico, entonces β  es trascendente, y por el teorema  2.1.12, F (β )

∼

= F (x). Esto implica que [F (β ) : F ] =

_∞

. En efecto, F [x]

_⊂

F (x) y

{

1, x , x2, . . .

_}

 es un conjunto infinito de F [x] linealmente independiente sobre F . As´ı pues, β  es algebraico, y como vimos en (ii), [F (β ) : F ] es el grado del polinomio m´ınimo de β , es decir, el grado de  β .

Pasamos ahora a considerar la “igualdad” de las extensiones simples. Definici´on 2.1.14.  Sean L y L



 _{dos extensiones del cuerpo F .}

(i)  Se dice que L es   equivalente a L



  respecto de F   si existe un isomorfismo de anillos h : L

 _→

L



  _{que deja fijos los elementos de F , es decir, L(a) = a}

para cada a

_∈

F .

(ii)  Sean  F (α) y  F (β ) dos extensiones simples de  F . Se dice que  F (α) y  F (β ) son  conjugadas respecto a F   si existe una equivalencia h : F (α)

 _→

F (β ) tal  que h(α) = β . En tal caso α y β  se dicen  conjugados respecto de F .

Proposici´on 2.1.15. Sea L una extensi´ on de F   y sean α, β 

 _∈

L. Entonces,

(i) Dos extensiones simples trascendentes de F , F  (α) y F  (β ), son siempre con-  jugadas.

(ii)  Dos extensiones simples algebraicas de F , F  (α) y  F  (β ), son conjugadas si, y  s´ olo si, α y β   tienen el mismo polinomio m´ınimo.

Demostraci´ on.  (i) Seg´un la prueba de (ii) del teorema  2.1.12 se tienen los isomor- fismos F (α)

∼

= F (x)

∼

= F (β )  p(α) q (α)

 →

p(x) q (x)

 →

p(β ) q (β ),

y la compuesta de ´estos deja fijo los elementos de F  y env´ıa α en β .

(ii)

 _⇒

): Sean F (α) y F (β ) dos extensiones simples algebraicas conjugadas con polinomios m´ınimos f (x) = a0 + a1x +

· · ·

+ xn y g(x) = b0 + b1x +

· · ·

+ xm. Sea

h : F (α)

_−→

F (β ) el isomorfismo tal que h(a) = a para cada a

_∈

F  y h(α) = β . Se tiene f (α) = a0+a1α +

· · ·

+ αn = 0, luego h(f (α)) = h(0) = a0+a1β +

· · ·

+ β n = 0,

y por el corolario 2.1.13, se tiene que f (x)

_|

g(x). An´alogamente, g(x)

_|

f (x), pero como f (x) y g(x) son m´onicos, entonces f (x) = g(x).

⇐

) : Sean F (α) y F (β ) extensiones simples algebraicas con polinomios m´ınimos iguales de grado n, entonces

F (α) =



n_k=0

−

1 akαk

|

ak

 ∈

F 



y F (β ) =



n_k=0

−

1 akβ k

|

ak

 ∈

F 



.

Definimos

h : F (α)

_−→

F (β ), h(



n_k=0

−

1 akαk) :=



n_k=0

−

1 akβ k;

es f´acil probar que h  es un homomorfismo de anillos; h   es claramente biyectivo; adem´as, h(a) = a para cada a

_∈

F  y tambi´en  h(α) = β .

Las extensiones simples de un cuerpo F , tanto algebraicas como trascendentes, fueron definidas en el contexto de un cuerpo extensi´on L. Queremos ahora mirar a F  como cuerpo independiente y demostrar que existen extensiones algebraicas y trascendentes de F . Estas extensiones son nuevos cuerpos construidos ´unicamente a partir del cuerpo F .

