Shape reconstruction system architecture

La aproximación FFF multivariada de Gallant (1981,1983) presenta dificultades prácticas ya que precisa de una gran cantidad de datos para ser estimada por los métodos convencionales, la reducción de grados de libertad que ocasiona el utilizar secuencias de series de senos y cosenos en una regla de difícil aplicación práctica, puede solventarse parametrizando los ángulos que determinan la relación polar en un eje de tres dimensiones.

Se denominan ecuaciones paramétrica a aquellas ecuaciones en que las variables X e Y , cada una separada- mente, están expresadas en función de la misma tercera variable, t, a la que se denomina variable paramétrica, estas ecuaciones se representan en la siguiente forma general:

(

X= u(t) Y = v(t)

Una ecuación paramétrica permite representar curvas o superficies en el plano o en el espacio, mediante valores arbitrarios (parámetros). En el uso estándar del sistema de coordenadas, una o dos variables (dependiendo de si se utilizan dos o tres dimensiones respectivamente) son consideradas como variables independientes, mientras que la restante, a la que se denomina variable dependiente, toma un valor en función de los valores que toman las variable(s) independiente(s). Así por ejemplo la expresión de un punto cualquiera (x, y) equivale a la expresión (x, f(x)).

Esta representación tiene la limitación de requerir que la curva sea una función de X en Y , es decir que todos los valores X tengan un valor y sólo un valor correspondiente en Y , y no todas las curvas cumplen con dicha condición. En una ecuación paramétrica, tanto X como Y son considerados variables dependientes, cuyo resultado surge de una tercera variable (sin representación gráfica) conocida como parámetro, lo que la representación de funciones circulares en donde un valor de X puede dar lugar a dos valores de Y .

Por ejemplo, la posible parametrización de la expresión Y = X2_{, de la forma} ( X = u(t) Y = v(t), sería ( X = t Y = t2.

Una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio r verifica que X2_{+ Y}2_{= r}2_{, y su expresión}

paramétrica sería (

X = rcos(t) Y = rsin(t).

La representación paramétrica de una curva en un espacio n-dimensional consiste por tanto en “n” funciones de una variable t que actúa como variable independiente o parámetro (habitualmente se considera que t es un número real y que los puntos del espacio n-dimensional están representados por n coordenadas reales), de la forma:

ei= fi(t), fi : [a.b] → <

donde ei representa la i-ésima coordenada del punto generado al asignar valores del intervalo [a, b] a t. Por

ejemplo, para representar una curva en el espacio se usan 3 funciones X = u(t) , Y = v(t) y Z = g(t). Es común que se exija que el intervalo [a, b] sea tal que a cada punto a ≤ y ≤ b le corresponda un punto distinto de la curva; si las coordenadas del punto obtenido al hacer t = a son las mismas del punto correspondiente a

t= b la curva se denomina cerrada.

Se dice que un punto de la curva correspondiente a un valor t del intervalo es un punto ordinario si las derivadas de las funciones paramétricas existen en y son continuas en ese punto y al menos una es distinta de 0. Si un arco de curva está compuesto solamente de puntos ordinarios se denomina suave. Es común resumir las ecuaciones paramétricas de una curva en una sola ecuación vectorial:

~ rt=

n

X

i=1

fi(t)ˆei= f1(t)ˆe1+ f2(t)ˆe2+ ... + fn(t)ˆen

donde ˆei representa al vector unitario correspondiente a la coordenada i-ésima.

Por ejemplo, las funciones paramétricas de un círculo unitario con centro en el origen son X = cos(t),

Y = sen(t). Podemos reunir estas ecuaciones como una sola ecuación de la forma:

~rt= cos(t)ˆi + sin(t)ˆj

Una superficie parametrizada en <3 _{es la imagen de una función continua S definida en una región D ⊆ <}2

que toma valores en <3_{, esto es,}

S: (u, v) ∈ D ⊆ <2→ S(n, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ⊆ <3

Las variables independientes de la función S se llaman parámetros de la superficie y la propia función S recibe el nombre de parametrización de la superficie. La imagen por S de la frontera de la región D se llama borde o contorno de la superficie. Si S es inyectiva, lo que significa que no hay puntos dobles, entonces se dice que la superficie es simple.

