Estudiamos algunos ejemplos de fenómenos reales que son modelados por funciones cuadráticas. Estos ejemplos y los ejercicios de Aplicaciones para esta sección presentan parte de la variedad de situaciones que de manera natural son modelados por funciones cuadráticas.
EJEMPLO 5
■Rendimiento máximo en kilometraje de un automóvil
La mayor parte de los autos dan su mejor rendimiento en kilometraje cuando corren a una velocidad relativamente baja. El rendimiento M para cierto auto nuevo está mode- lado por la función
M(s) 5 2 1 28s
21 3s 2 31 15 # s # 70
donde s es la rapidez en mi/h y M se mide en mi/gal. ¿Cuál es el mejor rendimiento del auto y a qué velocidad se obtiene?
SOLUCIÓN La función M es una función cuadrática con a 5 21
28 y b 5 3. Entonces,
su valor máximo ocurre cuando s 5 2 b 2a 5 2 3 2(2281) 5 42 El valor máximo es M(42) 5 21 28(42)
21 3(42) 2 31 5 32. Por tanto, el mejor ren-
dimiento del auto es de 32 mi/gal, cuando está corriendo a 42 mi/h.
Ahora intente realizar el ejercicio 55 ■
EJEMPLO 6
■Maximizar ingresos por venta de boletos
Un equipo de hockey juega en una cancha que tiene capacidad para 15 000 espectado- res. Con el precio del boleto a 14 dólares, el promedio de asistencia en juegos recien- tes ha sido de 9 500. Un estudio de mercado indica que por cada dólar que baje el precio del boleto, el promedio de asistencia aumenta en 1 000.
a) Encuentre una función que modele el ingreso en términos del precio de boletos. b) Encuentre el precio que lleve al máximo el ingreso por venta de boletos.
c) ¿Qué precio del boleto es tan alto que nadie asiste y por tanto no se generan ingresos?
SOLUCIÓN
a) Expresar verbalmente el modelo. El modelo que buscamos es una función que
da el ingreso para cualquier precio del boleto:
ingreso 5 precio del boleto 3 asistencias
15 70
40
0
El rendimiento máximo de gasolina ocurre a 42 mi/h.
PROYECTO DE DESCUBRMIENTO
Ley de Torricelli
Evangelista Torricelli (1608-1647) es mejor conocido por su invención del baró- metro. También descubrió que la rapidez con la que un fl uido sale del fondo de un tanque se relaciona con la altura del líquido en el tanque (un principio que ahora se llama Ley de Torricelli). En este proyecto llevamos a cabo un experi- mento simple para recolectar datos de la rapidez del agua que se escapa por un agujero en la parte inferior de una botella grande de refresco. Luego encontramos una expresión algebraica para la ley de Torricelli ajustando una función cua- drática a los datos que se obtuvieron. Usted puede encontrar el proyecto en
www.stewartmath.com.*
Elegir la variable. Hay dos cantidades que varían: el precio del boleto y la asis- tencia. Dado que la función que buscamos depende del precio, hacemos que
x 5 precio del boleto Luego, expresamos la asistencia en términos de x.
Verbalmente En álgebra
Precio del boleto x
Cantidad que baja el precio del boleto 14 2 x
Aumento en asistencia 1 000(14 2 x)
Asistencia 9 500 1 1 000(14 2 x)
Formular el modelo. E1 modelo que buscamos es la función R que da el ingreso para un determinado precio de boleto x.
ingreso 5 precio del boleto 3 asistencias R(x) 5 x 3 39 500 1 1 000(14 2 x)4 R(x) 5 x(23 500 2 1 000x)
R(x) 5 23 500x 2 1 000x2
b) Utilizar el modelo. Dado que R es función cuadrática con a 5 21 000 y b 5 23 500, el máximo se presenta en
x 5 2 b 2a 5 2
23 500
2(21 000) 5 11.75
Por tanto, el precio de boleto de 11.75 dólares da el máximo ingreso.
c) Utilizar el modelo. Deseamos encontrar el precio del boleto por el que R(x) 5 0. 23 500x 2 1 000x25 0 Haga que R(x) 5 0
23.5x 2 x25 0 Divida entre 1 000 x(23.5 2 x) 5 0 Factorice x 5 0 o x 5 23.5 Despeje x
Por tanto, de acuerdo con este modelo, el precio del boleto de 23.50 dólares es simplemente demasiado alto; a ese precio, nadie irá a ver jugar a su equipo. (Desde luego, el ingreso también es cero si el precio del boleto es cero.)
