círculo
La fórmula, para encontrar la La fórmula, para encontrar la circunferencia
circunferencia
círculo, siempre y cuando círculo, siempre y cuando conozcamos su diámetro conozcamos su diámetro L=πd L=πd Circunferencia Circunferencia Círculo Círculo Circunferencia Circunferencia III.
III. Completa el Completa el siguiente cuasiguiente cuadro DCF, te dro DCF, te permitirá permitirá resolver eresolver el probleml problema planteaa planteado.do.
IV. Lee la siguiente información de forma
IV. Lee la siguiente información de forma individualindividual
Círculo y circunferencia
Círculo y circunferencia
rco
rco Es una Es una
Radio
Radio Es un Es un segmento de recta, que va desde el centro hasta segmento de recta, que va desde el centro hasta
Cuerda
Cuerda Es un segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia. Es un segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia.
(¡Su perímetro ) (¡Su perímetro ):: C C, de cualquier, de cualquier es: es:
Ahora, recordemos algunas fórmulas relacionadas con la c
Ahora, recordemos algunas fórmulas relacionadas con la circunferenciircunferencia y a y el círculo: El perímetro y el círculo: El perímetro y área.área. Para el
Para el está restá relacionado, elacionado, y se y se obtiene obtiene multiplicanmultiplicando eldo el diámetro por éste número.
diámetro por éste número. Es
Es decir: decir: P=P=π x π x diámetro = diámetro = π dπ d
Para el Para el
A= pi por radio al cuadrado = A= pi por radio al cuadrado = ππ r r22
Es importante saber, que estas expresiones pueden utiliza
Es importante saber, que estas expresiones pueden utilizarse así o despejando alguno de sus rse así o despejando alguno de sus elementos, si eselementos, si es que ya nos proporcionan perímetro o área.
que ya nos proporcionan perímetro o área.
Otros elementos que vamos a encontrar en el círculo, es lo que llamamos ángulo central, ángulo inscrito y Otros elementos que vamos a encontrar en el círculo, es lo que llamamos ángulo central, ángulo inscrito y ángulo semi-inscrito. Veamos cuál es cuál en el
ángulo semi-inscrito. Veamos cuál es cuál en el siguiente dibujo.siguiente dibujo.
Regularmente, los ángulos los encontraremos de manera central, y
Regularmente, los ángulos los encontraremos de manera central, y sus medidas las encontramos teniendo ensus medidas las encontramos teniendo en cuenta que una vuelta de todo un ángulo equivale a 360º. De ahí, podemos deducir que la cuarta parte cuenta que una vuelta de todo un ángulo equivale a 360º. De ahí, podemos deducir que la cuarta parte equivale a 90º, la sexta parte a 60º, tercera parte a 120º, etc.
equivale a 90º, la sexta parte a 60º, tercera parte a 120º, etc. Secante Secante Radio Radio Cuerda Cuerda Arco Arco Diámetro Diámetro Tangente Tangente Centra Centrall Inscrito Inscrito Semi-inscrito Semi-inscrito Secante
Secante Es la recta que cruza la circunferencia y por lo tanto la corta en dos puntos. Es la recta que cruza la circunferencia y por lo tanto la corta en dos puntos.
Tangente
Tangente Es la recta que toca a la circunferencia en un sólo punto. Es la recta que toca a la circunferencia en un sólo punto.
perímetro,
perímetro, es es importante importante saber saber que el que el número número
área
En una ciudad se
En una ciudad se está construyendo una planta potabilizadora de agua, que tiene forma está construyendo una planta potabilizadora de agua, que tiene forma circular, para quecircular, para que puedan girar dos brazos y mantengan en movimiento el agua (como
puedan girar dos brazos y mantengan en movimiento el agua (como se ve en la figura). En se ve en la figura). En dicho proyecto,dicho proyecto, hubo una gran
hubo una gran falla en las computadoras y se falla en las computadoras y se perdió la información que se tenía de perdió la información que se tenía de diversas dimensionediversas dimensiones,s, a lo que varios trabajadores sólo recuerdan que el perímetro era de 330 metros, que iban a cercar para a lo que varios trabajadores sólo recuerdan que el perímetro era de 330 metros, que iban a cercar para proteger a la gente de no
proteger a la gente de no caer al depósito.caer al depósito. 1.