Proposici´on 2.1.16. Sea F   un cuerpo cualquiera. Entonces, existe al menos una  extensi´ on trascendente simple y al menos una extensi´ on algebraica simple de F . Demostraci´ on. El cuerpo F (x) de fracciones de F [x] contiene a F  mediante al inyec- ci´on can´onica ι :  F 

 _−→

F (x), ι(a) := a

1, es decir, podemos considerar que F (x) es

una extensi´on de F . La fracci´on x = x₁ es un elemento trascendente de F (x) respecto de F . En efecto, si a0 + a1x +

· · ·

+ anxn = 0 entonces necesariamente ai = 0, para

cada 0

_≤

i

_≤

n.

Probemos ahora la existencia de extensiones simples algebraicas. Sea f (x) un polinomio irreducible de F  [x] de grado n

_≥

1. Entonces F  [x] /

_

f (x)

_

es un cuerpo. Veamos que L := F  [x] /

_

f (x)

_

 es un cuerpo que contiene a F :

ι : F 

 _−→

L ,  a

_→

a := a +

_

f (x)

_

;

ι es claramente un monomorfismo. Sea α := x = x +

_

f (x)

_

y sea f (x) = a0 + a1x +

· · ·

+anxn, entonces f (x) = a0+a1x+

· · ·

+anxn = 0, luego 0 = a0+ a1α +

· · ·

+ anαn

(considerando F 

_⊂

L), es decir, α   es algebraico sobre F . Sea g(x) el polinomio m´ınimo de α. Entonces, f (x) = q (x)g(x) + r(x), con r(x) = 0 ´o gr(r(x)) < gr(g(x)), resulta f (α) = 0 = q (α)g(α) + r(α) = r(α) = 0, con lo cual r(x) = 0 y de esta manera f (x) = q (x)g(x), pero como f (x) es irreducible entonces q (x) = q 0

 ∈

F 

−{

0

}

.

Se tiene entonces que F (α)

∼

= F  [x] /

_

g(x)

_

= F  [x] /

_

f (x)

_

= L, es decir, L

∼

= F  (α) es una extensi´on simple algebraica de F .

El siguiente resultado establece que dado un cuerpo F  y f (x)

 _∈

F [x] un poli- nomio no constante, existe al menos un cuerpo extensi´on L de F   en el cual f (x) tiene por lo menos una ra´ız.

Corolario 2.1.17 (Kronecker). Sea  F  un cuerpo y sea  f (x)

_∈

F [x] de grado

 _≥

1. Entonces, existe una extensi´ on  L de  F   y un elemento α

_∈

L  tal que f (α) = 0.

Adem´ as [L : F ]

_≤

gr(f (x)).

Demostraci´ on. Si f (x) es irreducible de F  [x], entonces seg´un se vimos en la proposi- ci´on anterior podemos tomar L = F  [x] /

_

f (x)

_

y α = x = x+

_

f (x)

_

. Aqu´ı [L : F ] = gr(f (x)).

Si f (x) es reducible, entonces sea  p(x) uno cualquiera de los factores irreducibles de la descomposici´on de f (x). Nuevamente tomamos L = F  [x] /

_

 p(x)

_

, α = x = x +

_

 p(x)

_

, en este caso [L : F ] = gr( p(x))

_≤

gr(f (x)).

Concluimos esta secci´on con algunos ejemplos ilustrativos.

Ejemplo 2.1.18.  (i) El complejo α = i es algebraico sobre

 R

, su polinomio m´ınimo es x2 _{+ 1, luego}

_C

₌

_R

_{(i) es una extensi´on simple algebraica de}

_R

  _{de grado 2 y}

[

C

:

R

] = 2.

