En lo que se relaciona con esta investigación y examinando las distintas alternativas observadas en documentos que tratan sobre la semejanza de triángulos (Escudero, 2005; MEN, 1998; textos escolares comprendidos desde el año 2000 al 2007) se ha optado por una secuencia de contenido que considera la organización a partir del concepto de semejanza de triángulos dentro de la relación intrafigural (Cuando las figuras forman parte de configuraciones de Thales, cuando las figuras aparecen como figuras separadas).
La semejanza de triángulos contempla: la definición de la relación de semejanza de triángulos y los teoremas relativos; las aplicaciones en los teoremas sobre triángulos rectángulos y la justificación de algunas construcciones geométricas. Esta temática ha de permitir abordar el proceso de demostración deductiva y además, la organización de las producciones en un Sistema Axiomático Local derivado de la internalización de los significados culturales que inicialmente fueron elaborados como significados personales o socialmente compartidos dentro del Dominio de Abstracción.
Si bien la Secuencia Didáctica no desconoce el compromiso con la programación curricular del grado 9º y la construcción de saberes sobre la semejanza, se focaliza en la construcción de significados culturalmente aceptados acerca de la demostración deductiva geométrica. De otra forma las continuidades y las diferencias en la evolución cognitiva, que se deben observar y controlar durante el desarrollo de la Secuencia Didáctica se podrían velar, y de esta forma, parecer que se privilegia el aspecto curricular sobre el interés de lograr la internalización de la potencia que el método deductivo tiene en la producción y organización de los saberes en juego.
En suma los contenidos curriculares son un telón de fondo sobre el cual se proyecta y circula el proceso deductivo y la organización teórica se desarrolla,
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como ya se mencionó, considerándola una consecuencia de la necesidad de sistematizar, dentro de parámetros formales y de rigor, los resultados del proceso deductivo.
3.4 Conclusión
Se ha hecho a lo largo de este tercer capítulo una presentación de la demostración desde tres puntos de vista, o dimensiones, que interesan a la investigación: Epistemológica, Cognitiva y Didáctica.
En la mirada Epistemológica se ha resaltado el carácter social y cultural del conocimiento matemático desde una perspectiva que sigue una metodología experimental, mediada por TIC, donde la posibilidad de iniciar procesos de experimentación dentro de una disciplina que por su naturaleza epistémica parece vetarlos es el punto crucial. Se destacan en esta Dimensión dos aspectos:
1. Dada la creciente importancia de las herramientas informáticas en las tareas de investigación que hacen tanto los matemáticos como los didactas en matemáticas, se han empezado a dar notables flexibilizaciones en lo concerniente a la formalidad y la rigurosidad como elementos garantes de la validez de las verdades matemáticas. Nuevas formas de abordaje han sido posibles cuando se asume la naturaleza del saber matemático como un producto de la actividad social, contextualizado a una cultura determinada y mediado por ciertas herramientas. Las características y las potencialidades para producir conocimiento matemático que tienen los instrumentos tecnológicos informáticos, los ha colocado en el ambiente escolar con la posibilidad de hacerlos socios cognitivos del estudiante en la solución de problemas por la vía de la experimentación, la visualización y el dinamismo de las representaciones. Se trata de un saber matemático que surge de un proceso afín a como sucede en la génesis del saber científico.
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2. Este trabajo, al asumir una posición socio-cultural dentro de una perspectiva experimental, se propone seguir el camino: explorar, conjeturar, verificar o refutar, demostrar; en el dominio de la geometría euclidiana asistida por la mediación semiótica de las herramientas específicas de CABRI: Medida y Arrastre.
De otra parte, en la Dimensión Cognitiva se ha revisado la problemática asociada con las trabas que pueden impedir el progreso del estudiante en la estructuración de un pensamiento matemático ligado por un lado, con la comprensión de la verdadera estructura de una demostración y por otro lado, el reconocimiento de la justa importancia de desarrollar estructuras mentales que le permitan abordar y trabajar en situaciones de validación en forma similar a como lo hace el experto. La invitación al estudiante es a hacerse conciente de las dificultades y de los obstáculos asociados con la demostración, particularmente los asociados con la demostración deductiva en la geometría euclidiana. Por ello, en este trabajo de investigación se presta atención a dos aspectos:
1. La consideración de los obstáculos y errores en el diseño didáctico de actividades de pruebas matemáticas (en especial la demostración geométrica en un AGD) para proponer estrategias que posiblemente disminuyan su impacto. 2. La invitación al estudiante a realizar un trabajo específico de crítica y control en situaciones de demostración deductiva geométrica, siendo conciente de los obstáculos con los que se puede encontrar y los errores que puede cometer en la construcción de pruebas pertinentes y necesarias.
Con respecto a la Dimensión Didáctica se ha realizado una mirada a la forma cómo circula en el currículo nacional e internacional la idea de demostración; su contexto, el de la geometría euclidiana, y la forma como se le gradúa a lo largo de la escolaridad. Con respecto a lo anterior, se tiene que:
1. La concepción de demostración que circula en el currículo de matemáticas escolar colombiano, conforme a los lineamientos curriculares de matemáticas emanados del MEN (1998) dejan ver claramente que ésta es concebida como un proceso, con una propuesta general bajo la denominación de el razonamiento que
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abarca la educación básica obligatoria y trasciende a la educación media con las exigencias propias de rigor y formalismo.
