El método de propagación de distribuciones se utiliza para determinar la distribución de probabilidad de una magnitud de salida a partir de las distribuciones de probabilidad asignadas a las magnitudes de entrada de la que ésta depende. Este método puede ser analítico o numérico, exacto o aproximado. En este apartado se presenta un enfoque numérico para llevar a cabo los cálculos requeridos como parte de la evaluación de la incertidumbre de la magnitud de salida del patrón. El método de Monte Carlo es un método para la propagación de distribuciones a partir de un muestreo aleatorio de distribuciones de probabilidad.
El método de Monte Carlo (MMC), en general, proporciona una solución práctica para aquellos casos en los que:
° las contribuciones a la incertidumbre no son del mismo orden de magnitud,
° es difícil proporcionar las derivadas parciales del modelo, tal como requiere la ley de propagación de la incertidumbre,
° la función densidad de probabilidad (FDP) de la magnitud de salida no es una distribución normal o una distribución t,
° la estimación de la magnitud y su correspondiente incertidumbre típica asociada son, aproximadamente, de la misma magnitud,
° los modelos son arbitrariamente complicados,
° las FDP de las magnitudes de entrada son asimétricas.
También se puede utilizar el MMC para comprobar que puede aplicarse el enfoque GUM sobre la incertidumbre, es decir, utilizarlo como método de validación de éste (ver ANEXO VII). Sin embargo, el enfoque GUM sobre la incertidumbre sigue siendo la principal opción para evaluar la incertidumbre en circunstancias en que pueda demostrarse su aplicabilidad.
El método GUM utiliza métodos determinísticos de estadística clásica (frecuentista) para la evaluación de incertidumbres tipo A y lleva a cabo la evaluación de incertidumbres tipo B y la combinación de incertidumbres con el método Bayesiano [KAC03][LIR01] de soluciones analíticas. La diferencia básica consiste en que la estadística clásica utiliza solamente la información provista por la muestra, mientras que la estadística Bayesiana permite utilizar adicionalmente el conocimiento subjetivo que se tenga (como aproximaciones con polinomios de Taylor o suponer distribuciones).
El MCM se basa en el muestreo de una distribución simulada en vez de calcular dicha distribución mediante integración. Así es posible aproximar el área bajo la curva que representa la distribución de densidad probabilística posterior para inferencias complejas. El término método de Monte Carlo fue acuñado en 1949 por Stanislaw Marcin Ulam y Nicholas Constantine Metropolis en referencia a los juegos de azar, una atracción popular en Monte Carlo, Mónaco [MET49].
El principio general de la técnica MMC2 consiste en generar M (>100 /(1-p)) valores aleatorios para cada variable de entrada xi, generando así M valores de y a través de la función modelo y así poder calcular la incertidumbre estándar como la desviación estándar de los M valores de y; por último, se evaluaría el intervalo de cobertura a partir de los porcentajes acumulados de la función distribución de probabilidad, seleccionando el valor extremo más bajo yinf y el más alto ysup, definido por (1-p)/2 y (1+p)/2 percentiles donde p es 0,9545, para una probabilidad de 95,45% (2σ de una distribución normal o gaussiana como se recomienda en la guía [GUM95]).
El método adaptativo de Monte Carlo, es una variante del anterior que consiste en repetir h veces el proceso hasta obtener una estabilidad estadística (ver ANEXO VII). Este método proporciona una función de distribución estimada y de la función Y, su incertidumbre asociada uy, los valores extremos yinf e ysup del intervalo de cobertura para Y a una probabilidad establecida (generalmente el 95,45%), de tal forma que cada uno de estos cuatro valores reúnan la precisión esperada tomando como referencia la tolerancia numérica δ requerida. Esta tolerancia representa el número de dígitos decimales significativos de la incertidumbre y está dada por la expresión:
a b l 10 2 1 =
δ
donde l es un entero. La selección de l dependerá del número de dígitos decimales significativos de la incertidumbre de un valor numérico ndig (normalmente 1 o 2). Se dice que un resultado numérico se ha estabilizado cuando el doble de su desviación típica asociada es inferior a la tolerancia numérica asociada a la desviación típica u(y).
De todo lo anterior se desprende que el MMC requiere forzosamente sistemas de cómputo para la generación de números aleatorios o pseudo-aleatorios de las magnitudes de entrada, los cuales pueden requerir en los casos más complicados un número relativamente pequeño de valores (50 o 100, por ejemplo), hasta llegar hasta números mucho mayores (106) cuando se requiere tener un conocimiento completo de la FDP de la magnitud de salida.
