2. Methodology: A Qualitative Case Study of Accountability Practice
2.12 Research Methods and Data Collection Procedures
2.12.1 Semi-Structured Interviews
La integral que se pretende introducir a continuación es, como ya se mencionó, una generalización de la integral de Riemann, la cuál tiene una forma muy similar a la integral de Riemann, pero un alcance que supera a la integral de Lebesgue. Esta generalización fue presentada porJaroslav KurzweilyRalph Henstockalrededor de 1960. El trabajo en adelante se realizará sobre un intervaloI = [a,b],a< benRy funciones con valores finitos enR. Comenzaremos esta discución al igual que en el capítulo inicial, con el concepto de partición, salvo que ahora se desea introducir un representante de cada elemento de la partición, así se obtiene.
Definición. (Tomada de [Bar96, p. 626]) Una partición etiquetadaP:={([xi−1,xi],ti)}ni=1es un conjunto finito de
pares ordenados, donde los intervalos cerradosIi = [xi−1,xi]forman una partición deIy los númerosti ∈ Iison
llamados las correspondientes etiquetas.
En este caso las sumas de Riemann se definen de manera análoga al desarrollo que se hizó para la integral de Riemann, esto es, siPes una partición etiquetada y la función f : I −→R, entonces la suma de RiemannS(f;P)
de f correspondiente aPes el número S(f;P):= n
∑
i=1 f(ti)(xi−xi−1).Nótese que hasta el momento todo lo que se plantea coincide con el desarrollo de la integral de Riemann o Riemann- Stieltjes, la falta de generalidad de ésta radica en el uso de la norma de la partición, para acotar el número que consideramos como la integral. En ese orden de ideas la intención es reemplazar dicha constante por una función. Para ello es necesario ver que tipo de funciones son las indicadas para este fin.
Definición. (Tomada de [Bar96, p. 627]) Una funciónδestrictamente positiva enIes llamada un calibrador enI.
Surgen de manera inmediata varios ejemplos de calibradores enI, como las funciones constantes, el cuál no es de mucho interés ya que nos devuelven al caso de la integral de Riemann.
Observación. Es importante resaltar que la funcónδno es necesariamente continua, ni acotada. En general podría
ser una función no muy sencilla de trabajar, veremos más adelante que al igual que en la integral de Riemann, la idea para calcular la integral generalizada será encontrar un calibrador adecuado.
Trabajaremos un concepto similar al de norma de una partición. Siδes un calibrador enIyP:={([xi−1,xi],ti)}ni=1
es una partición etiquetada deI, diremos quePesδ−fina si
0<xi−xi−1≤δ(ti) para i=1, 2, . . . ,n.
Ejemplo22 (Particiónδ−fina). ConsideremosI= [1, 3]y la partición etiquetada
P:= 1,3 2 ,3 2 , 3 2, 2 , 2 , 2,5 2 ,5 2 , 5 2, 3 , 3 Y el calibradorδ1 = 1
x, es claro que esta partición no es δ1−fina ya quexi−xi−1 =
1 2 parai = 1, 2, 3, 4. Basta considerarδ1(t4) = 1 3, así x4−x3=3− 5 2 = 1 2 >δ1(t4) = 1 3.
Seaδ2=x, tendremos queP, en efecto esδ2−fina. No requiere de mucho corroborar este hecho. Veamos la gráfica
Dondelrepresenta la longitud de cadaInconi=1, 2, 3, 4. La intuición nos dice que cuando el calibrador presenta
un comportamiento, por llamarlo de alguna manera, asintótico hacia cero, la norma de la partición debe ser, en términos vagos, lo suficientemente pequeña. Abordaremos esto con un poco más de detalle.
Pretendemos mostrar a continuación que dado un calibreδenI, existirá siempre una particiónδ−fina. En efecto,
no sugiere ningún inconveniente verificar este hecho cuando los valores deδenIson suficientemente grandes. El
ejemplo anterior da una idea de que el problema es garantizar dicha partición cuandoδtoma valores arbitraria-
mente cercanos a 0 enI. Para ello utilizarémos el siguiente teorema.
Teorema 2.18(Propiedad de los intervalos anidados). ([Bar82, p. 47]) Si n ∈ N, sea Inun intervalo no nulo enRy
supongamos que la sucesión es anidada en el sentido que
I1⊇I2⊇I3⊇ · · · ⊇In⊇ In+1⊇ · · · .
Entonces existe un elemento el cual pertenece a todos los intervalos.
Escapa del objetivo del trabajo presentar la demostración de este teorema. Su prueba puede ser consultada en [Bar82, p. 47].
Presentaremos una idea de la demostración, consideremos el intervalo[0, 1]yδ(x)>0 para todox∈[0, 1]. El caso
general puede demostrarse de manera análoga. Siδ(x)≥1 para todox, no hay nada que probar (La particiónδ−
fina será el mismo intervalo[0, 1]). Si por el contrario existex0∈[0, 1]tal queδ(x0)<1 entonces realizaremos una
δ−fina. Nuevamente siδ(x) ≥ 12 para todox ∈ [0,12] no hay nada que probar (Anexamos[0,12]a la partición).