1. ¿Qué longitud tendrán los brazos que girarán como manecillas de reloj?¿Qué longitud tendrán los brazos que girarán como manecillas de reloj? Longitud de los brazos.
Longitud de los brazos. Datos
Datos Fórmula Fórmula Sustitución Sustitución ResultadoResultado
2.
2. Se pretende Se pretende conocer la conocer la capacidad del capacidad del depósito, por depósito, por lo que lo que necesitamnecesitamos saber os saber qué qué área tiene área tiene este círculo.este círculo. También se conoce que la profundidad del depósito es de
También se conoce que la profundidad del depósito es de 5 metros.5 metros. Capacidad del depósito.
Capacidad del depósito. Datos
Datos Fórmula Fórmula Sustitución Sustitución ResultadoResultado
3.
3. ¿Cuánto ¿Cuánto medirá medirá el el diámetro diámetro del del depósito?depósito? Diámetro del depósito.
Diámetro del depósito. Datos
Datos Fórmula Fórmula Sustitución Sustitución ResultadoResultado V.
4.
4. ¿Cuánto medirá el perímetro?¿Cuánto medirá el perímetro? Perímetro del depósito. Perímetro del depósito.
Datos
Datos Fórmula Fórmula Sustitución Sustitución ResultadoResultado
1.
1. Calcula el perímetro de un círculo, cuando sabemos que el radio medido es de Calcula el perímetro de un círculo, cuando sabemos que el radio medido es de 15 m.15 m. Datos
Datos Fórmula Fórmula Sustitución Sustitución ResultadoResultado
2.
2. Calcula el área a pintar de la tCalcula el área a pintar de la tercera parte del total este mismo círculo.ercera parte del total este mismo círculo.
Datos
Datos Fórmula Fórmula Sustitución Sustitución ResultadoResultado VI. Intégrate en un equipo de trabajo y comparte tus respuestas y en su caso rectifica. VI. Intégrate en un equipo de trabajo y comparte tus respuestas y en su caso rectifica. VII.
VII. Realiza de manera individRealiza de manera individual los ejercicios de circunferencia y círculo. Al finalizar, inteual los ejercicios de circunferencia y círculo. Al finalizar, intercambia tusrcambia tus resultados con otro compañero para que lo
3.
3. En un círculo de En un círculo de 20 cm de diámetro, se dibuja un 20 cm de diámetro, se dibuja un ángulo central de 30º, ¿cuánto será la longitud delángulo central de 30º, ¿cuánto será la longitud del arco que queda entre los radios?
arco que queda entre los radios? Datos
Datos Fórmula Fórmula Sustitución Sustitución ResultadoResultado
4.
4. El arco comprendido en un círculo, con El arco comprendido en un círculo, con un ángulo central de 60º mide 25 metros. un ángulo central de 60º mide 25 metros. ¿Cuánto medirá su¿Cuánto medirá su circunferencia?
circunferencia? Datos
Datos Fórmula Fórmula Sustitución Sustitución ResultadoResultado
Para seguir aprendiendo, utiliza los siguientes enlaces y
Para seguir aprendiendo, utiliza los siguientes enlaces y códigos QR.códigos QR.
Ejercicios de elementos de la
Ejercicios de elementos de la circunferencia.circunferencia.
https://es.khanacademy.org/math/basic-
https://es.khanacademy.org/math/basic-
geo/basic-geo-are
geo/basic-geo-area-and-perimea-and-perimeter/area-ter/area-
circumference-circle/e/area-and-
circumference-circle/e/area-and-
circumference-of-parts-of-circles
circumference-of-parts-of-circles
Aquí podrás ver vídeos y ejercitar tus Aquí podrás ver vídeos y ejercitar tus conocimientos.
conocimientos.
https://www.youtube.com/watch?v=YEwR2Xkx9Nc
RESULTADO DE APRENDIZAJE
RESULTADO DE APRENDIZAJE
Contenido
Contenido central central
Contenido Contenido específicoespecífico
ActitudesActitudes
Forma, espacio y Forma, espacio y medida.medida.