(ii) El real α =

√ 

5

3 es algebraico sobre

 Q

. Determinemos su polinomio m´ınimo f (x) y su grado: se tiene que  α5

₋

3 = 0, luego α  es ra´ız de p(x) = x5

₋

3. Seg´un el corolario 2.1.13 (i), f (x)

_|

 p(x), pero por el criterio de Eisenstein,  p(x) es irreducible sobre

 Q

, por lo tanto f (x) = p(x) y el grado de α  es 5. As´ı pues, [

Q

(

√ 

5

3) :

Q

] = 5. (iii) El complejo α = e2πi5 es algebraico sobre

Q

. En efecto, α5 = e2πi = 1, luego α es ra´ız de p(x) = x5

−

1 = (x

₋

1)(x4 _+ x3 _+ x2 _{+ x + 1). Calculemos su}

polinomio m´ınimo y su grado: el polinomio x4+ x3+ x2+ x +1 es ciclot´omico, luego irreducible sobre

 Q

 (proposici´on 1.4.13), por lo tanto, el polinomio m´ınimo de α es x4 + x3+ x2 + x + 1 y su grado es 4. Se tiene entonces que [

Q

(α) :

Q

] = 4.

Ejemplo 2.1.19.   Para cada uno de los complejos dados a continuaci´on, deter- minemos su polinomio m´ınimo sobre

 Q

 y su grado.

(i) α = 1 +

√ 

2. Tenemos α

₋

1 =

√ 

2, luego α2

−

2α

₋

1 = 0 y de esta manera α es ra´ız de p(x) = x2

₋

2x

₋

1. Si α fuese ra´ız de un polinomio m´onico de menor grado, entonces α ser´ıa racional, por lo tanto p(x) es el polinomio m´ınimo de α. Se tiene entonces que gr(α) = 2 y



Q

(1 +

√ 

2) :

Q



 = 2

(ii) α =

√ 

2 +

√ 

3. Se tiene que α2 = 2 + 2

√ 

6 + 3, con lo cual α2

₋

5 = 2

√ 

6, es decir, α4

−

10α2 _{+ 25 = 24 y por lo tanto, α}4

−

10α2 _{+ 1 = 0. Veamos que el}

polinomio m´ınimo de α es p(x) = x4

−

10x2 _{+ 1. Para esto probemos que p(x) es}

Si p(x) es factorizable sobre

 Q

 entonces puede serlo en 4 factores lineales, ´o en 2 cuadr´aticos, ´o en 1 cuadr´atico y 2 lineales ´o en uno c´ubico y otro lineal. Los casos anteriores se reducen de todos modos a 2 cuadr´aticos, ´o a uno c´ubico y otro lineal.

Caso 1. Dos factores cuadr´aticos:

x4

₋

10x2+1 = (x2+bx+c)(x2+dx+e) = x4+(b+d)x3+(e+bd+c)x2+(be+cd)x+ce, b + d = 0, e + bd + c =

₋

10, be + cd = 0, ce = 1, 1 cb + c(

−

b) = 0

⇒

b

−

bc 2 _{= 0}

⇒

(b = 0, o , c = 1, o, c =

₋

1). b = 0

_⇒

e + c =

₋

10

_⇒

1_c + c =

₋

10

_⇒

1 + c2+ 10c = 0

_⇒

c /

_∈

Q

, falso; b

_

= 0, c = 1

_⇒

e = 1

_⇒

b2 _{= 12, falso;} b

_

= 0, c =

₋

1

_⇒

e =

₋

1

_⇒

b2 _{= 8, falso.}

Caso 2 . Un factor lineal y otro c´ubico. En este caso p(x) tendr´a una ra´ız en

 Q

, y al ser m´onico, tendr´a tambi´en una ra´ız m  en

 Z

, con m

_|

1 (proposici´on 1.4.14), luego m =

_±

1, pero p(

_±

1)

_

= 0.

De lo anterior concluimos que p(x) es irreducible y



Q

(

√ 

2 +

√ 

3) :

Q

)



 = 4. (iii) α = 1+i. Tenemos α

₋

1 = i, de donde α2

−

2α+2 = 0, luego p(x) = x2

−

2x+2 es el polinomio m´ınimo de α ya que es irreducible (criterio de Eisenstein). As´ı pues, [

Q

(i + 1) :

Q

] = 2.

