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El activo libre de riesgo cumple la función de permitir la construcción de portafolios con intercambio lineal entre rentabilidad y riesgo.

La incorporación de un activo libre de riesgo presenta la posibilidad de que existan carteras acreedoras, que están formadas por préstamos adicionales a la inversión original.

En el Mercado, la cartera juega un papel importante ya que al ser combinada con la cantidad deseada de endeudamiento o de préstamos libre de riesgos

Los inversionistas como las personas físicas no pueden tomar préstamos a la tasa de libre de riesgo, en cambio las grandes instituciones en su calidad de personas morales si pueden tomar tasas muy cercanas a la tasa libre de riesgo.

La fórmula para calcular carteras apalancadas de dos activos riesgosos con el activo libre de riesgo es la siguiente:

La fórmula que se presenta a continuación es la proporción de la inversión en el active libre de riesgo es negativa, ya que los prestamos que se adquieren a la tasa libre de riesgo se invierten en la cartera riesgosa.

Con:

A continuación de muestra la fórmula del riesgo definida en el apartado anterior:

Ejemplo 1.

Consideramos la situación en el cual el inversionista toma prestamos a la tasa 6% e invierte los fondos prestados más el capital original en la cartera de riesgo “O”.

Tabla de parámetros. Concepto F O (P6) Rendimiento 0.06 0.1885 Esperado Riesgo 0 0.0857 Esperado

El tomar el préstamo a la tasa libre de riesgo ( para invertirlo en una cartera riesgosa, no solamente aumenta el rendimiento esperado, si no también aumenta el riesgo, esto es debido al uso de los prestamos o apalancamientos.

En la tabla siguiente se mostraran los portafolios acreedores integrados por el activo libre de riesgo y el portafolio óptimo riesgoso:

Riesgo-rendimiento de los portafolios acreedores integrados por el activo libre de riesgo y el portafolio óptimo riesgoso. Portafolio WF WO Riesgo Rendimiento

( (

PO4 -0.4 1.4 0.12 0.2399

PO5 -0.6 1.6 0.1371 0.2656

PO6 -0.8 1.8 0.1543 0.2913

La grafica que se muestra a continuación es el resultado de pedir préstamos a la tasa libre de riesgo ( con el fin de invertir dichos fondos en el portafolio óptimo (O) asimismo se muestra la cartera apalancada “S”; obsérvese que la cartera “S” se encuentra sobre la línea recta de “F” extendida después de “O”. En consecuencia todas las carteras apalancadas caerán sobre la línea, con la posibilidad de crear carteras con rendimientos esperados más altos incrementándose lógicamente el riesgo de las mismas.

Existe solo una cartera riesgosa que no se encuentra dominada; es la cartera “O”, como consecuencia todos los inversionistas decidirán conservar esta cartera, algunos inversionistas invertirán una parte de sus fondos en “O” y otra en “F”. Otros inversionistas más osados, tomaran fondos a la tasa de y los invertirán en “O” junto con su valor original.

Sin embargo todos los inversionistas que mantengan cualquier cantidad de sus fondos en activos riesgosos colocaran dichos fondos en la cartera “O”, de lo contario estarán eligiendo una cartera dominada, los inversionistas buscan rendimientos esperados mayores y desean el menor riesgo, cualquier inversión que no sea de la cartera “O” será irracional.

Ejemplo 2.

Consideramos la situación en el cual el inversionista toma prestamos a la tasa 6 % e invierte los fondos prestados mas capital original en la cartera de riesgo “O”.

Tabla de parámetros. Concepto F O (P3) Rendimiento 0.06 0.3681 Esperado Riesgo 0 0.1218 Esperado

La siguiente tabla muestra las diferentes carteras con su respectivos rendimientos y riesgos esperados, estos se calcularon utilizando las formulas desarrolladas anteriormente.

El tomar el préstamo a para invertirlo en una cartera riesgosa, no solamente aumenta el rendimiento esperado, si no también aumenta el riesgo, esto es debido al uso de los préstamos o apalancamientos.

A continuación se mostrara a detalle la tabla anterior, la cual se desglosa la cartera optima (Wo), indicando la proporción al invertir en la acción “C” y “E”.

Riesgo-rendimiento de los portafolios acreedores integrados por el activo libre de riesgo y el portafolio óptimo riesgoso. Portafolio WF WO Riesgo Rendimiento

( (

PO4 -0.4 1.4 0.1705 0.4913

PO5 -0.6 1.6 0.1949 0.553

PO6 -0.8 1.8 0.2192 0.6146

La grafica que se muestra a continuación es el resultado de pedir préstamos a con el fin de invertir en “O” y también la cartera apalancada, “T”, obsérvese que la cartera “T” se encuentra sobre la línea recta de “F” extendida después de “O”. En consecuencia todas las carteras apalancadas caerán sobre la línea, con la posibilidad de crear con carteras con rendimientos esperados altísimos.

