Mediante el uso de la hip´otesis fenomenol´ogica η ∼ 1/d propuesta en la Sec. 6.3, se pueden graficar los resultados correspondientes a la Fig. 6.13 en un gr´afico h vs. ∼ d. ´Este se expone en la Fig. 6.14 para el caso correspondiente a la termalizaci´on con campo Hx = 0,2. Si bien no
se extienden sobre un rango lo suficientemente amplio como para discernir entre un decaimiento exponencial [38, 45] o una ley de potencia [47], muestra que el modelo es capaz de reproducir el comportamiento cualitativo correspondiente a aumentar el espesor de la l´amina. Hay que aclarar que en esta hip´otesis no se considera el efecto del aumento del n´umero promedio de vecinos debido al aumento del espesor, lo que producir´ıa anchos de faja m´as grandes debido al incremento de la
98 Cap´ıtulo 6. Diagrama de fases a temperatura finita 6.5 7 7.5 8 8.5 9
η
6 8 10 12 14 16 18 20h
S TR VPTCTerm. con campo, Hx=1 Term. con campo, Hx=0.5 Term. con campo, Hx=0.2
Figura 6.13: Variaci´on del ancho de fajas con η simulado mediante termalizaci´on con campo magn´etico sobre una red L= 144 para distintos campos magn´eticos iniciales, Hx = 0,2; 0,5; 1 con
r = 10−5, t
e = 105 y tm = 104. Los puntos representan el promedio sobre varias realizaciones, las
barras de error corresponden a la desviaci´on cuadr´atica media.Se agrega a modo de comparaci´on los resultados obtenidos mediante la aplicaci´on de un VPTC en η con tasar= 10−5.
contribuci´on de intercambio.
Otra aplicaci´on de esta hip´otesis consiste en la simulaci´on de l´aminas de espesor variable, muy utilizadas en los trabajos experimentales. Estas muestras presentan grandes facilidades a la hora de medir y son ampliamente utilizadas en los trabajos experimentales. En particular, resultan de gran utilidad para estudiar las propiedades de la l´aminas en funci´on del espesor. Haciendo uso de este hecho, simulamos cu˜nas con nuestro modelo monocapa. Se elige el ejexcomo eje de crecimiento del espesor (disminuci´on de la anisotrop´ıa). Para visualizar mejor los patrones se generaliza el sistema cuadrado a uno rectangular de dimensiones Lx ×Ly. Como no encontramos una forma de bajo
costo computacional para evitar los efectos de borde en estas muestras, utilizamos condiciones de contorno peri´odicas. Por lo tanto, el eje x presenta un salto en el valor de η. Inspeccionando visualmente las configuraciones obtenidas, no se observa alteraci´on en los dominios que est´an a una distancia de 10 par´ametros de red de los bordes. El protocolo de simulaci´on utilizado es el de termalizaci´on con campo magn´etico en el plano aplicado en la direcci´on x.
La configuraci´on de espines se puede observar discriminada por componente en escala de grises en la Fig. 6.15 para dos sistemas de dimensiones Lx = 360, Ly = 180 a temperatura T = 1,0. Los
par´ametros de termalizaci´on son: r = 10−5, t
e = 105. En (a) se asume un crecimiento lineal del
espesor, ´este es de la formad=ax+bcond−1(1) = 6 yd−1(360) = 9. Para valores dexgrandes, la
l´amina es gruesa, la interacci´on dipolar domina la muestra y los espines se ordenan ferromagn´eti- camente en el plano, esto se aprecia en el color blanco de la componente Sx. Es evidente el lugar
donde se produce la reorientaci´on, que puede distinguirse tanto en la componente perpendicular del esp´ın como en las paredes que se ven en la componente Sx. El valor de la anisotrop´ıa sobre la reorientaci´on es η= 6,75, en coincidencia con el diagrama de fases. Sobre las regiones m´as del-
6.4. Variaci´on del ancho de fajas 99 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16
d
6 8 10 12 14 16 18 20h
Figura 6.14: Dependencia del ancho de faja con el espesor de la l´amina calculado por medio de la hip´otesis fenomenol´ogica d ∼ 1/η. Los resultados corresponden a una simulaci´on a tama˜no
L= 144 termalizada con campoHx = 0,2 con r= 10−5, te= 105 y tm = 104.