(iv)

 

1 +

√ 

3

2 = α. En este caso tenemos 1+

√ 

3

2 = α2_{, de donde 2 = (α}2

−

1)3 ₌ (α4

−

2α2 _{+ 1)(α}2

−

1) = α6

−

3α4 _{+ 3α}2

−

1. Entonces α es ra´ız de p(x) = x6

−

3x4+3x2

₋

3, el cual, seg´un el criterio de Eisenstein, es irreducible sobre

Q

. Resulta,



_Q

₍

_ 

_{1 +}

√ 

3

2 :

Q

)



 = 6. (v) α =

 

√ 

3

2

₋

1. Elevando al cuadrado encontramos que α2 =

√ 

3

2

₋

1, de donde (α2 _{+ 1)}3 _{= 2 y as´ı α}6 _{+ 3α}4_{+ 3α}2

−

1 = 0.

Probemos que p(x) = x6 + 3x4 + 3x2

₋

1 es irreducible sobre

Q

. p(x) no tiene factores lineales, de lo contrario p(

_±

1) = 0, lo cual es falso. p(x) tiene entonces o dos factores c´ubicos o un factor cuadr´atico y otro de grado 4.

Caso 1. Dos factores c´ubicos. Entonces,

x6 + 3x4+ 3x2

₋

1 = (x3 + ax2 + bx + c)(x3+ a



_x2 _{+ b}

_

_{x + c}

_

_);

a



 + a = 0, b



 _{+ aa}



 _{+ b = 3, c}



 _{+ ab}



 _{+ ba}



 _{+ c = 0, ac}



 _{+ bb}



 _{+ ca}



 _{= 3,}

bc



 _{+ cb}



 _{= 0, cc}



 ₌

₋

_1.

Por la proposici´on 1.4.5 se puede suponer que p(x) tiene la anterior descomposici´on en

 Z

[x], por lo tanto c = 1, c



 ₌

₋

₁

_{⇒ −}

_{b + b}



 _{= 0}

_{⇒ −}

_{a + b}2

−

a = 3 = b

₋

a2_{+ b}

⇒

b2

−

2a = 2b

₋

a2

⇒

b2

−

2a + a2

−

2b = 0

_⇒

(b

₋

1)2_{+ (a}

−

1)2 _{= 2}

⇒

(b

₋

1 = 1, a

₋

1 = 1) o (b

₋

1 = 1, a

₋

1 =

₋

1) o (b

₋

1 =

₋

1, a

₋

1 = 1) o (b

₋

1 =

₋

1, a

₋

1 =

₋

1)

_⇒

b = 2, a = 2

_⇒

2 + 2(

₋

2) + 2 = 3, falso;

bb =  = 22,, aa =  = 00

_⇒⇒

2 + 0 + 2 = 3, falso;2 + 0 + 2 = 3, falso; bb =  = 00,, aa =  = 22

_⇒⇒

0 + 2(0 + 2(

₋₋

2) + 0 = 3, falso;2) + 0 = 3, falso;

bb =  = 00,, aa =  = 00

_⇒⇒

0 + 0 + 0 = 3, falso.0 + 0 + 0 = 3, falso.

Caso 2 

Caso 2 . un factor cuadr´. un factor cuadr´atico y otro de grado 4 (nuevamente enatico y otro de grado 4 (nuevamente en

 Z Z

[[xx]);]); x

x66 + 3+ 3xx44 + 3+ 3xx22

₋₋

1 1 = = ((xx44 ++ axax33 ++ bxbx22++ cxcx + + dd)()(xx22 ++ aa



_{xx + + bb}



_););

a

a



_{++ aa =  = 00,, bb}



_{++ aaaa}



_{+ bb = +  = 33,, abab}



_{+ ba+ba}



_{++ cc =  = 00, , bbbb}



_{++ caca}



_{++ dd =  = 33,, cbcb}



_{++ dada}



 _{=  = 00,, dbdb}



 _= =

₋₋

_1;1;

de la ´

de la ´ultimultima a idenidentidad se tidad se presepresentantan n dos dos opcionesopciones:: dd =  = 11,, bb



