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En [9] y [13] se mostr´o que existe una dualidad entre homomorfismos de semi- rret´ıculos distributivos y ciertas relaciones binarias llamadas∧-relaciones. Es sabido que losDS-espacios con∧-relaciones forman una categor´ıa. Ahora, estudiaremos la representaci´on para los homomorfismos de semirret´ıculos distributivos con operado- res mon´otonos.

Sea S⊆X1×X2 una relaci´on binaria. Consideremos la aplicaci´onhS: P(X2)→

P(X1) definida por

hS(U) = {x∈X1 :S(x)⊆U}.

[9] Una ∧-relaci´on entre dos DS-espacioshX1,T1i y hX2,T2i es un subconjunto

S ⊆X1×X2 que satisface las siguientes condiciones:

1. Para cada U ∈D(X2),hS(U)∈D(X1), y

2. S(x) =T

{U ∈D(X2) :S(x)⊆U} para todox∈X1.

Si S es una ∧-relaci´on, entonces hS: D(X2) → D(X1) es un homomorfismo de

semirret´ıculos.

Por otro lado, sean A y B dos semirret´ıculos distributivos. Sea h: A → B un homomorfismo. La relaci´on binariaSh ⊆X(B)×X(A) definida por

(P, Q)∈Sh sii h−1[P]⊆Q es una ∧-relaci´on, donde h−1[P] ={a∈A:h(a)∈P}.

Definici´on 2.5.6. Sean hX1,T1, R1i y hX2,T2, R2i dos DS-espacios mon´otonos.

Consideremos una ∧-relaci´on S ⊆ X1 × X2. Decimos que S es una ∧-relaci´on

mon´otona si para todo x∈X1 y para cada U ∈D(X2) se satisface:

Uc∈R2[S(x)] sii S−1[Uc]∈R1(x). (2.5)

2.5 Dualidad topol´ogica Semirret´ıculos con operadores mon´otonos

Observaci´on 2.5.7. Notemos que si S ⊆ X1 ×X2 es una ∧-relaci´on entre dos

DS-espacios hX1,T1i y hX2,T2i, entonces S−1[Uc] = hS(U)c ∈ S(X1) para cada

U ∈D(X2).

La definici´on de ∧-relaci´on mon´otona es una generalizaci´on de la definici´on de morfismo acotado para marcos de entornos (ver [6] o [31]). Profundizaremos sobre esta noci´on en el cap´ıtulo 4.

Proposici´on 2.5.8. La condici´on (2.5) es equivalente a la condici´on

hS(mR2(U)) =mR1(hS(U)),

para todo U ∈D(X2), es decir, la aplicaci´on hS: D(X2)→D(X1) es un homomor-

fismo de semirret´ıculos con un operador mon´otono.

Demostraci´on. ⇒) Supongamos que para todo x ∈ X1 y para cada U ∈ D(X2)

tenemos que Uc ∈ R2[S(x)] ⇔ S−1[Uc] ∈ R1(x). Sea x ∈ hS(mR2(U)), es decir,

S(x)⊆mR2(U). Entonces, para todo y∈S(x) tenemos que y∈mR2(U). As´ı, para

todo y ∈ S(x) y para todo Z ∈ R2(y) tenemos Z ∩U 6= ∅. Entonces, para todo

y ∈S(x), Uc ∈/ R2(y). Luego, Uc ∈/ R2[S(x)]. Por hip´otesis, S−1[Uc]∈/ R1(x). Por

lo tanto,x∈mR1(S

−1_[Uc_]c_{) =m}

R1(hS(U)). La otra inclusi´on se obtiene revirtiendo

las implicaciones.

⇐) Supongamos que hS es un homomorfismo. Sea Uc ∈ R2[S(x)]. Entonces,

existe y ∈ S(x) tal que Uc ∈ R2(y). As´ı, y /∈ mR2(U). Luego, S(x) * mR2(U), es

decir, x /∈ hS(mR2(U)). Por hip´otesis, x /∈ mR1(hS(U)), es decir, existe Z ∈ R1(x)

tal que Z∩hS(U) =∅. Tenemos que Z ⊆hS(U)c y como hS(U)c ∈ S(X) tenemos que S−1[Uc] =hS(U)c∈R1(x). La otra implicaci´on se obtiene de forma similar.

Ahora, estudiaremos la composici´on de ∧-relaciones mon´otonas. SeanX1, X2 y

X3 tres conjuntos. Consideremos dos relaciones S1 ⊆ X1 ×X2 y S2 ⊆ X2 ×X3.

Entonces, la composici´on de S1 y S2 es la relaci´onS2◦S1 ⊆X1×X3 definida por

S2◦S1 ={(x, z)∈X1×X3 :∃y∈X2 [(x, y)∈S1 y (y, z)∈S2]}.

Proposici´on 2.5.9. Sean hX1,T1, R1i, hX2,T2, R2iy hX3,T3, R3i tresDS-espacios

mon´otonos. Consideremos dos ∧-relaciones mon´otonas S1 ⊆X1×X2 y S2 ⊆X2×

X3. Entonces, S3 =S2◦S1 ⊆X1×X3 es una ∧-relaci´on mon´otona.

Demostraci´on. Se sigue de que hS3(U) = hS2◦S1(U) = hS1 ◦hS2(U) para todo

2.5 Dualidad topol´ogica Semirret´ıculos con operadores mon´otonos

Proposici´on 2.5.10. Sea hX,T, Ri un DS-espacio mon´otono. El orden de espe- cializaci´on dual ≤⊆X×X es una ∧-relaci´on mon´otona.

