En el año 1965, A. Robinson dio a conocer el método de demostración (y de refutación) conocido con el nombre de resolución. La resolución es un proce-
dimiento de demostración sistemático que permite ser mecanizado con relati- va simplicidad.
5.1.1. Una única regla: la regla de resolución
Ejemplo de aplicación de la regla de resolución
Si aplicamos la regla de resolución, de las disjunciones ¬P ∨ Q y ¬Q ∨ S, obten- dremos la disjunción ¬P ∨ S; y de las disjunciones P ∨ ¬Q ∨ R y ¬Q ∨ ¬R ∨ S obtendremos la disjunción P ∨ ¬Q ∨ S ∨ ¬Q, que es equivalente (se puede sim- plificar) a P ∨¬Q ∨ S. Consideremos, sin embargo, el siguiente par de casos particulares.
a) Primer caso
En este caso, A y ¬A se consideran disjunciones de un único disjuntando. Los dos disjuntandos se aniquilan mútuamente y el resultado es una contradicción.
El método de resolución utiliza una única regla: la regla de resolución.
El método recibe el nombre de esta regla.
La regla afirma que si se tiene una disyunción que contiene un enunciado A, y también se tiene otra disyunción que contiene la negación de este enunciado A, entonces es lícito obtener una disyunción que contiene todos los disyuntandos de las dos anteriores, excepto la pareja A y ¬A por- que se aniquilan mutuamente.
A ¬A ¨ A B∨ A ¬ ∨C B C∨ ---
5. Resolución
5.1. Introducción al método de resolución
En el año 1965, A. Robinson dio a conocer el método de demostración (y de refutación) conocido con el nombre de resolución. La resolución es un proce-
dimiento de demostración sistemático que permite ser mecanizado con relati- va simplicidad.
5.1.1. Una única regla: la regla de resolución
Ejemplo de aplicación de la regla de resolución
Si aplicamos la regla de resolución, de las disjunciones ¬P ∨ Q y ¬Q ∨ S, obten- dremos la disjunción ¬P ∨ S; y de las disjunciones P ∨ ¬Q ∨ R y ¬Q ∨ ¬R ∨ S obtendremos la disjunción P ∨ ¬Q ∨ S ∨ ¬Q, que es equivalente (se puede sim- plificar) a P ∨¬Q ∨ S. Consideremos, sin embargo, el siguiente par de casos particulares.
a) Primer caso
En este caso, A y ¬A se consideran disjunciones de un único disjuntando. Los dos disjuntandos se aniquilan mútuamente y el resultado es una contradicción.
El método de resolución utiliza una única regla: la regla de resolución.
El método recibe el nombre de esta regla.
La regla afirma que si se tiene una disyunción que contiene un enunciado A, y también se tiene otra disyunción que contiene la negación de este enunciado A, entonces es lícito obtener una disyunción que contiene todos los disyuntandos de las dos anteriores, excepto la pareja A y ¬A por- que se aniquilan mutuamente.
A ¬A ¨ A B∨ A ¬ ∨C B C∨ ---
b) Segundo caso
Si hay más de una pareja de disjuntandos que pueden aniquilarse mútumente, sólo uno de ellos desaparece y los demás permanecen en la disjunción resul- tante. Así, pues, el razonamiento siguiente es totalmente incorrecto.
Lo correcto es lo siguiente:
Y dado que siempre se puede obtener un teorema (principio de libre in- clusión), aplicaciones de una regla como ésta no sirven de nada y hay que evi- tarlas.
Cuando dos cláusulas C1 y C2 se resuelven entre ellas y dan lugar a la resolven- te C3 este hecho se representa de la manera siguiente:
A ∨ B A ∨ B ¬A ∨ ¬B o, equivalentemente, ¬A ∨ ¬B ¨ ¨ A ∨ B ¬A ∨ ¬B ¨ A ∨ B ¬A ∨ ¬B n
En el contexto del método de resolución es bastante habitual utilizar la palabra cláusula en lugar de la palabra disyunción. A cada uno de los
disyuntandos de una cláusula se le denomina literal.
Cuando la regla de resolución se aplica a dos cláusulas se dice que éstas se resuelven entre ellas. Resolver una cláusula contra otra significa aplicarles la regla de resolución. A la cláusula resultante se le denomina resolvente.
Cuando dos cláusulas uniliterales como A y ¬A se resuelven una contra otra, la resolvente (o) no contiene ningún literal. Por esta razón, con frecuencia ose denomina cláusula vacía.
Recordad que...
... el símbolo ¨ representa una contradicción y el símbolo n representa un teorema.
Otros símbolos
En algunos textos, veréis que otambién se representa con los símbolos [ ], ⊥ y [⊥].
C1 C2
C3
b) Segundo caso
Si hay más de una pareja de disjuntandos que pueden aniquilarse mútumente, sólo uno de ellos desaparece y los demás permanecen en la disjunción resul- tante. Así, pues, el razonamiento siguiente es totalmente incorrecto.
Lo correcto es lo siguiente:
Y dado que siempre se puede obtener un teorema (principio de libre in- clusión), aplicaciones de una regla como ésta no sirven de nada y hay que evi- tarlas.
Cuando dos cláusulas C1 y C2 se resuelven entre ellas y dan lugar a la resolven- te C3 este hecho se representa de la manera siguiente:
A ∨ B A ∨ B ¬A ∨ ¬B o, equivalentemente, ¬A ∨ ¬B ¨ ¨ A ∨ B ¬A ∨ ¬B ¨ A ∨ B ¬A ∨ ¬B n
En el contexto del método de resolución es bastante habitual utilizar la palabra cláusula en lugar de la palabra disyunción. A cada uno de los
disyuntandos de una cláusula se le denomina literal.
Cuando la regla de resolución se aplica a dos cláusulas se dice que éstas se resuelven entre ellas. Resolver una cláusula contra otra significa aplicarles la regla de resolución. A la cláusula resultante se le denomina resolvente.
Cuando dos cláusulas uniliterales como A y ¬A se resuelven una contra otra, la resolvente (o) no contiene ningún literal. Por esta razón, con frecuencia ose denomina cláusula vacía.
Recordad que...
... el símbolo ¨ representa una contradicción y el símbolo n representa un teorema.
Otros símbolos
En algunos textos, veréis que otambién se representa con los símbolos [ ], ⊥ y [⊥].
C1 C2
Podría parecer que una única regla no es suficiente para suplir las reglas básicas de la deducción natural. Aunque este hecho no se demostrará, la regla de re- solución puede suplir todas las otras reglas de la deducción natural.
5.1.2. Una única estrategia: la reducción al absurdo
5.1.3. Sólo disyunciones: utilización de la forma normal conjuntiva
La regla de resolución sólo se aplica a disyunciones. Para superar esta limitación, el método de resolución exige construir la FNC de todas las premisas y de la ne- gación de la conclusión. Una vez hecho esto, las conjunciones se deben eliminar.