Criterios de congruencia yCriterios de congruencia y semejanza de triángulos y semejanza de triángulos y otros polígonos
otros polígonos
Se expresa y comunicaSe expresa y comunica correctamente.
correctamente.
Se conoce y respeta a sí mismo.Se conoce y respeta a sí mismo.
Se orienta y actúa a Se orienta y actúa a partir departir de valores.
valores.
Introducción Introducción Las propied
Las propiedades de semades de semejanza de ejanza de los triángullos triángulos os propuestas popropuestas por Tales de r Tales de Mileto,Mileto, explican que dos triángulos de la
explican que dos triángulos de la misma forma pero medidas diferentes guardan unamisma forma pero medidas diferentes guardan una proporcionali
proporcionalidad entre ellos, éste conocimiento que nodad entre ellos, éste conocimiento que nos heredó ha s heredó ha beneficiado a labeneficiado a la humanidad en diferentes áreas, por ejemplo, para realizar maquetas a escala de los humanidad en diferentes áreas, por ejemplo, para realizar maquetas a escala de los edificios antes de su construcción, o dibujar mapas a escala para representar la edificios antes de su construcción, o dibujar mapas a escala para representar la geografía de un lugar, también en el diseño de fractales como se muestra en la geografía de un lugar, también en el diseño de fractales como se muestra en la siguiente figura, o en el dibujo para dar perspectiva a las imágenes, o para siguiente figura, o en el dibujo para dar perspectiva a las imágenes, o para determinar la altura de objetos difíciles de
determinar la altura de objetos difíciles de medir, entre otras aplicaciones.medir, entre otras aplicaciones.
La papiroflexia es un arte que consiste en el doblado del papel sin usar tijeras ni pegamento para obtener La papiroflexia es un arte que consiste en el doblado del papel sin usar tijeras ni pegamento para obtener figuras de varias formas, al doblar el papel se forman líneas rectas las cuales a su vez forman figuras figuras de varias formas, al doblar el papel se forman líneas rectas las cuales a su vez forman figuras geométricas en donde la mayoría corresponde a triángulos de diferentes tamaños y algunos guardan cierta geométricas en donde la mayoría corresponde a triángulos de diferentes tamaños y algunos guardan cierta proporcionali
proporcionalidad como el que se dad como el que se muestra a continuación.muestra a continuación.
A
A
Resuelve problemas que implique aplicar las propiedades de la congruencia y la semejanza en diversos Resuelve problemas que implique aplicar las propiedades de la congruencia y la semejanza en diversos polígonos.
polígonos.
I. I. Atiende Atiende las las indicaciones indicaciones del del docente.docente.
II.
II. Sigue Sigue la la lectura lectura del del contenido contenido que que se se va va a apa aprender.render.
III.
III. Lee Lee la la situación situación de de aprendizajeaprendizaje
10 10 10 10
B
B
CC
Sesión 9 Sesión 9 Tiempo previsto Tiempo previsto 90 minutos 90 minutos1.
1. Observa los triáObserva los triángulos A, B y C que forman al pengulos A, B y C que forman al pez, ¿cuáles son iguales o congruentes?z, ¿cuáles son iguales o congruentes?
2.
2. Observa los triángulObserva los triángulos A, B y C que forman al pez, ¿qué triángulos son semejantes, es decios A, B y C que forman al pez, ¿qué triángulos son semejantes, es decir tiene lar tiene la misma forma, pero distinto
misma forma, pero distinto tamaño?tamaño? a)
a) A A y y C C b) b) B B y y CC 3.
3. ¿Cuál es la razón ¿Cuál es la razón de semejanza entre el triángulo A y de semejanza entre el triángulo A y C?C?
1.
1. Colorear de color azul las figurColorear de color azul las figuras que tiene la misma forma y tamaño (congruentes); coas que tiene la misma forma y tamaño (congruentes); con un colorn un color verde las figuras que tiene la misma forma, pero distinto tamaño (semejantes).
verde las figuras que tiene la misma forma, pero distinto tamaño (semejantes). IV.