Demostraci´on. ⇒) Sea U ∈ D(X) y supongamos que Uc _{∈ R([x)). Entonces,} existey ≥xtal queUc_{∈R(y) y comoR(y)⊆R(x), tenemos queU}c _{∈R(x). Como}

Uc _{es un subconjunto decreciente, ≤}−1 _[Uc_{] =U}c_.

La otra implicaci´on es trivial.

As´ı, los DS-espacios mon´otonos con las ∧-relaciones mon´otonas forman una categor´ıa donde la flecha identidad es el orden dual de especializaci´on. Denotaremos a esta categor´ıa como MT SR.

Proposici´on 2.5.11. Sean hA, mAi, hB, mBi ∈ MDS.

1. Seah: A→B un homomorfismo de semirret´ıculos con un operador mon´otono. Entonces, la ∧-relaci´on Sh ⊆X(B)×X(A) satisface la condici´on (2.5).

2. Sea h: A → B un homomorfismo y supongamos que la ∧-relaci´on Sh ⊆

X(B)×X(A) satisface la condici´on (2.5). Entonces, h es un homomorfismo de semirret´ıculos con un operador mon´otono.

Demostraci´on. 1. Supongamos queh es un homomorfismo de semirret´ıculos con un operador mon´otono. As´ı, es f´acil ver que hSh(βA(a)) = βB(h(a)) para todo

a∈A. Entonces, tenemos

hSh(mRm_AβA(a)) =hSh(βA(mAa)) =βB(h(mAa))

=βB(mBh(a)) =mRm_B(βB(h(a)))

=mRm_B(hSh(βA(a)))

para todoa ∈A.

2. Supongamos queh es un homomorfismo y queSh satisface la condici´on (2.5). Entonces, hSh(βA(a)) = βB(h(a)) para todo a∈A. As´ı, tenemos

βB(h(mAa)) =hSh(βA(mAa)) =hSh(mRm_AβA(a))

=mRm_B(hSh(βA(a))) =mRm_B(βB(h(a)))

=βB(mBh(a))

y como βB es una funci´on inyectiva, obtenemos que h(mAa) = mBh(a) para todo

2.5 Dualidad topol´ogica Semirret´ıculos con operadores mon´otonos

En resumen, en este cap´ıtulo definimos dos categor´ıas:

MDSH = semirret´ıculos distributivos + homomorfismos con un operador mon´otono

MT SR = DS-espacios mon´otonos + ∧-relaciones mon´otonas

Del Teorema 2.5.3 y la Proposici´on 2.5.8, concluimos que el funtor_D:MT SR → MDSH definido por

1. _D(X) =hD(X), mRi si hX,T, Ri es un DS-espacio mon´otono, 2. _D(S) =hS si S es una ∧-relaci´on mon´otona

es un funtor contravariante.

Por el Teorema 2.4.14, el Corolario 2.4.15 y la Proposici´on 2.5.11, concluimos que el funtor _X:MDSH → MT SRdefinido por

1. _X(A) = hX(A);TA, Rmi si hA, mi es un semirret´ıculo distributivo con un operador mon´otono,

2. _X(h) =Shsihes un homomorfismo de semirret´ıculos con un operador mon´otono es un funtor contravariante. Por lo tanto, damos el siguiente resultado.

Corolario 2.5.12. Las categor´ıas MDSH y MT SR son dualmente equivalentes.

Demostraci´on. Los isomorfismos naturales que prueban la equivalencia de categor´ıas son las asignaciones β y H tales que para toda ´algebra A ∈ MDS, la aplicaci´on βA: A → D(X(A)) es un isomorfismo entre semirret´ıculos distribu-

tivos con un operador mon´otono y para todo DS-espacio mon´otono, la aplicaci´on

HX: X→X(D(X)) es un isomorfismo de DS-espacios mon´otonos. En los cap´ıtulos siguientes veremos algunas aplicaciones de la dualidad topol´ogica y la equivalencia categorial.

Cap´ıtulo 3

Aplicaciones de la dualidad

En este cap´ıtulo consideraremos algunas aplicaciones de la dualidad desarrollada en el cap´ıtulo anterior.

Primero, utilizaremos la conexi´on de los espacios topol´ogicos duales a los semi- rret´ıculos distributivos con las extensiones can´onicas y probaremos que la validez de algunas f´ormulas espec´ıficas se conserva en las extensiones can´onicas o en las extensiones can´onicas duales. Para ello, por cada f´ormula estudiaremos condiciones adicionales que deben cumplir las relaciones que representan a cada operador.

Tambi´en estudiaremos los semirret´ıculos distributivos modales, es decir, con un operador que cumple las mismas condiciones que un homomorfismo de semir- ret´ıculos. Mostraremos c´omo conectar la relaci´on asociada al operador con la ∧- relaci´on dual.

Luego, consideraremos algunas variedades importantes que tienen reductos de semirret´ıculo distributivo y mostraremos c´omo nuestra nueva dualidad se relaciona con algunas de las ya existentes en la literatura, como por ejemplo [8], [22] y [58].

Por ´ultimo, mostraremos algunos ejemplos de espacios duales.

Parte de lo expuesto en este cap´ıtulo se encuentra publicado recientemente en el art´ıculo [15].