Chapter 2 Literature Survey on Traceability 24
2.2 Traceability Approaches to Capture Trace Relations 33
2.2.5 Rule Based Approaches 40
El juego del oro de la sección anterior es reemplazado por el juego de la autocracia. En este caso dependiendo de la decisión de cooperar o no en la primera etapa, se tiene las siguientes situaciones:
4.3.1. Cooperación:
Las élites maximizan su utilidad:
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Debe quedar claro, que el acuerdo puede ser roto unilateralmente mientras que el equilibrioEA, sólo puede ser implementado si los dos grupos de élites escogen mantener su compromiso.
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Se supone que sólo existe un tipo de armas a precio 1 y que tales armas son compradas en el mercado exterior, razón por la cuál ningún agente dentro de la sociedad recibe un ingreso por su fabricación o comercialización. Este supuesto es necesario para mantener la consistencia bajo el marco de equilibrio general, pero es creíble.
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Se puede observar el gráfico de esta función de probabilidad y una justificación de la forma funcional en el apéndice (11.1).
us =ya,s+yn,s
sujeto a:ya,s+yn,s≤(πs+x)/ns−ωs, si mantienen el poder. Dónde,Ps∈{o,e}nsωs = Ωs. Es decir, ωs es la contribución de cada miembro de la élite s al total de poder
bélico Ωs. En cambio, si la revolución triunfa, las élites son expropiadas totalmente y
no tienen ningún ingreso. Luego, los pagos para cada miembro de la élites bajo cada estado ξ∈ {A, R}, dónde A es el triunfo de las élites y R es el triunfo revolucionario, son:
VsA = (πs+x)/ns−ωs
VsR = 0.
Sin embargo, si cooperan se tiene que ωs = ω−s y se soluciona el problema de
manera conjunta, de tal manera que:
VA
s =
X
s∈{o,e}
πs+ 2x−Ωs.
Entonces, la utilidad esperada de la élite en su conjunto bajo cooperación puede escribir como: E(Vs,cop) =ρ[ X s∈{o,e} πs+ 2x−Ωs] (12) con ρ = Ωs CR
l +Ωs. En este caso, las élites deciden de manera cooperativa el gasto
en poder bélico para enfrentar las actividades revolucionarias, tomando como dado el nivel de gasto en armas de los trabajadores. 38
Se asume implícitamente, que cada élite s puede solucionar, en su interior el prob- lema común de manera óptima, razón por la cuál siempre hay completa cooperación dentro de las élites. Este supuesto no es trivial, pero en la presente investigación nos enfocamos en la cooperación entre élites heterogéneas en sus intereses económicos. Se puede justificar este supuesto ya que las élites tienen redes sociales con mayor densidad, con mecanismos de control más eficientes entre ellos que pueden eliminar la presencia de un polizón; también es importante la homogeneidad en preferencias, una identidad común y relaciones familiares que incrementan la confianza y comunicación entre ellos.
La función de reacción de las élites bajo cooperación:
La función de reacción de las élites se obtiene de la maximización de (12) respecto aωs:
m´ax ωs≥0
E(Vs,cop).
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Cabe notar que según el plantemiento del juego el acuerdo de cooperación implica que las élites gananπsy noπ∗s, este acuerdo es el único tipo de cooperación que puede funcionar. En el apéndice,
se analiza porqué un acuerdo con la configuraciónEM y cooperación entre élites no es favorable para los terratenientes y no se puede implementar.
Se obtiene la condiciones de primer orden de Kuhn-Tucker y se despeja Ωs, dado que
hay completa cooperación no es necesario ninguna manipulación adicional.39La función
de reacción (solución interior) para la élite en su conjunto bajo cooperación es:
Ωs,cop(ClR) =
q
CR
l (¯πe+ ¯πo+ClR+ 2x)−ClR (13)
Cabe notar, que bajo cooperación la función de reacción de la élite en su conjunto no depende del tamaño poblacional de la élite y es creciente en sus beneficios. Esta función es cuasicóncava.40
4.3.2. No Cooperación:
Si en la primera etapa las élites deciden no cooperar, las élites maximizan su utili- dad:
us =ya,s+yn,s
sujeto a: ya,s+yn,s ≤ (πs∗ +y)/ns− ωs, con y = x−cx, si mantienen el poder.
En cambio, si la revolución triunfa, las élites son expropiadas totalmente. Entonces los pagos para un miembro de la élites bajo cada estado ξ∈ {A, R}, son:
VsA= (π∗s+y)/ns−ωs,
VsR = 0.
Entonces, la utilidad esperada de un miembro la élite s, bajo no cooperación se puede escribir como:
E(Vs,nc) = (π∗s+y)/ns−ωs (14)
con ρ= nsws+n−sω−s
CR
l+nsws+n−sω−s. En este caso, cada miembro de la élites toma como dada
la contribución total de los miembros de la otra élite (n−sω−s), y el gasto en armas de
los trabajadoresCR l .41
La función de reacción de las élites bajo no cooperación:
La función de reacción de las élites se obtiene de la maximización de (14) respecto aωs:
m´ax ωs≥0
E(Vs,nc).
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La derivación paso a paso, se presenta en el anexo técnico A1, desarrollado en el software Mathe- matica.
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Cuándo la restricción de no negatividad es activa, se tiene otra soluciónΩs= 0, conωs= 0. Pero,
en este trabajo el interés está en la solución interior. Se puede argumentar, que esta solución no es un equilibrio estable ya los trabajadores con cualquier monto de gasto en actividades revolucionarias ganan el poder conρ= 1.
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Se recuerda que y=x−cx,dónde cx es el costo de combatir entre élites o el monto de recurso
Se obtiene la condiciones de primer orden de Kuhn-Tucker para cada élite y luego se obtiene el equilibrio de Nash, para el juego de provisión conjunta deΩssin cooperación.
La función de reacción de los terratenientes es:
ωo(ωe, ClR) = p n2 oClR(−cx+ClR+neωe+π∗o+x)−no ClR+neωe n2 o . (15) Cuándo no existe cooperación el gasto en poder bélico de los terratenientes es influenciado por el gasto de los empresarios, el segundo término de la parte derecha muestra el efecto del polizón. Es decir, que los terratenientes tratan de aprovecharse del gasto en actividades contrarrevolucionarias de los empresarios ya que sus beneficios no son excluibles. Lo mismo ocurre con los empresarios, y su función de reacción es:
ωe(ωo, ClR) = p n2 eClR(−cx+ClR+πe∗+noωo+x)−ne ClR+noωo n2 e . (16) En este caso, se debe encontrar el equilibrio de Nash, para determinar la función de reacción de las élites en su conjunto.42 Las ecuaciones (15) y (16) forman un sistema
con solución unica en R+. La función de reacción de la élite en su conjunto bajo no
cooperación es: Ωs(ClR) = −ClR+ √ 2 4 s CR l q CR l (8 (2(x−cx) +πe∗+πo∗) + 9ClR) + 4 (2(x−cx) +πe∗+πo∗) + 5ClR . (17) Bajo, no cooperación la función de reacción de las élites en su conjunto es indepen- diente del tamaño población de las élites. Esta función es cuasicóncava.