IV. Observa la imagObserva la imagen y responde en y responde las preguntas. (La las preguntas. (La respuesta a lrespuesta a la pregunta trea pregunta tres, se irá construyes, se irá construyendondo durante la sesión por lo
durante la sesión por lo que deberás estar atento).que deberás estar atento).
V.
2.
2. Observa lObserva los dos pos dos pentágonos entágonos y contesta y contesta las siguielas siguientes preguntantes preguntas.s.
¿La medida de los lados de ambos
¿La medida de los lados de ambos pentágonos es la misma?pentágonos es la misma? ¿La medida de los ángulos internos de ambos
¿La medida de los ángulos internos de ambos pentágonos es la misma?pentágonos es la misma?
3.
3. Observa los dObserva los dos triángulos y os triángulos y contesta las siguicontesta las siguientes preguntas.entes preguntas.
¿La medida de los lados de ambos
¿La medida de los lados de ambos triángulos es la misma?triángulos es la misma?
¿Los ángulos internos de ambos triángulos cambian al reducir o ¿Los ángulos internos de ambos triángulos cambian al reducir o aumentar su tamaño?
aumentar su tamaño?
La papiroflexia es un arte que
La papiroflexia es un arte que consiste en el doblado del papel sin consiste en el doblado del papel sin usar tijeras ni pegamento para obtenerusar tijeras ni pegamento para obtener figuras de varias formas, al doblar el papel se forman líneas rectas las cuales a su vez forman figuras figuras de varias formas, al doblar el papel se forman líneas rectas las cuales a su vez forman figuras geométricas en donde la mayoría correspondes a triángulos de diferentes tamaños y algunos guardan geométricas en donde la mayoría correspondes a triángulos de diferentes tamaños y algunos guardan cierta proporcionalid
cierta proporcionalidad como el ad como el que se muestra a que se muestra a continuación.continuación.
3.
3. ¿Cuál es ¿Cuál es la rala razón de zón de semejanza esemejanza entre el ntre el triángulo triángulo A y A y C?C?
A
A
VI.
VI. Sigue la eSigue la explicación dxplicación del docente, el docente, se dará se dará respuesta a respuesta a la pregunta la pregunta tres.tres.
10 10 10 10
B
B
CC
A
A
10 10C
C
El lado del triángulo que mide 10 unidades y el que mide 4 unidades es correspondiente y semejante. Entre El lado del triángulo que mide 10 unidades y el que mide 4 unidades es correspondiente y semejante. Entre ambos lados existe una razón de semejanza, la cual se obtiene al dividir el lado más grande entre el más ambos lados existe una razón de semejanza, la cual se obtiene al dividir el lado más grande entre el más pequeño. pequeño. Veamos: Veamos: r= r=1010 4 4 =2.5=2.5
Quiere decir que el triángulo pequeño aumenta en 2.5 veces su tamaño o desde el punto de vista del triángulo Quiere decir que el triángulo pequeño aumenta en 2.5 veces su tamaño o desde el punto de vista del triángulo grande, disminuye en 2.5 veces su tamaño.
grande, disminuye en 2.5 veces su tamaño.
Continuando con el
Continuando con el problema del pez, contesta las problema del pez, contesta las siguientes preguntas incluyendo el procedimientosiguientes preguntas incluyendo el procedimiento de forma ordenada.
de forma ordenada.
¿Cuál es la medida del lado “x”? ¿Cuál es la medida del lado “x”?
¿Cuál es
¿Cuál esla medida del lado “y”?la medida del lado “y”?
Unos estudiantes de la carrera de arquitectura tienen que realizar una maqueta a Unos estudiantes de la carrera de arquitectura tienen que realizar una maqueta a
escala de una pirámide, para lograrlo tienen que determinar la longitud del lado “x”. escala de una pirámide, para lograrlo tienen que determinar la longitud del lado “x”.
50
50 m m 50 50 mm
xx VII.
VII. Resuelve de formResuelve de forma individual a individual la siguiente ala siguiente actividadctividad“Razón de semejanza”.“Razón de semejanza”.