gadas de la l´amina se observan m´ultiples dislocaciones que tienen como consecuencia el aumento del ancho de fajas. Este tipo de patrones es com´un en las cu˜nas experimentales [38, 42] y se le ha dado el nombre de “fingering” o “branching” por obvias razones. Un ojo perspicaz podr´ıa observar diferencias en los anchos de pared entre la regi´on delgada y la reorientaci´on y de como las paredes de los dominios son m´as estables a espesores delgados. Al igual que en el caso de l´aminas con anisotrop´ıa constante, se observa curvatura de las paredes. En(b)se simula una cu˜na compuesta por tres escalones tal como se muestra en la figura. Sobre la l´ınea η = 6−7 irrumpen las fajas que sufren algunas dislocaciones hasta alcanzar η = 8. A esto valores de anisotrop´ıa se observan metaestabilidades debido a que son necesarios m´as pasos de Monte Carlo para termalizar. Notar el corte abrupto en la transici´on de reorientaci´on, hecho que se asemeja a las primeras im´agenes de cu˜nas [5]. Esto es un indicio de que en las primeras experiencias con cu˜nas el control del espesor no estaba tan desarrollado como en la actualidad. En(c)se exhibe el ancho de fajas en funci´on de la anisotrop´ıa para una cu˜na simulada con los mismos par´ametros pero sobre una red de tama˜no
Lx = 400 y Ly = 160. El ancho de fajas se calcula mediante la Ec. (6.5) aplicado sobre los Ly
sitios correspondientes a cada valor dex o, equivalentemente,η. Para la gr´afica se toma 1 de cada 10 puntos.
En estas im´agenes se aprecia la estrecha relaci´on existente entre el espesor de la l´amina y la temperatura. En l´aminas de alta anisotrop´ıa que no presentan reorientaci´on, algunos grupos expe- rimentales trabajan con una temperatura efectiva. ´Esta se define de la forma:τ = (T−Tc(d))/Tc(d)
[21]. Seg´un esta definici´on la temperatura efectiva se puede modificar de dos formas: variando la temperatura del experimento o variando el espesor de la l´amina. El uso de la temperatura efec- tiva en lugar de la temperatura real, trae grandes ventajas a la hora de medir ya que cambiar la temperatura de medici´on es equivalente a desplazar el detector un par de micr´ometros sobre una cu˜na. En este trabajo, la regi´on de anisotrop´ıas altas que no presentan reorientaci´on son dif´ıciles de simular. Sin embargo, en nuestro modelo esta propiedad es observada reemplazando la temperatura de Curie Tc(d) por la temperatura de reorientaci´on TSRT(d).
100 Cap´ıtulo 6. Diagrama de fases a temperatura finita 6.8 7.2 7.6 8
η
8 10 12 14 16h
c
η∼ 1 d d∼xa
b
Sz Sy Sx 1 0 −1Figura 6.15: Configuraci´on de fajas en cu˜nas a temperatura T = 1 con r = 10−5, t
e = 105 y
Hx = 0,5. (a) cu˜na de crecimiento lineal, η(x = 1) = 6 y η(x = 360) = 9. (b) cu˜na con tres
escalones. (c) ancho de faja en funci´on de η en una cu˜na de crecimiento lineal con los mismos par´ametros de simulaci´on para un sistema de tama˜no Lx = 400 y Ly = 160. En l´ınea de trazos:
ajuste de una ley de potencia sobre los puntos graficados con el cual se estima la posici´on de las transiciones entre fajas en el diagrama de fases de Fig. 6.16.
6.4. Variaci´on del ancho de fajas 101 0 1 2 3 4
T
6 6.5 7 7.5 8 8.5η
Ising
Ferromagneto
Planar
Paramagneto
7 8 9Canted
11 13 15 17 18Figura 6.16: Variaci´on del ancho de fajas en el diagrama de fases (T, η) paraδ= 6. (×) transiciones entre fajas obtenidas de la minimizaci´on de la energ´ıa; (△) transici´on aproximada entre fajas de acuerdo a un ajuste realizado sobre la curva Hx = 0,2 de Fig. 6.13; (◦) transici´on aproximada
entre fajas seg´un un ajuste obtenido para una cu˜na simulada sobre una redLx = 400,Ly = 160 a
temperatura T = 1 con par´ametros de simulaci´on: Hx = 0,5, r= 10−5, te = 105 (ver Fig. 6.15 ).
Hemos visto para varios algoritmos como el ancho de fajas var´ıa seg´un la temperatura o la anisotrop´ıa. Cabe preguntarse ahora cu´al es el comportamiento de las l´ıneas de transici´on entre distintos anchos de fajas en el diagrama de fases (T, η). Debido a las dificultades de las simulaciones, no podemos dar una respuesta definitiva a esta pregunta, pero si podemos usar los resultados expuestos para arrojar algo de luz sobre el problema.
Del ajuste de la Fig. 6.15 Cse obtienen los valores de anisotrop´ıa a los cuales se producen las transiciones entre fajas de distinto espesor a temperaturaT = 1. Por otro lado, ajustando la curva correspondiente a Hx = 0,2 en la Fig. 6.13 con una ley de potencia, se puede calcular la posici´on
aproximada de las transiciones entre distintos anchos de faja a temperatura T = 0,5. Con esto m´as la informaci´on disponible del c´alculo a temperatura cero, graficamos las l´ıneas de transici´on entre fajas de distinto ancho de manera aproximada (ver Fig. 6.16). Estos resultados dan una idea de como es el aspecto de las l´ıneas de transici´on entre estados de fajas canted en el diagrama de fases a δ= 6.