1.5 _1.5 _.25 .25 FIGURA 8 1.5 _1.5 _6.5 6.5
F0.1, 0.1G por F0.1, 0.1G, podemos ver mucho más claramente la forma de estas protuberancia en la figura 9. La razón de este comportamiento es que el segundo término,
1
100cos 100x, es muy pequeño en comparación con el primer término, sen x. Así que en realidad necesitamos dos gráficas para ver la verdadera naturaleza de esta función. EJEMPLO 6 Dibuje la gráfica de la función y 1
1 x.
SOLUCIÓN La figura 10a) muestra la gráfica generada por una calculadora graficadora con un rectángulo de vista de F9, 9G por F9, 9G. En la conexión de puntos sucesivos de la gráfica, la calculadora produce un segmento de recta con inclinación de la parte superior a la parte inferior de la pantalla. Este segmento de recta no es realmente parte de la gráfica. Observe que el dominio de la función y m 1Y(1 x) es Hx U x o 1J. Podemos eliminar la extraña recta casi vertical experimentando con un cambio de escala. Cuando cambiamos al rectángulo de vista más pequeño F4.7, 4.7G por F4.7, 4.7G, para esta calculadora en particular, obtenemos la mucho mejor gráfica de la figura 10b).
FIGURA 9 0.1 _0.1 _0.1 0.1 D E 9 _9 _9 9 4.7 _4.7 _4.7 4.7 FIGURA 10 FIGURA 11 2 _2 _3 3 FIGURA 12 2 _2 _3 3
EJEMPLO 7 Grafique la función y s3x.
SOLUCIÓN Algunos dispositivos de graficación muestran la gráfica que se muestra en la figura 11, mientras que otras producen una gráfica como la de la figura 12. Sabemos de la sección 1.2 (figura 13) que la gráfica de la figura 12 es correcta, así que, ¿qué sucedió en la figura 11? La explicación es que algunas máquinas calculan la raíz cúbica de x mediante un logaritmo, que no está definido si x es negativo, por lo que sólo se produce la mitad derecha de la gráfica.
Usted debe experimentar con su propia máquina para ver cuál de estas dos gráficas se produce. Si se obtiene la gráfica de la figura 11, puede obtener la imagen correcta al trazar la gráfica de la función
f x x
x x
1 3
Note que esta función es igual a s3
x (excepto cuando x m 0). Otra forma de evitar la extraña recta es cambiar
el modo de representación gráfica de la calculadora, para que los puntos no estén conectados.
Puede obtener la gráfica correcta con Maple si primero escribe
Para entender cómo la expresión de una función se relaciona con su gráfica, es útil graficar una familia de funciones, es decir, un conjunto de funciones cuyas ecuaciones están relacionadas. En el siguiente ejemplo graficamos miembros de una familia de poli- nomios cúbicos.
v
EJEMPLO 8 Grafique la función y m x3cx para varios valores del número c. ¿Cómo cambia la gráfica cuando c varía?SOLUCIÓN La figura 13 muestra las gráficas de y m x3cx para c m 2, 1, 0, 1 y 2. Vemos que, para valores positivos de c, la gráfica crece de izquierda a derecha, sin puntos máximos o mínimos (picos o valles). Cuando c m 0, la curva es plana en el origen. Cuando c es negativa, la curva tiene un punto máximo y un punto mínimo. Cuando c disminuye, el punto máximo se hace más alto, y el mínimo, más bajo.
a) Y¡X b) Y¡X c) Y¡ d) Y¡X e) Y¡X
FIGURA 13
Varios miembros de la familia de funciones Y¡CX, graficadas en el rectángulo de vista F?G por F?G 0.7, 0.8SRU0.7, 0.8 HVFDOD[=0.01 F 0, 1SRU0, 1 HVFDOD[=0.1 E _5, 5SRU_1.5, 1.5 HVFDOD[=1 D 0.8 0.7 0.8 y=x 1 0 1 y=x 1.5 _1.5 _5 5 y=x y=FRV x FIGURA 14 /RFDOL]DFLyQGHODV UDtFHVGHFRV x=x y=FRV x y=FRV x
EJEMPLO 9 Encuentre la solución de la ecuación cos x m x con una aproximación de dos decimales.