VIII. Intégrate
VIII. Intégrate en un equipo de cinco estudiantes. Contesten la siguienen un equipo de cinco estudiantes. Contesten la siguiente actividadte actividad incluyendo el procedimiento de forma ordenada.
incluyendo el procedimiento de forma ordenada. Al concluir participa en Al concluir participa en la plenariala plenaria para dar a conocer tus
para dar a conocer tus resultados.resultados.
10 10 Se Se semejanza semejanza Se Se de semejanza de semejanza multiplica
multiplica por la razón de por la razón de
divide
a)
a) ¿Los triángulos son congruentes o s¿Los triángulos son congruentes o semejantes?emejantes?
b)
b) ¿Cuál es la razón de ¿Cuál es la razón de semejanza?semejanza?
c)
c)
¿Cuál es la medida del l¿Cuál es la medida del lado “x”?ado “x”?Una persona parada en el Zócalo observa la bandera a las 10 de la mañana y tiene la curiosidad de saber Una persona parada en el Zócalo observa la bandera a las 10 de la mañana y tiene la curiosidad de saber cuánto mide de altura el asta bandera. Los datos con los que cuenta son: La distancia de la sombra del cuánto mide de altura el asta bandera. Los datos con los que cuenta son: La distancia de la sombra del asta bandera, su propia altura y la longitud de
asta bandera, su propia altura y la longitud de su sombrasu sombra
1.
1. ¿Cuál es l¿Cuál es la razón de a razón de semejanza?semejanza?
2.
2. ¿Cuál es la medida del lado “x”, es decir la altura de la ¿Cuál es la medida del lado “x”, es decir la altura de la bandera?bandera?
IX.
IX. Lee el Lee el siguiente probsiguiente problema y lema y contesta las pcontesta las preguntas incluyreguntas incluyendo tu procendo tu procedimiento de edimiento de forma ordenadforma ordenada.a.
1.85 m 1.85 m 20 m 20 m 0.8 m 0.8 m
Para profund
Para profundizar en tu apreizar en tu aprendizaje, ndizaje, ve los videve los videos:os: “Introducción a la semejanza de“Introducción a la semejanza de triángulos” ytriángulos” y “Postulados o criterios para semejanza de
“Postulados o criterios para semejanza de triángulos”, además de resolver los ejercicios “triángulos”, además de resolver los ejercicios “ResuelveResuelve triángulos semejantes avanzado
triángulos semejantes avanzado””, de los siguientes sitios web:, de los siguientes sitios web:
Introducción a la semejanza de triángulos. Introducción a la semejanza de triángulos.
https://es.khanacademy.org/math/eb-3- https://es.khanacademy.org/math/eb-3- secundaria/eb-semejanzas/eb-semejanza-en- secundaria/eb-semejanzas/eb-semejanza-en- triangulos/v/similar-triangle-basics triangulos/v/similar-triangle-basics
Postulados o criterios para semejanza Postulados o criterios para semejanza de triángulos. de triángulos. https://es.khanacademy.org/math/eb-3- https://es.khanacademy.org/math/eb-3- secundaria/eb-semejanzas/eb-semejanza-en- secundaria/eb-semejanzas/eb-semejanza-en- triangulos/v/similarity-postulates triangulos/v/similarity-postulates Resuelve triángulos semejantes avanzado.
Resuelve triángulos semejantes avanzado.
https://es.khanacademy.org/math/algebra- https://es.khanacademy.org/math/algebra- basics/core-alge
basics/core-algebra-geometrybra-geometry/copy-of-triangle-/copy-of-triangle- similarli
RESULTADO DE APRENDIZAJE
RESULTADO DE APRENDIZAJE
Contenido
Contenido central central
Contenido Contenido específicoespecífico
ActitudesActitudes
Forma, espacio y Forma, espacio y medida.medida. Teorema de PitágorasTeorema de Pitágoras
Razones Razones trigonométricatrigonométricass
Se expresa y comunicaSe expresa y comunica correctamente.
correctamente.
Se conoce y respeta a síSe conoce y respeta a sí mismo.
mismo.
Se orienta y actúa a Se orienta y actúa a partir departir de valores.
valores.
El Teorema de Pitágoras se le atribuye a la