2. A nivel internacional, las pruebas TIMSS (1995) y a nivel interno MEN (1997), han revelado la situación crítica en la formación matemática de los estudiantes colombianos; particularmente en el razonamiento matemático. En cuanto al interés por priorizar sus desempeños en estos asuntos, hay urgencia en que algunos agentes educativos colombianos (docentes e investigadores) se preocupen por ofrecer a los estudiantes aspectos fundamentales de la misma que no están siendo cultivados. Ello es una razón importante para considerar el diseño de una propuesta didáctica que promueva el desarrollo de las habilidades cognitivas y las expectativas de desempeño de los estudiantes.
3. La presencia del razonamiento a lo largo de la escolaridad está propuesto en cada uno de los distintos pensamientos matemáticos como un eje de la actividad a través de un proceso progresivo, de lo empírico a lo teórico y de lo perceptual a lo formal.
3. Finalmente, con respecto a la demostración deductiva, no se vislumbra un interés particular por ingresarla como un método sistemático para la validación del saber geométrico, más bien lo que se deja entrever es una especie de ejemplificación del método deductivo a través de dos contenidos curriculares centrales: los teoremas de Thales y de Pitágoras. Por tanto, la propuesta de la Secuencia Didáctica entra a resolver lo fundamental de esta deficiencia: internalizar en los estudiantes el significado cultural de la demostración deductiva, su incidencia en la construcción de nuevos saberes y en la sistematización de los mismos.
Así, las posibilidades de un tratamiento didáctico que: a) promueva la actividad experimental de exploración, de formulación, de refutación y la actividad racional de validación, de demostración y sistematización; b) favorezca la interacción dentro de un contexto socio-cultural; c) permita el uso de recursos tecnológicos; d) dé espacio a la identificación y previsión de las dificultades y mire
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las continuidades y las diferencias vinculadas con la construcción de significado cultural; se convierten en el asunto focal que permite avanzar finalmente desde estas perspectivas a la concepción, al análisis, al diseño y a la propuesta de una Secuencia Didáctica sobre la demostración deductiva geométrica (ver Figura 3).
Dimensión Epistemológica: En una Perspectiva Experimental de las matemáticas Dimensión Cognitiva: Consideración de los Obstáculos y Errores vinculados con la demostración deductiva Dimensión Didáctica: la Demostración como Proceso Secuencia Didáctica: Demostración Deductiva Geométrica Campo de Limitaciones: Estudiantes de grado noveno con prerrequisitos teóricos y
una relativa familiaridad con el AGD CABRI
géomètre II Plus.
Figura 3. Perspectivas desde las cuales se concibe la Secuencia Didáctica. La demostración deductiva geométrica es asumida como un proceso cognitivo que enmarcado en un contexto socio- cultural favorece una concepción experimental de las matemáticas; su puesta en un medio organizado permite la mediación semiótica de instrumentos para la emergencia de significados culturalmente aceptados acerca de ella.
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CAPÍTULO IV
EL DISPOSITIVO EXPERIMENTAL
Presentación
De cara al objetivo central, proponer diseños y realizar el análisis de situaciones didácticas en matemáticas donde los estudiantes exteriorizan el uso de razonamiento deductivo para satisfacer la demanda cognitiva de justificar o de demostrar sus propias afirmaciones; se considera esta Secuencia Didáctica
como el resultado del trabajo de investigación. Se muestran aquí los criterios
de diseño derivados del marco teórico y la manera cómo han encontrado una instanciación efectiva en su elaboración.
El contenido de este capítulo está relacionado con la concepción, el diseño y el análisis de la Secuencia Didáctica, en los siguientes asuntos:
1. Exposición de la metodología basada en una micro ingeniería; desde el punto de vista del análisis, en las dos primeras fases: los análisis preliminares y el análisis a priori; desde el punto de vista del diseño, fundamentada en algunos conceptos de la TSD y que han sido ajustados para el caso. La forma como las situaciones (de acción, formulación, validación, institucionalización) se insertan y se articulan con la perspectivas provistas por el marco teórico es un aspecto relevante que se plasma a lo largo de su diseño.
2. Presentación de los criterios para su diseño como consecuencias directas del marco teórico.
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3. Descripción de dos niveles de administración, uno general y uno particular: (a) El nivel general dependiente de la constitución de los procesos de aprendizaje y enseñanza elaborados desde la UC (con miras a la ejecución de los procesos explorar, conjeturar, refutar, validar, demostrar), con el concurso de los recursos de la TMS y las herramientas provenientes de las elaboraciones teóricas de Duval y de la TSD. Se trata de la construcción de la Secuencia Didáctica (cf. Anexo A). (b) El nivel particular derivado de los cuestionamientos singulares y del análisis detallado de los mecanismos vinculados a los procesos de validación y de mediación semiótica que se espera se den; por un lado, en el trabajo de los estudiantes y, por otro, en el momento de la participación del profesor en las discusiones ocurridas en clase y con miras a la sistematización de las producciones hechas por ellos. Se trata del análisis a priori de la Secuencia Didáctica (cf. Anexo B).
4. Presentación general de su estructura con arreglo a ciertas elecciones y a ciertos puntos de vista: la progresión del contenido geométrico, la evolución cognitiva y la organización del trabajo, la articulación de los componentes del marco teórico.