Existen gran diversidad de programas científicos y comerciales desarrollados para implementar funciones matemáticas y estadísticas para el análisis de datos en metrología, incluyendo la generación de números aleatorios, gráficos e incluso utilidades del método Monte Carlo, con capacidades de programación, tales como; Matlab, MathCAD, Mathematica, MAPLE, MINITAB, LabVIEW, Microsoft Excel, Lotus, etc.
7.2.2.1 Aplicación a nuestro caso
Debido a que nuestro caso es complejo e implica la resolución numérica de la función modelo, debemos proceder utilizando un número M de iteraciones relativamente pequeño, ya que el tiempo de procesamiento necesario es muy alto (ver ANEXO VII apartado VII.4.1). Por tanto, tomamos inicialmente un valor de M = 100.
Se generan M = 100 valores aleatorios (εi) de cada una de las variables de entrada xi. Para una distribución rectangular, el valor aleatorio εi de xi se obtiene con la ecuación:
( )
ii =a+ b−a r ε
donde a y b son los valores extremos de la distribución rectangular. El valor aleatorio ri entre 0 y 1 se obtiene con la función para generar número aleatorios del programa científico o comercial utilizado.
Figura 7.1. Distribución rectangular
26,5GHz 0 5 10 15 20 25 82.5 4132 8 82.5 8632 1 82.6 3131 3 82.6 7630 5 82.7 2129 7 82.76 629 82.81 128 2 82.8 5627 4 82.9 0126 6 82.9 4625 9 82.9 9125 1
Posteriormente, se relacionan las variables a través de la función modelo y se obtienen
M = 100 valores de y.
Una posible codificación general para obtener los M valores de las N variables de entrada sería de la forma:
Yi=0 FOR i=1 TO M DO FOR j=1 TO N DO rij=funcRANDOM[0,1] εij=aj+(bj-aj)rij yi=f(εij) END Yi = Yi+yi END
siendo yi la programación de la función modelo.
A continuación, se calcula la esperanza matemática de y1…y100 para estimar el valor
de y y la desviación estándar para evaluar la incertidumbre uy. Para ello, se puede ampliar el pequeño ejemplo anterior de programación con las funciones de la esperanza matemática y la desviación estándar o se pueden exportar los M valores yi generados a Excel (o cualquier otro programa de hojas de cálculo) para obtener la FDP, seleccionando el valor extremo más bajo y el más alto con una probabilidad de 95,45%.
El histograma3 obtenido con Excel de los resultados de los 100 valores de y se muestran en la figura 7.2.
Figura 7.2. Histograma obtenido para la frecuencia de 26,5 GHz en el caso en que el nivel
del nitrógeno líquido está en su nivel más bajo permitido
3 Se ha elegido la frecuencia de 26,5 GHz porque es la que produce una mayor temperatura de ruido a la salida del patrón con una mayor incertidumbre (caso peor), además de ser el mismo caso que el estudiado por el método GUM.
Los parámetros finales con los dígitos significativos se resumen a continuación
° La temperatura de ruido a la salida a la frecuencia de 26,5 GHz (mensurando) es de y = 82,77 K.
° La incertidumbre para esa temperatura de ruido es de uy = 0,19 K.
° El límite inferior del intervalo de cobertura es yinf = 82,58 K.
° El límite superior del intervalo de cobertura es ysup = 82,96 K.
Para obtener estos datos se ha hecho uso de la función de Excel =PERCENTIL(DATOS!A1:A100;0.02275) para la obtención del límite inferior del intervalo de cobertura yinf = 82,59 K; de la función =PERCENTIL(DATOS!A1:A100;0.9772
5) para la obtención del límite superior ysup = 82,96 K; de la función
=PROMEDIO(DATOS!A2:A100) para la obtención de la temperatura de ruido y = 82,77 K y la incertidumbre uy = 0,19 K se obtiene restando los límite superior e inferior del intervalo
de cobertura y dividiendo por 2.
Al final de todo el proceso obtenemos la incertidumbre expandida de la magnitud de salida de nuestro patrón de ruido (Ts), quedando por tanto caracterizado el patrón primario de ruido térmico a 26,5 GHz en tecnología coaxial, para el nivel más bajo de nitrógeno líquido4, por los siguientes números :
Temperatura de ruido y su incertidumbre a la salida del patrón Ts= 82,77 K ± 0,19 K @ 26,5 GHz