Dadas n observaciones de la variable aleatoria xt→ N(µx, σx2), a cada obseración (t, xt) le corresponde un

punto Pt en el eje cartesiano, de forma que:

P1⇒(1, x1), P2⇒(2, x2), ..., Pn⇒(n, xn)

que a su vez, se hace corresponder con una forma polar rt, para cada par (t, xt), siendo: rt= pt2+ x2

t y γt= arctanx_tt

Si se estima la variable γta partir de la expansión FFF de la forma: γt(t/θ) = α + βt + 1 2δ 2 t + J X j=1 [ajcos(jw0t) + bjsin(jwot)])

siendo w0= 2π_n, la función xtquedaría parametrizada en función de t con la siguiente expresión: xt= tan(γt)t

Tenemos ahora n observaciones de la variable aleatoria xt→ N(µx, σ2x) e yt→ N(µy, σy2), a cada obseración

(xt, yt) le corresponde un punto Pt en el eje cartesiano, de forma que: P1⇒(x1, y1), P2⇒(x2, y2), ..., Pn⇒(xn, yn)

que a su vez, se hace corresponder con una forma polar rt, para cada par (xt, yt), siendo: rt= px2t+ y2t y αt= arctany_xt_t

Dado Pt(xt, yt) = xt+ iyt = [rtcos(αt)] + i[rtsin(αt)], se deduce que yt = rtcos(αt) , xt = rtcos(αt) y yt= tan(αt)xt.

La variable aleatoria ytpuede parametrizarse como:

yt= tan(αt)tan(γt)t

Las ecuaciones paramétricas serían entonces: (

X = xt= tan(γt)t Y = yt= tan(αt)tan(γt)t

estimandose el ángulo αtcon una expansión FFF, al igual que γt: αt(t/θ) = α0+ β0t+1 2δ 0₂ t + J X j=1 [a0 jcos(jw0t) + b0jsin(jwot)])

Tenemos ahora n observaciones de la variable aleatoria xt→ N(µx, σx2) , yt→ N(µy, σy2) y zt→ N(µz, σ2z).

Se parte ahora de la representación polar entre cada par xty zt, que vendrá dada por el modulo rt= px2t+ z2t

y el argmento αt= arctanzxtt. Construimos ahora un nuevo plano entre rt e yt.

Dado que el modulo rtpuede tener un valor diferente según se cambie el nivel de la variable parece aconsejable

normalizar las variables.

En consecuencia ahora tenemos dos variables rte ytcuya representación polar tendrá a su vez un módulo ϕt= pr2

t+ yt2 y el argumento βt= arctany_rt

t.

Operando ϕt= pz2t+ x2t+ yt2, y la representación polar del sistema vendría dada por : rt= ϕtcos(βt),yt= ϕtsin(βt), e yt= tan(βt)px2t+ z2t.

Dado que zt= tan(αt)xt, entonces: yt= tan(βt) q x2 t+ [tan(αt)xt]2= xt p tan2(β t)[1 + tan2(αt)]

considerando tanto la sucesión de ángulos βt y αtcomo series de Fourier, se puede afirmar que el conjunto de

datos (xt, yt, zt), puede parametrizarse en función de una de ellas cualesquiera, y t.

Supongamos que en nuestro conjunto de datos la dimensión xt, es exógena, entonces:

     X = xt Z = zt= tan(αt)xt Y = yt= ptan2(βt)[1 + tan2(αt)]xt siendo: βt(t/θ) = α∗+ β∗t+1 2δ∗2t + J X j=1 [a∗ jcos(jw0t) + b ∗ jsin(jwot)])

La parametrización del sistema a la dimensión zt:      Z = zt X = xt= tan(π₂ − αt)zt Y = yt= ptan2(βt)[1 + tan2(π₂ − αt)xt]zt ya que π 2 − αt= arctan xt zt.

Por ultimo la parametrización sobre yt:

       Y = yt X= xt= √ yt tan2_(β t)[1+tan2(αt)] Z= zt= √_tan2_(β yt t)[1+tan2(π2−αt)]

Considerando la parametrización en t de xt, el sistema quedaría:

     X= xt= tan(γt)t Z= zt= tan(αt)tan(γt)t

Y = yt= ptan2(γt)tan2(βt)[1 + tan2(αt)t

Ejemplo 8

Utilizando los datos del Ejemplo 7, estimamos una función FFF para el argumento γt.

# Calculo del angular

t=seq(1:length(y))

g=atan(l/t)

# Expansión del angular

fff.g=FFF(g,t)

# Estimación de L

l.fitted=tan(fff.g$fitted)*t

# Representación gráfica

plot(ts(g,frequency=1,start=1899),type="l",main="Angular",ylab="") lines(ts(fff.g$fitted,frequency=1,start=1899),type="p",col=2)

Angular