 _= =

₋₋

₁₁

_⇒⇒

_aa



 _= = c c

_{⇒⇒ −−}

_{bb + + cc}22_{+ 1 = 3+ 1 = 3}

⇒

⇒

cc22

₋₋

bb =  = 22,,

₋₋

11

₋₋

cc22++ bb =  = 33

_⇒⇒

bb

₋₋

cc22 _{= = 44}

⇒

⇒

2 2 ==

₋₋

4, falso;4, falso; y en la segunda opci´ y en la segunda opci´onon dd = =

₋₋

11,, bb



 _{=  = 11}

_⇒⇒

_aa



 _= = c c

_⇒⇒

_{bb + + cc}22

−

−

1 1 = = 33

_⇒⇒

bb + + cc22 = = 44,, 11

₋₋

cc22 ++ bb =  = 33

_⇒⇒

bb

₋₋

cc22 == 22

_⇒⇒

22bb =  = 66

_⇒⇒

 b b = = 33₂₂, falso., falso.

Todo lo anterior prueba que

Todo lo anterior prueba que pp((xx) es irreducible sobre) es irreducible sobre

ZZ

 y por lo tanto sobre y por lo tanto sobre

QQ

.. Adem´

Adem´as,as,



QQ

((

  

√ √ 

33

22

₋₋

1) 1) ::

QQ



 =  = 6.6. Los ejemplos anteri

Los ejemplos anteriores han ores han permitipermitido do evideevidenciar que nciar que existexisten en en nen n´´umeros reales,umeros reales, no racionales, algebraicos sobre

no racionales, algebraicos sobre

QQ

, por ejemplo,, por ejemplo,

√ √ 

22,,

√ √ 

2 +2 +

√ √ 

33,,

  

√ √ 

33

22

₋₋

1. Quere-1. Quere- mos ahora demostrar un teorema de George Cantor que establece la existencia de mos ahora demostrar un teorema de George Cantor que establece la existencia de n´

n´umeros reales trascendentes sobreumeros reales trascendentes sobre

 Q Q

.. Teorema 2.1.20 (Cantor).

Teorema 2.1.20 (Cantor). Existen n´  Existen n´ umeros reales trascendentes sobre umeros reales trascendentes sobre 

 Q Q

.. Demostraci´ 

Demostraci´ on.on. SeaSea AA el conjunto de los n´ el conjunto de los n´umeros reales que son algebraicos sobreumeros reales que son algebraicos sobre

Q

Q

; se sabe que el anillo; se sabe que el anillo

QQ

[[xx] es enumerable, con lo cual] es enumerable, con lo cual

QQ

[[xx]]

 _− − Q Q

  es   es tatambimbi´´enen enumerable,

enumerable, y as´y as´ı, ı, popodemos demos escribiescribirr

QQ

[[xx]]

₋₋QQ

==

_{{

f f 11((xx)),, f f 22((xx)), . . ., . . .

}}

. Para cada. Para cada n n

≥≥

1,1,

sea

sea BBnn :=:=

 { {

aa

∈∈

RR

||

f f nn((aa) ) = = 00

}}

;; BBnn es finito y por lo tanto enumerable. Puesto que es finito y por lo tanto enumerable. Puesto que

A

A = =



_nn

_≥≥

₁₁BBnn, entonces, entonces A A  es enumerable, y por lo tanto, es enumerable, y por lo tanto,

 R R

 no est´ no est´a contenido ena contenido en A A..

As

As´´ı ı pues, pues, existen reales existen reales que que no no son son algebraicos algebraicos sobresobre

 Q Q

.. Ejemplo 2.1.21.

Ejemplo 2.1.21.  Ejemplos notables de n´ Ejemplos notables de n´umeros reales trascendentes sobreumeros reales trascendentes sobre

 Q Q

sonson ee yy π π. La pruebas cl´. La pruebas cl´asicas asicas de estos de estos hechos son hechos son analanal´´ıticas y ıticas y se pueden se pueden consultar pconsultar poror ejemplo en [

2.

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