Ejemplo 3.

Consideramos la situación en el cual el inversionista toma prestamos a la tasa 6 % e invierte los fondos prestados mas capital original en la cartera de riesgo “O”.

Tabla de parámetros. Concepto F O (P1) Rendimiento 0.06 1.1099 Esperado Riesgo 0 0.5695 Esperado

El tomar el préstamo a para invertirlo en una cartera riesgosa, no solamente aumenta el rendimiento esperado, si no también aumenta el riesgo, esto es debido al uso de los préstamos o apalancamientos.

A continuación se mostrara a detalle la tabla anterior, la cual se desglosa la cartera optima (Wo), indicando la proporción al invertir en la acción “E” y “M”.

La siguiente tabla muestra las diferentes carteras con su respectivos rendimientos y riesgos esperados, estos se calcularon utilizando las formulas desarrolladas anteriormente.

Riesgo-rendimiento de los portafolios acreedores integrados por el activo libre de riesgo y el portafolio óptimo riesgoso.

Portafolio WF WO Riesgo Rendimiento

( (

PO4 -0.4 1.4 0.7973 1.5299

PO5 -0.6 1.6 0.9112 1.7398

PO6 -0.8 1.8 1.0251 1.9498

La gráfica que se muestra a continuación es el resultado de pedir préstamos a con el fin de invertir en “O” y también la cartera apalancada, “U”, obsérvese que la cartera “U” se encuentra sobre la línea recta de “F” extendida después de “O”. En consecuencia todas las carteras apalancadas caerán sobre la línea, con la posibilidad de crear con carteras con rendimientos esperados altísimos.

Ejemplo 4.

Consideramos la situación en el cual el inversionista toma prestamos a la tasa 6 % e invierte los fondos prestados mas capital original en la cartera de riesgo “O”.

Tabla de parámetros. Concepto F O (P1) Rendimiento Esperado 0.06 0.3778 Riesgo Esperado 0 0.4421

El tomar el préstamo a para invertirlo en una cartera riesgosa, no solamente aumenta el rendimiento esperado, si no también aumenta el riesgo, esto es debido al uso de los préstamos o apalancamientos.

A continuación se mostrara a detalle la tabla anterior, la cual se desglosa la cartera óptima (Wo), indicando la proporción al invertir en la acción “M” y “N”.

La siguiente tabla muestra las diferentes carteras con su respectivos rendimientos y riesgos esperados, estos se calcularon utilizando las formulas desarrolladas anteriormente.

Riesgo-rendimiento de los portafolios acreedores integrados por el activo libre de riesgo y el portafolio óptimo riesgoso.

Rendimiento Riesgo Portafolio WF WO ( ( PO4 -0.4 1.4 0.6189 0.5049 PO5 -0.6 1.6 0.7074 0.5685 PO6 -0.8 1.8 0.7958 0.632

La gráfica que se muestra a continuación es el resultado de pedir préstamos a con el fin de invertir en “O” y también la cartera apalancada, “V”, obsérvese que la cartera “ V ” se encuentra sobre la línea recta de “F” extendida después de “O”. En consecuencia todas las carteras apalancadas caerán sobre la línea, con la posibilidad de crear carteras con rendimientos esperados más altos.

Ejemplo 5.

Consideramos la situación en el cual el inversionista toma prestamos a la tasa 6 % e invierte los fondos prestados mas capital original en la cartera de riesgo “O”.

Tabla de parámetro. Concepto F O (P6) Rendimiento 0.06 0.2119 Esperado Riesgo 0 0.5782 Esperado

La siguiente tabla muestra las diferentes carteras con su respectivos rendimientos y riesgos esperados, estos se calcularon utilizando las formulas desarrolladas anteriormente.

El tomar el préstamo a para invertirlo en una cartera riesgosa, no solamente aumenta el rendimiento esperado, si no también aumenta el riesgo, esto es debido al uso de los préstamos o apalancamientos.

A continuación se mostrara a detalle la tabla anterior, la cual se desglosa la cartera optima (Wo), indicando la proporción al invertir en la acción “N” y “A”.

Riesgo-rendimiento de los portafolios acreedores integrados por el activo libre de riesgo y el portafolio óptimo riesgoso. Portafolio WF WO Riesgo Rendimiento

( (

PO4 -0.4 1.4 0.8095 0.2727

PO5 -0.6 1.6 0.9251 0.303

PO6 -0.8 1.8 1.0408 0.3334

La gráfica que se muestra a continuación es el resultado de pedir préstamos a con el fin de invertir en “O” y también la cartera apalancada, “Y”, obsérvese que la cartera “ Y ” se encuentra sobre la línea recta de “F” extendida después de “O”. En consecuencia todas las carteras apalancadas caerán sobre la línea, con la posibilidad de crear con carteras con rendimientos esperados altísimos.