STANDARDS OF SATISFACTORY PROGRESS
RETURN OF TITLE IV FUNDS
Juan M.R. Parrondo
1/2
2/3
1. Los primeros intervalos pitagóricos. Al dividir la longitud de una cuerda por la mitad se pasa de una nota Do, por ejemplo, al Do de la octava superior. Al disminuir la cuerda hasta 2/3 de su longitud original se pasa del Do al Sol.
INVESTIGACIÓN YCIENCIA, marzo, 2004 89 experimentación con individuos. Sin embargo, una buena
aproximación viene dada por la ecuación:
∆νcrit= 2ν–/11 + 200×e–ν
–/1000
– 105
Plomp y Levelt también cuantificaron la disonancia dentro de la banda crítica. El resultado se muestra en la figura 3, en donde se observa que la diferencia de frecuencias más disonante es un cuarto de la anchura de la banda crítica. De nuevo la curva es puramente experimental, pero se puede aproximar por la función:
d(ν1,ν2) = 4|x|e1 – 4|x|
en donde x = (ν1–ν2)/∆νcrit.
Consideremos ahora dos sonidos compuestos por va- rios armónicos. Tomaremos la fundamental del primer sonido de 250 hertz y variaremos la del segundo en- tre 250 y 500 hertz, es decir, una octava completa. Supondremos que cada sonido está compuesto por la
fundamental y cinco armónicos, todos ellos de igual amplitud. Para calcular la consonancia o disonancia de estos dos sonidos, basta calcular la disonancia en- tre los tonos puros que los forman utilizando la fórmu- la anterior y sumar todas las parejas de tonos puros. El resultado se muestra en la figura 4, en donde tam- bién se representan mediante barras rojas verticales las frecuencias de las siete notas de la escala justa de Do mayor. Estas notas se relacionan con el Do ini- cial mediante los siguientes factores: Do (1), Re (9/8), Mi (5/4), Fa (4/3), Sol (3/2), La (5/3) y Si (15/8). (En realidad, el Do central del piano tiene una frecuencia fundamental de 261,6 Hz, y no de 250 Hz, como se deduce de la gráfica, pero he elegido esta última fre- cuencia para simplificar la exposición). En lugar de la disonancia entre los dos sonidos, he dibujado la con- sonancia, que no es más que la disonancia cambiada de signo. Se puede observar cómo aparecen picos en los intervalos consonantes Do-Mi, Do-Fa, Do-Sol, Do- La, y Do-Do (hay también un sexto pico que coincide con el Mi bemol). El lector puede intentar reproducir la curva de consonancia para otros sonidos, formados por otros armónicos con distintas amplitudes. De he- cho, incluso se puede encontrar una aplicación Java en Internet que dibuja estas gráficas para diferentes instrumentos, así como explicaciones más detalladas del fenómeno. Especialmente recomendable es el libro Mathematics and Music, de Dave Benson, de la Universidad de Georgia, que se puede descargar gra- tuitamente desde su página web.
De todos modos, la teoría de Plomp y Levelt no ex- plica completamente la consonancia y disonancia de in- tervalos. John R. Pierce, autor de otro libro delicioso que también habla de la consonancia, Los Sonidos de la Música (Biblioteca Scientific American), demostró que la consonancia de ciertos sonidos formados por tonos puros que no son armónicos pero que producen un va- lor bajo de disonancia, no es tan “musical” como la con- sonancia de los intervalos consonantes de la escala de Do mayor. La explicación de que el acorde Do-Mi-Sol, por ejemplo, sea tan agradable al oído, se encuentra no sólo en la ausencia de tonos puros disonantes sino también en que las tres notas son armónicos de una misma fundamental: el Do situado dos octavas más abajo.
900 Un tono Banda crítica Tercera menor 800 700 600 500 400 300 200 0 0 1000 2000 Frecuencia media (Hz) Diferencia de frecuencias (Hz) 3000 4000 5000 100 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 0,5
Diferencia de frecuencias/Ancho de banda crítica
Disonancia 1 1,5 0 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 Do 250 300 350 400
Frecuencia de la segunda nota
Consonancia
450 500
Re Mi Fa Sol La Si
2. Anchura de la banda crítica en función de la frecuencia media
de dos notas ν– = (ν1+ν2)/2 y comparada con un intervalo de un
tono (como el de Do a Re) y uno de tercera menor (como el de La a Do).
