Single-Layer Coating

El modelo bidimensional de diferencias finitas FLO-2D permite la simulación de fluidos no-newtonianos, como avenidas de lodo, flujo de lodos y de escombros, en conos de deyección.

El modelo permite simular flujo en topografías complejas, tales como áreas urbanizadas y planicies de inundación, así como el intercambio de fluido entre los canales y la planicie de inundación.

El modelo FLO-2D puede simular eventos de grandes inundaciones en superficies no confinadas. Cuando se simula un flujo poco profundo debido a pendientes o descargas pequeñas, deben utilizarse elementos de malla más pequeños. La resolución del mapa y la precisión deben de fijarse para seleccionar el tamaño del elemento de la malla.

El programa también representa flujos unidimensionales, el cual es representado por secciones transversales de corte.

Las suposiciones básicas del modelo son:

- Flujo permanente para la duración de un intervalo de tiempo.

- La rugosidad hidráulica está basada en resistencia de flujo turbulento, uniforme y permanente.

- Un elemento de canal está representado por una geometría de canal uniforme y una rugosidad.

El programa puede simular varios componentes del sistema hidrológico tal como la precipitación, infiltración, flujo en áreas urbanas y en estructuras hidráulicas. Según el manual de (FLO-2D Software, Inc.), como datos de entrada se requiere la topografía digital del terreno, la geometría del canal, valores estimados de la rugosidad del canal y de la planicie de inundación, hidrogramas de entrada (líquidos y sólidos) y propiedades reológicas de la mezcla agua-sedimento..

Los sedimentos hiperconcentrados envuelven la compleja interacción del fluido y procesos de sedimentos tales como turbulencia, esfuerzos de corte viscoso, intercambio de momentum de partículas y colisión de las partículas de sedimento. Partículas del sedimento pueden colisionar, erosionarse y rotar en su movimiento

22 uno tras otro. La reología de la mezcla de agua y sedimentos analiza las medidas del esfuerzo de corte a determinados ángulos de deformación. Fluidos con una baja concentración de sedimentos se comportan como fluidos newtonianos.

La viscosidad de la mezcla se incrementa con la concentración de sedimentos. Con el incremento de la concentración de sedimentos, la matriz del fluido incrementa su esfuerzo de cedencia, debido a la cohesión de las partículas del sedimento, comportándose como un fluido no newtoniano. La matriz del fluido está constituida por una mezcla desordenada de sedimentos finos (menores a 0.1 mm, la cual incluye a arcilla, limo y algunas partículas de arena fina). Los efectos dispersivos debido al tamaño de la arena son menores comparados con las propiedades cohesivas de la arcilla y el limo. Los sedimentos gruesos no tienen gran influencia en las propiedades de la matriz del fluido. (FLO-2D).

(O'Brien & Julien, Laboratory Analysis of Mudflow Properties, 1988) y (Julien & Lan, 1991) investigaron los flujos hiperconcentrados de sedimentos con alta concentración de sedimento fino en la matriz del fluido. Estos estudios indican que el flujo de lodos se comporta como fluidos tipo Bingham con velocidades de deformación bajas (<10 s-1_).

Aunque una velocidad de deformación típica de un flujo de sedimento hiperconcentrado en un flujo de canal abierto está en el orden de 5-50 s-1 _{(O'Brien & Julien, Laboratory Analysis of Mudflow Properties, 1988).}

Cuando la concentración de sedimentos finos es baja, los esfuerzos turbulentos dominan. Altas concentraciones de partículas no cohesivas combinadas con una baja concentración de sedimentos finos son requeridas para generar esfuerzos dispersivos. El modelo reológico cuadrático propuesto por (O'Brien & Julien, Physical processes of hyperconcentrated sediment flows., 1985) describe los flujos viscosos y los flujos dispersivos.

El modelo incluye la viscosidad y el esfuerzo de cedencia en función de la concentración de sedimentos. Para grandes esfuerzos de corte que pueden ocurrir en flujos aluviales con alta pendiente (10s-1 _{a 50} s-1_{), los esfuerzos turbulentos y}

dispersivos pueden ser generados. En flujos turbulentos, los esfuerzos dispersivos pueden surgir de la colisión de las partículas. Esfuerzos dispersivos ocurren cuando partículas de sedimento no cohesivas dominan el flujo y el porcentaje de sedimento fino cohesivo (limo y arcillas) es pequeño. Con el incremento del sedimento fino, la turbulencia del fluido disminuirá y el flujo gradualmente se convertirá en un flujo laminar. La concentración de sedimentos en un evento de inundación puede variar dramáticamente y como resultado esfuerzos viscosos y turbulentos pueden dominar alternativamente, produciendo oleadas de flujo.