Ahora intente realizar el ejercicio 65 ■
CONCEPTOS
1. Para poner la función cuadrática f(x) 5 ax21 bx 1 c en
forma estándar completamos el .
2. La función cuadrática f(x) 5 a(x 2 h)21 k está en forma
estándar.
a) La gráfi ca de f es una parábola con vértice
1 , 2.
b) Si a . 0 la gráfi ca de f abre hacia . En este
caso f(h) 5 k es el valor de f.
c) Si a , 0 la gráfi ca de f abre hacia . En este
caso f(h) 5 k es el valor de f.
3. La gráfi ca de f(x) 5 3(x 2 2)2 2 6 es una parábola que abre
hacia , con su vértice en 1 , 2, y f(2) 5
es el valor (mínimo/máximo) de f.
4. La gráfi ca de f(x) 5 23(x 2 2)22 6 es una parábola que
abre hacia , con su vértice en 1 , 2, y
f(2) 5 es el valor (mínimo/máximo) de f.
3.1 EJERCICIOS
150 000 25 0La asistencia máxima ocurre cuando el precio del boleto es de 11.75 dólares.
HABILIDADES
5–8 ■ Gráfi cas de funciones cuadráticas Se da la gráfi ca de una función cuadrática f. a) Encuentre las coordenadas del vértice y las intersecciones x y y. b) Encuentre el valor máximo o mínimo de f. c) Encuentre el dominio y rango de f.
5. f(x) 5 2x2 1 6x 2 5 6. f(x) 5 21 2x2 2 2x 1 6 1 1 0 x y 5 1 0 x y 7. f(x) 5 2x22 4x 2 1 8. f(x) 5 3x21 6x 2 1 1 1 0 x y 1 1 0 x y
9–24 ■ Trazar la gráfi ca de funciones cuadráticas Se da una función cuadrática. a) Exprese f en la forma estándar. b) Encuen- tre su vértice y sus intersecciones x y y de f. c) Trace una gráfi ca de f. d) Encuentre el dominio y rango de f.
9. f(x) 5 x2 2 2x 1 3 10. f(x) 5 x2 1 4x 2 1 11. f(x) 5 x22 6x 12. f(x) 5 x21 8x 13. f(x) 5 3x2 1 6x 14. f(x) 5 2x2 1 10x 15. f(x) 5 x21 4x 1 3 16. f(x) 5 x22 2x 1 2 17. f(x) 5 2x2 1 6x 1 4 18. f(x) 5 2x2 2 4x 1 4 19. f(x) 5 2x21 4x 1 3 20. f(x) 5 23x21 6x 2 2 21. f(x) 5 2x2 2 20x 1 57 22. f(x) 5 2x2 1 12x 1 10 23. f(x) 5 24x22 12x 1 1 24. f(x) 5 3x21 2x 2 2 25–34 ■ Valores máximos y mínimos Se da una función cua- drática. a) Exprese la función cuadrática en forma estándar.
b) Trace su gráfi ca. c) Encuentre los valores máximo o mínimo
de f. 25. f(x) 5 x21 2x 2 1 26. f(x) 5 x22 8x 1 8 27. f(x) 5 3x22 6x 1 1 28. f(x) 5 5x21 30x 1 4 29. f(x) 5 2x22 3x 1 3 30. f(x) 5 1 2 6x 2 x2 31. g(x) 5 3x22 12x 1 13 32. g(x) 5 2x21 8x 1 11 33. h(x) 5 1 2 x 2 x2 34. h(x) 5 3 2 4x 2 4x2
35–44 ■ Fórmula para los valores máximos y mínimos Encuen- tre los valores máximos o mínimos de la función.