Pero si existe x1 ∈ [0,12] tal queδ(x1) < 12 dividimos el intervalo que estamos trabajando en los subintervalos
[0,14]y[41,12]y aplicamos nuevamente la idea anterior. Es claro que o bien construimos una particiónδ−fina en
finitas repeticiones del algoritmo anterior o estamos construyendo una suceción de intervalos encajados como en el teorema anterior. Es claro queµ(In) = 1
2n−1, dondeInes obtenido en lan−esima iteración. Existe una etiqueta
para cada uno de estos intervalos llamemolatiy la propiedad de los intervalos encajados nos dice que existe un
únicox0 ∈ ∪In. Además, la propiedad arquimediana indica que existeN0∈ Ntal queµ(IN0)≤
1
2N0−1 < δ(x0).
Lo que en efecto muestra que existe una partición etiquetadaPδ−fina, para cualquier calibradorδen[a,b].
Dicho esto, procedemos a presentar la generalización de la integral que buscamos.
Definición. (Tomada de [Bar96, p. 627]) Un númeroB∈Res laintegral generalizada de Riemannde una función
f :I −→Rsi para todoe>0 existe un calibradorδeenItal que siP:={([xi−1,xi],ti)}ni=1es cualquier partición
deIque esδ−fina, entonces
|S(f;P)−B| ≤e.
En este caso escribimos f ∈ R∗(I)y denotamosB=R∗Z
I f
=R∗
Z b
a f.
Observación. El númeroBes único, esta afirmación es sencilla de probar y la demostración es análoga a la que se presenta habitualmente para la integral de Riemann. Se debe tener también que si los valores de una función f en
R∗(I)son modificados en un conjunto de medida cero la función resultante también está enR∗(I)y además su integral debe coincidir.
La última afirmación será enunciada a manera de teorema ya que su interpretación y demostración es particular- mente interesante.
Teorema 2.19. ([Bar96, p. 627]) Si f ∈ R∗(I)y g= f en casi toda parte(µ), entonces g∈ R∗(I)y su integral generalizada
de Riemann coincide con la de f .
Demostración. La integrabilidad generalizada de ges inmediata. Basta recordar la discusión que se planteó sobre los conjunto de medida cero. El teorema es equivalente a probar que sih=0 en casi toda parte(µ)enIentonces
R∗
Z
Ih=0.
Para ello consideremos el conjuntoE={x∈ I:h(x)6=0}, para cadan∈ Nsea
En=
x∈E:|h(x)|> 1
n
La regularidad de la medida de Lebesgue indica queµ(En) = 0 para todon ∈ N. Dadoe > 0, seaOn tal que
En⊂Onyµ(On)< e
n2n. Definamos el calibrador en[a,b]comoδ:[a,b]−→R
g(x) =
(
´ınf{|x−a|:a∈(On)c} x∈En
ConsideremosP={([xi−1,xi],ti)}ni=1una partición etiquetadaδ−fina de[a,b], recordemos que siempre es posible
hallar una para cadan ∈ N. DefinimosPn = [xj−1,xj],tj k
≤n
j=1 tal quetj ∈ En. De la construcción es claro que Pn ⊂P, por lo que |S(Pn,h)| = k≤n
∑
j=1 h(ti)(xi−xi−1) ≤ nµ(On) ≤ e 2n = e Si consideramosh= f −gobtenemos R∗ Z Ih = R ∗Z I(f −g) = R∗ Z If − R ∗Z Ig = 0. De dondeR∗ Z I f =R ∗Z Ig.Cabe resaltar que en la demostración anterior se usa la linealidad de la integral generalizada de Riemann, lo cual no se ha probado y en efecto es cierto. La demostración de esto no sugiere mayor dificultad.
El cálculo de la integral de Riemann generalizada claramente consiste en encontrar un calibrador adecuado que cumpla la definición. Este proceso no es en general sencillo, de hecho en la mayoría de los casos para funciones que no sean elementales, dicha búsqueda puede resultar bastante compleja. Sin embargo existen diferentes tipos de mecanismos que permiten realizar el cálculo de integrales generalizadas de Riemann de manera más sencilla y evitando hallar el calibrador adecuado. Uno de ellos es el criterio de Cauchy.
Teorema 2.20(Criterio de Cauchy). ([McL80, p. 51]) La función f :I−→Rqes Riemann generalizada integrable en I si
para todoepositivo existe un calibradorγtal que|S(f;P1)−S(f;P2)|<epara toda P1,P2particionesγ−finas.
La prueba de este criterio no sugiere mayor dificultad y puede ser consultada en [McL80, p. 51]. Evidentemente en este trabajo estamos trabajando el casoq=1. La generalización paraRqes en términos generales bastante similar y todos los resultados que se probaron hasta este punto y los que se desarrollan en adelante son validos.
Como se había mencionada este criterio no requiere del calibrador para realizar el cálculo explicito de la integral generalizada de Riemann. En la siguiente sección presentaremos ejemplos que son de interés por el objetivo del trabajo que estamos desarrollando y se emplean diferentes ténicas para los cálculos.