SOLUCIÓN Las soluciones de la ecuación cos x m x son las coordenadas x de los puntos de intersección de las curvas y m cos x, y m x. De la figura 14a) vemos que sólo hay una solución y se encuentra que entre 0 y 1. Acercando el rectángulo de vista a F0, 1G
por F0, 1G, podemos ver en la figura 14b) que la raíz se encuentra entre 0.7 y 0.8. Así que nos acercamos más con el rectángulo de vista F0.7, 0.8G por F0.7, 0.8G en la figura 14c). Al mover el cursor hasta el punto de intersección de las dos curvas, o mediante la inspección y el hecho de que la escala en el eje x es de 0.01, vemos que la solución de la ecuación es de 0.74. (Muchas calculadoras tienen una característica intersección incorporada.)
TEC en Visual 1.4 puede usted ver una animación de la figura 13.
1.4
Ejercicios
1. Utilice una calculadora graficadora o equipo de cómputo para determinar cuáles de los rectángulos de vista dados produce la gráfica más adecuada de la función f x sx3 5x2. a) F5, 5G por F5, 5G b) F0, 10G por F0, 2G
c) F0, 10G por F0, 10G
2. Utilice una calculadora graficadora o equipo de cómputo para determinar cuáles de los rectángulos de vista dados produce la gráfica más adecuada de la función f (x) mx 4 16x 2 20.
a) F3, 3G por F3, 3G b) F10, 10G por F10, 10G
c) F50, 50G por F50, 50G d) F5, 5G por F50, 50G
3-14 Determine un rectángulo de vista apropiado para las funciones dadas y utilícelo para trazar la gráfica:
. 4 . 3 . 6 . 5 7. 8. 9. 10. . 2 1 . 1 1 . 4 1 . 3
1 y 10 sen x sen 100x y x2 0.02 sen 50x
f x sec 20 x f x sensx f x cos 0.001x f x sen21000x f x x x2 100 f x x3 225x f x s15x x2 f x s50 0.2x f x x3 15x2 65x f x x2 36x 32
15. a) Ensaye para encontrar un rectángulo de vista apropiado para
f (x) m (x 10)3 2x.
b) ¿Necesita más de un rectángulo de vista? ¿Por qué?
16. Grafique la función f x x2
s30 x en un rectángulo de vista apropiado. ¿Qué parte de la gráfica parece perderse?
17. Grafique la elipse 4x2 2y2m 1 graficando las funciones cuyos
gráficas son las mitades superior e inferior de la elipse.
18. Grafique la hipérbola y29x2m 1 graficando las funciones
cuyos gráficos son las ramas superior e inferior de la hipérbola. 19-20 ¿Las gráficas se intersectan en el rectángulo de vista dado? Si
lo hacen, ¿cuántos puntos de intersección hay?
19. , ; 20. y 6 4x x2, y 3x 18; 6, 2 por 5, 20 1, 3 por 2.5, 1.5 y 0.23x 2.25 y 3x2 6x 1
21-23 Encuentre todas las soluciones de cada una de las siguientes ecuaciones con una aproximación de dos decimales.
. 2 2 . 1 2 23. tanx s1 x2 sx x3 1 x4 x 1
24. Vimos en el ejemplo 9 que la ecuación cos xmx tiene exactamente una solución.
a) Utilice una gráfica para mostrar que la ecuación cos xm 0.3x tiene tres soluciones y encuentre sus valores con una aproximación de dos decimales.
b) Encuentre un valor aproximado de m tal que la ecuación cos
x mmx tenga exactamente dos soluciones.
25. Utilice gráficas para determinar cuál de las funciones f (x) m 10x2
y J(x) mx3Y10 es finalmente más grande (es decir, cuando x es
muy grande).
26. Utilice gráficas para determinar cuál de la funciones
f (x) mx 4 100x3 y J(x) mx3 es finalmente más grande.
27. ¿Para qué valores de x es cierto que U tan xxU 0.01 y )Y2 x)Y2?
28. Grafique los polinomios P(x) m 3x55x32x y Q(x) m 3x5
en la misma pantalla, utilizando primero el rectángulo de vista de F2, 2G por F2, 2G y, a continuación, cambiándolo a
F10, 10G por F10 000, 10 000G. ¿Qué observa en estas gráficas?