35. f(x) 5 2x21 4x 2 1 36. f(x) 5 3 2 4x 2 x2 37. f(t) 5 23 1 80t 2 20t2 38. f(x) 5 6x22 24x 2 100 39. f(s) 5 s22 1.2s 1 16 40. g(x) 5 100x22 1 500x 41. h(x) 5 12x21 2x 2 6 42. f(x) 5 2 x2 3 1 2x 1 7 43. f(x) 5 3 2 x 2 12x2 44. g(x) 5 2x(x 2 4) 1 7
45–46 ■ Valores máximos y mínimos Se da una función cua- drática. a) Utilice un dispositivo para trazar gráfi cas para encon- trar los valores máximos o mínimos de la función cuadrática f, redondeada a dos decimales. b) Encuentre los valores máximos o mínimos exactos de f, y compárelos con sus respuestas del inciso a).
45. f(x) 5 x21 1.79x 2 3.21 46. f(x) 5 1 1 x 2 2x2
HABILIDADES Plus
47–48 ■ Encontrar funciones cuadráticas Determine una fun- ción f cuya gráfi ca es una parábola con el vértice dado y que pasa por el punto dado.
47. Vértice (2, 23); punto (3, 1) 48. Vértice (21, 5); punto (23, 27)
49. Máximo de un polinomio de cuarto grado Determine el
valor máximo de la función
f(x) 5 3 1 4x22 x4
[Sugerencia: Haga que t 5 x2.]
50. Mínimo de un polinomio de sexto grado Determine el valor
mínimo de la función
f(x) 5 2 1 16x3 1 4x6
[Sugerencia: Haga que t 5 x3.]
APLICACIONES
51. Altura de una pelota Si una pelota es lanzada directamente
hacia arriba con una velocidad de 40 pies/s, su altura (en pies) después de t segundos está dada por y 5 40t 2 16t2.
¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la pelota?
52. Trayectoria de un balón Un balón es lanzado por un campo desde una altura de 5 pies sobre el suelo, a un ángulo de 45º con la horizontal, a una velocidad de 20 pies/s. Puede dedu- cirse por principios físicos que la trayectoria del balón está modelada por la función
y 5 2 32
(20)2x
21 x 1 5
donde x es la distancia en pies que el balón ha recorrido
horizontalmente.
b) Encuentre la distancia horizontal que el balón ha reco-
rrido cuando cae al suelo.
x
5 pies
53. Ingresos Un fabricante encuentra que el ingreso generado
por vender x unidades de cierta mercancía está dado por la función R(x) 5 80x 2 0.4x2, donde el ingreso R(x) se mide
en dólares. ¿Cuál es el ingreso máximo, y cuántas unidades deben fabricarse para obtener este máximo?
54. Ventas Un vendedor de bebidas gaseosas en una conocida
playa analiza sus registros de ventas y encuentra que, si vende x latas de gaseosa en un día, su utilidad (en dólares) está dada por
P(x) 5 20.001x2 1 3x 2 1 800
¿Cuál es su utilidad máxima por día, y cuántas latas debe vender para obtener una utilidad máxima?
55. Publicidad La efectividad de un anuncio comercial por tele-
visión depende de cuántas veces lo ve una persona. Después de algunos experimentos, una agencia de publicidad encontró que, si la efectividad E se mide en una escala de 0 a 10, entonces
E(n) 5 2 3n 2 901n2
donde n es el número de veces que una persona ve un anun-
cio comercial determinado. Para que un anuncio tenga máxima efectividad, ¿cuántas veces debe verlo una persona?
56. Productos farmacéuticos Cuando cierto medicamento se
toma oralmente, la concentración del medicamento en el fl ujo sanguíneo del paciente después de t minutos está dada por
C(t) 5 0.06t 2 0.0002t2, donde 0 # t # 240 y la concentra-
ción se mide en mg/L. ¿Cuándo se alcanza la máxima con- centración de suero, y cuál es esa máxima concentración?