El esfuerzo de corte en flujos de sedimentos hiperconcentrados pueden ser determinados por la suma de los cinco componentes de esfuerzo de corte. El esfuerzo de corte total 𝜏 depende del esfuerzo de fluencia cohesivo 𝜏_𝑐, el esfuerzo de Mohr- Coulomb 𝜏_𝑚𝑐, el esfuerzo viscoso 𝜏_𝑣 (𝜂 𝑑𝑣/𝑑𝑦), el esfuerzo turbulento 𝜏_𝑡y el esfuerzo dispersivo 𝜏_𝑑.

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Cuando escribimos en términos de tasa de deformación (𝑑𝑣/𝑑𝑦) ,se define el modelo reológico cuadrático propuesto por (O`Brien y Julien, 1985):

𝜏 = 𝜏𝑦 + 𝜂 ( 𝑑𝑣 𝑑𝑦) + 𝐶 ( 𝑑𝑣 𝑑𝑦) 2 (2.15) Donde 𝜏_𝑦 = 𝜏_𝑐 + 𝜏_𝑚𝑐 (2.16) Y 𝐶 = 𝜌𝑚𝑙2 + 𝑓(𝜌𝑚, 𝐶𝑣)𝑑𝑠2 (2.17) En estas ecuaciones, 𝜂 es la viscosidad dinámica; 𝜏𝑐 es el esfuerzo de fluencia cohesivo, 𝜏𝑚𝑐 es el esfuerzo de Mohr Coulomb el cual depende de la presión intergranular (ps) , y del ángulo de reposo (𝜑) del material; C denota el coeficiente de esfuerzo cortante inicial, el cual depende de la densidad de la masa de la mezcla

𝜌𝑚 , la longitud de mezcla de Prandtl 𝑙, el tamaño del sedimento ds y una función de la concentración volumétrica de sedimentos Cv. (Bagnold, 1954) definió la función:

𝑓(𝜌_𝑚, 𝐶_𝑣) = 𝑎_𝑖𝜌_𝑚[(𝐶 ∗ 𝐶_𝑣) 1 3 ⁄ − 1] (2.18) Donde: 𝑎_𝑖 : Coeficiente empírico (~ 0.01).

C* : Máxima concentración de volumen estática de las partículas de sedimento. Takahashi (1979) encontró que el coeficiente 𝑎𝑖 puede variar a diferentes órdenes de magnitud.

Los primeros términos en el modelo reológico cuadrático (Esfuerzos de Bingham), la suma del esfuerzo de cedencia y el esfuerzo viscoso, definen a un flujo viscoso. El último término representa la suma del esfuerzo dispersivo y turbulento, los cuales representan un flujo de régimen inercial para una inundación de lodos.

En la Figura 2.5, se observa la ecuación correspondiente a un flujo no newtoniano dilatante, donde el esfuerzo de corte (𝜏) está en función del esfuerzo de cedencia (𝜏_𝑦), valor que tiene que ser superado para dar inicio al movimiento del flujo. Estando también en función de la viscosidad dinámica, valor que se ve incrementado frente a mayores valores de tasa de deformación (𝑑𝑣

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Figura 2.5: Fluido no newtoniano dilatante. Fuente: (FLO-2D Software, Inc.)

Un modelo de flujo de lodos que incorpora solo los esfuerzos de Bingham e ignora los esfuerzos iniciales asume que el flujo de lodos es viscoso, lo cual no es del todo correcto ya que todas las avenidas de lodo y algunos flujos de lodo son turbulentas con velocidades tan altas que llegan a 8 m/s. Incluso algunos flujos de lodo con concentraciones volumétricas de sedimentos mayores a 40% pueden ser turbulentos (O`Brien, 1986). Dependiendo de las propiedades del fluido matriz, la viscosidad y el esfuerzo de cedencia para altas concentraciones de sedimento pueden ser relativamente pequeñas comparadas con los esfuerzos turbulentos. Si el flujo es controlado principalmente por los esfuerzos viscosos, entonces se apreciará velocidades de flujo más lentas y por el contrario si estos esfuerzos son pequeños, los esfuerzos de turbulencia dominarán y las velocidades serán mayores.

Para definir todos los términos de esfuerzo de corte que utiliza el modelo FLO-2D, la relación de esfuerzo cortante se integra en profundidad y se reescribe en la siguiente forma como una pendiente adimensional:

𝑆𝑓 = 𝑆𝑦+ 𝑆𝑣 + 𝑆𝑡𝑑 (2.19) Donde: 𝑆_𝑓 : Pendiente de fricción. 𝑆_𝑦 : Pendiente de fluencia. 𝑆𝑣 : Pendiente viscosa. 𝑆𝑡𝑑: pendiente turbulenta-dispersa.