29. En este ejercicio consideramos la familia de funciones raíz
f x sn
x, donde n es un entero positivo. a) Grafique las funciones y sx y s4
x
, y y s6 x en la misma pantalla usando el rectángulo de vista F1, 4G por
F1, 3G.
b) Grafique las funciones y x y s3 x
, y y s5 x en la misma pantalla usando el rectángulo de vista F3, 3G por
F2, 2G. (Véase el ejemplo 7.)
c) Grafique las funciones y sx y, s3x y, s4x y y s5x
en la misma pantalla usando el rectángulo de vista F1, 3G
por F1, 2G.
d) ¿Qué conclusiones puede usted obtener de estas gráficas?
30. En este ejercicio consideramos la familia de funciones
f (x) m 1Yx n, donde n es un entero positivo.
a) Grafique las funciones ym 1Yx, ym 1Yx3 en la misma
pantalla utilizando el rectángulo de vista F3, 3G por
F3, 3G.
b) Grafique las funciones ym 1Yx 2 y ym 1Yx 4 en la misma
pantalla utilizando el mismo rectángulo de vista que en el inciso a).
c) Grafique todas las funciones de los incisos a) y b) en la misma pantalla utilizando el rectángulo de vista F1, 3G
por F1, 3G.
d) ¿Qué conclusiones puede obtener de estas gráficas?
31. Grafique la función f (x) mx 4cx 2x para varios valores de
c. ¿Cómo cambia la gráfica cuando cambia c?
32. Grafique la función f x s1 cx2 para varios valores de c.
Describa cómo afectan la gráfica los cambios en c.
La función f (x) m 2x se llama una función exponencial porque la variable, x, es el expo- nente. No debe confundirse con la J(x) de la función potencia J(x) m x2, en la que la varia- ble está en la base.
En general, una función exponencial es una de la forma f x ax
donde a es una constante positiva. Recordemos el significado de esto. Si x m n, donde n es un entero positivo, entonces
nfactores
an a a a
Si x m 0, entonces a0m 1, y si x mn, donde n es un entero positivo, entonces
a n 1
an
Si x es un número racional, x m pYq, donde p y q son números enteros y q 0, entonces ax
ap q q
sap
(
qsa
)
pPero, ¿cuál es el significado de ax si x es un número irracional? Por ejemplo, ¿qué signi- fica 2s3
o 5P?
Para ayudarnos a responder esta pregunta, examinemos la gráfica de la función y m 2x, donde x es racional. Una representación de esta gráfica se muestra en la figura 1. Quere- mos ampliar el dominio de y m 2x para incluir tanto los números racionales como los irracionales.
33. Grafique la función y mxn 2x, xw 0, para n m 1,2,3,4,5 y 6.
¿Cómo cambia la gráfica cuando n aumenta?
34. Las curvas con ecuaciones
y
x
sc x2
se llaman curvas nariz de bala. Grafique algunas de estas curvas para saber por qué. ¿Qué pasa cuando c aumenta?
35. ¿Qué pasa con la gráfica de la ecuación y2 cx3 x2 cuando
c varía?
36. Este ejercicio explora el efecto de la función J en el interior de una función compuesta y f t x .
a) Grafique la función y sen(sx
)
utilizando el rectángulo de vista [0, 400] por [1.5, 1.5]. ¿De qué manera esta gráfica difiere de la gráfica de la función seno?b) Grafique la función y m sen(x2), utilizando el rectángulo de
vista [5, 5] por [1.5, 1.5] ¿De qué manera esta gráfica difiere de la gráfica de la función seno?
37. La figura muestra las gráficas de y m sen 96x y y m sen 2x
como se muestra en la calculadora graficadora TI-83. La primera gráfica es inexacta. Explique por qué las dos gráficas parecen idénticas.
[Sugerencia: la ventana de graficación de la TI-83 es de 95 pixeles de ancho. ¿Qué puntos específicos grafica la calculadora?]
y=VHQ 96x
0 2π
y=VHQ 2x
0 2π
38. La primera gráfica que aparece en la figura es la de
y m sen 45x como la muestra una TI-83. Es inexacta y, por eso, para ayudar a explicar su aspecto en la segunda gráfica, se traza la curva de nuevo con el modo de puntos. ¿Cuál de las dos curvas senoidales parece estar graficando? Muestre que cada punto sobre la gráfica de ym sen 45x que eligió graficar la TI-83 está, de hecho, sobre una de estas curvas. (La TI-83 grafica en ventanas de 95 píxeles de ancho.)
1.5
Funciones exponenciales
En el apéndice G hay un enfoque alternativo a las funciones exponenciales y logarítmicas mediante cálculo Integral.
FIGURA 1