3. Disonancia de dos tonos puros en función de la diferencia de sus frecuencias dividida por la anchura de la banda crítica.
4. La curva de consonancia para dos notas. La primera es un Do de 250 Hz y la frecuencia de la segunda varía desde 250 hasta 500 Hz a lo largo del eje horizontal de la gráfica. En rojo se señalan las siete notas de la escala de Do mayor.
P
olémicas ideológicas aparte, la teoría de la evolución biológica afianza su solidez y dilata su hori- zonte teórico. Ejemplo de lo prime- ro nos lo ofrece el descubrimiento, hace escasos meses, de un proceso evolutivo en todos los niveles de or- ganización, desde el molecular hasta el poblacional; se trata de la cone- xión entre selección natural y bio- luminiscencia en el escarabajo Pyro-phorus plagiophthalamus. Ejemplo
de lo segundo es el reconocimiento de la influencia, sumada a la géni- ca, de la plasticidad del desarrollo (Developmental Plasticity and Evo-
lution) y la aceptación de la impor-
tancia de los códigos adquiridos en el decurso de la historia de la vida (The Organic Codes. An Introduction
to Semantic Biology). Ha habido
quien ha parangonado la obra de Mary Jane West-Eberhard y la de Marcello Barbieri con los clásicos de la biología.
Sobre la historia del concepto de evolución debemos a la pluma de Peter J. Bowler varios libros que, deshaciendo mitos como el de la im- posición inicial científica del dar- winismo frente a una supuesta reac- ción dogmática o el de la asociación
inmediata entre darwinismo y evo- lucionismo, se han convertido en textos de obligada referencia. Evo-
lution. The History of an Idea llega
ahora a la tercera edición, reno- vada y ampliada. Aunque generoso con los antecedentes, el autor se muestra reacio a cualquier viso de anacronismo y delimita, en su con- texto, la función real de los pre- cursores. Notoria fue, en efecto, la aportación en 1794 de James Hutton, introductor del concepto de selec- ción natural, y la de William Paley en 1803, en cuya Natural Theology se expone, con una nitidez que Dar- win no superaría, la relación entre variabilidad y selección; para re- chazarla, sin embargo. Medio siglo después, Darwin la convertía en el motor de la evolución: “Esta con- servación de las diferencias favora- bles de los individuos y la destruc- ción de las que son perjudiciales es lo que yo he llamado selección na- tural” (Sobre el origen de las espe-
cies mediante la selección natural).
Por su formación eclesiástica, Darwin conocía a Paley. Pero fue el viaje en el H. M. S. Beagle (Fossils,
Finches and Fuegians. Charles Dar- win’s Adventures and Discoveries
on the Beagle, 1832-1836) lo que
le permitió pergeñar su propia te- sis de la transformación de las es- pecies a través de su adaptación a un medio cambiante. Había nacido en 1809 en Shrewsbury, donde su padre ejercía la medicina, carrera que quería para su hijo cuando le envió, en 1826, a la Universidad de Edimburgo. Pero al vástago le atraía más la historia natural, que aprendió de Robert Grant (su men- tor en lamarckismo) y, sobre todo, de Robert Jameson. Tras el fracaso en Edimburgo se trasladó a Cam- bridge en 1828, dispuesto a abrirse un camino en la Iglesia de Inglaterra. Tres años después, por mediación de otro naturalista, John Stevens Henslow, emprendía una de las ex- pediciones más famosas de la his- toria de la ciencia.
“El viaje en el Beagle fue, con mucho, el acontecimiento más im- portante de mi vida, que determinó toda mi carrera”, anotó en su auto- biografía. Bordeó las costas de Amé- rica del Sur, visitó Brasil, Tahití y las islas Galápagos, Nueva Zelan- da, Australia; se adentró en Chile, Patagonia y Tierra del Fuego. Des- cribió cientos de animales y plantas hasta entonces sin clasificar, recu-