57. Agricultura El número de manzanas producidas por cada
árbol en una huerta de manzanos depende de la densidad con la que estén plantados los árboles. Si n árboles se plantan en un acre de terreno, entonces cada árbol produce 900 2 9n manzanas. Por tanto, el número de manzanas producidas por acre es
A(n) 5 n(900 2 9n)
¿Cuántos árboles deben plantarse por acre para obtener la máxima producción de manzanas?
58. Agricultura En cierto viñedo se encuentra que cada una de las vides produce aproximadamente 10 libras de uvas en una temporada cuando están plantadas alrededor de 700 vides por acre. Por cada vid individual que se planta la producción dis- minuye alrededor de 1 por ciento. Por tanto, el número de libras de uvas producidas por acre está modelado por
A(n) 5 (700 1 n)(10 2 0.01n)
donde n es el número de vides adicionales. Encuentre el
número de vides que deben plantarse para llevar al máximo la producción de uvas.
59–62 ■ Máximos y mínimos Use las fórmulas de esta sección para dar una solución alternativa al problema indicado en Enfo-
que sobre modelado: modelado con funciones en las paginas
237-244.
59. Problema 21 60. Problema 22
61. Problema 25 62. Problema 24
63. Cercar un corral para caballos Carol tiene 2 400 pies de cerca para cercar un corral rectangular para caballos.
a) Encuentre una función que modele el área del corral en
términos del ancho x del corral.
b) Encuentre las dimensiones del rectángulo que lleve al
máximo el área del corral.
x 1 200 – x
64. Hacer un canal para agua de lluvia Un canal para agua de lluvia se forma doblando hacia arriba los lados de una lámina metálica rectangular de 30 pulgadas de ancho, como se mues- tra en la fi gura.
a) Encuentre una función que modele el área de sección
transversal del canal en términos de x.
b) Encuentre el valor de x que lleve al máximo el área de la
sección transversal del canal.
c) ¿Cuál es la máxima área de sección transversal del canal?
x
30 pulg
65. Ingresos en un estadio Un equipo de béisbol juega en un estadio con capacidad para 55 000 espectadores. Con el pre- cio del boleto en 10 dólares, el promedio de asistencia en recientes partidos ha sido de 27 000 personas. Un estudio de mercado indica que por cada dó1ar que baje el precio del boleto, la asistencia aumentará en 3 000 personas.
a) Encuentre una función que modele el ingreso en términos
del precio del boleto.
b) Encuentre el precio que maximiza los ingresos por la
venta de boletos.
c) ¿Qué precio del boleto será tan alto como para no gene-
66. Maximizar utilidades Una sociedad observadora de aves en cierta comunidad hace y vende sencillos comederos para las aves para recaudar dinero para sus actividades de conserva- ción. Los materiales para cada alimentador cuestan 6 dólares, y la sociedad vende un promedio de 20 por semana a $10 cada uno. La sociedad ha estado considerando elevar el precio, de modo que lleva a cabo un estudio y encuentra que, por cada dólar de aumento, pierde 2 ventas por semana.
a) Encuentre una función que modele las utilidades semana-
les en términos del precio por comedero.
b) ¿Qué precio debe tener cada comedero para maximizar
las utilidades? ¿Cuáles son las utilidades máximas semanales?
DISCUSIÓN ■ DESCUBRIMIENTO ■ DEMOSTRACIÓN ■ REDACCIÓN 67. DESCUBRIMIENTO: Vértice y puntos de intersección x
Sabemos que la gráfi ca de la función cuadrática
f(x) 5 (x 2 m)(x 2 n) es una parábola. Trace una gráfi ca aproximada del aspecto que tendría esa parábola. ¿Cuáles son los puntos de intersección x de la gráfi ca de f? ¿Puede el lec- tor saber de su gráfi ca cuál es la coordenada x del vértice en términos de m y n? (Use la simetría de la parábola.) Confi rme su respuesta al desarrollar y usar las fórmulas de esta sección.