25 La pendiente viscosa y la pendiente turbulenta-dispersa son escritas en términos de velocidad 𝑉 promediadas en profundidad. La pendiente viscosa puede ser escrita como: 𝑆_𝑣 = 𝐾𝜂 8𝛾_𝑚 𝑉 ℎ2 (2.20) Donde:

𝛾_𝑚 : Peso específico de la mezcla de sedimentos.

a) Parámetro de resistencia del flujo laminar (K)

El parámetro de resistencia K para flujos laminares toma el valor de 24 para canales rectangulares anchos y suaves, pero llega a alcanzar los 50000 con el incremento de la rugosidad y la irregularidad de la sección geométrica. El valor de 2285 fue calibrado en el evento de flujo de lodos en Rudd Creek, Utah para un área residencial y ha sido usado satisfactoriamente para la mayoría de los estudios urbanos. Para flujos laminares y transicionales, la turbulencia es suprimida y el parámetro de resistencia laminar K se vuelve más importante.

A continuación, se muestra el Cuadro 2.3 con valores del parámetro de resistencia laminar de acuerdo a su superficie.

Cuadro 2.3: Parámetro de flujo laminar. Fuente: Reference Manual (FLO-2D Software, Inc.)

SUPERFICIE RANGO DE K Concreto y asfalto 24-108

Arena 30-120 Superficie graduada 90-400 Suelo arcilloso erosionado 100-500

Vegetación escasa 1000-4000 Pradera con plantas pequeñas 3000-10000

Forraje 7000-50000

La resistencia de flujo 𝑛𝑡𝑑 de los componentes del esfuerzo de corte turbulento y dispersivo son combinados como un valor n de Manning equivalente para el flujo:

𝑆𝑡𝑑 =

𝑛_𝑡𝑑2 𝑉2 ℎ4⁄3

(2.21)

En concentraciones muy altas, el esfuerzo dispersivo alcanzado por el contacto de las partículas de sedimento incrementa la resistencia de flujo ntd por la

transferencia de flujo de impulso a las fronteras. Para estimar este incremento en la resistencia del flujo, el flujo de resistencia convencional turbulento nt es

incrementado por una función exponencial de la concentración de sedimentos Cv.

(O'Brien & Julien, Physical processes of hyperconcentrated sediment flows., 1985)

𝑛_𝑡𝑑 = 𝑛_𝑡𝑏𝑒𝑚𝐶𝑣 _(2.22)

26 Siendo b un coeficiente (0.0538) y m un exponente (6.0896).

Los componentes de las pendientes de fricción son entonces combinados en la siguiente forma: 𝑆_𝑓= 𝜏𝑦 𝛾_𝑚ℎ+ 𝐾𝜂𝑉 8𝛾_𝑚ℎ2+ 𝜂_𝑡𝑑2 𝑉2 ℎ4⁄3 (2.23)

b) Ecuaciones gobernantes del modelo FLO-2D

Las ecuaciones que utiliza el modelo del software FLO-2D son las de continuidad y cantidad de movimiento, integradas en la vertical:

Ecuación de continuidad: 𝜕ℎ 𝜕𝑡 + 𝜕ℎ𝑉𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕ℎ𝑉_𝑦 𝜕𝑦 = 𝑖 (2.24)

Ecuación de cantidad de movimiento:

𝑆_𝑓𝑥 = 𝑆_0𝑥−𝜕ℎ 𝜕𝑥− 𝑉𝑥 𝑔 𝜕𝑉𝑥 𝜕𝑥 − 𝑉_𝑦 𝑔 𝜕𝑉𝑥 𝜕𝑦 − 1 𝑔 𝜕𝑉𝑥 𝜕𝑡 (2.25) 𝑆_𝑓𝑦 = 𝑆_0𝑦 −𝜕ℎ 𝜕𝑦− 𝑉𝑦 𝑔 𝜕𝑉𝑦 𝜕𝑦 − 𝑉_𝑥 𝑔 𝜕𝑉𝑦 𝜕𝑥 − 1 𝑔 𝜕𝑉𝑦 𝜕𝑡 (2.26) Donde:

ℎ : Profundidad del flujo.

𝑉_𝑥 y 𝑉_𝑦 : Componentes de la velocidad media.

𝑡 : Tiempo.

𝑔 : Aceleración de la gravedad.

𝑆_𝑓 : Pendiente de fricción.

𝑆0 : Pendiente del lecho.

𝑖 : Intensidad de la precipitación.

La ecuación de cantidad de movimiento al ser una ecuación compleja, para su solución es necesario utilizar esquemas numéricos. Dependiendo de que esquema se utilice o cual aproximación, se desprecian algunos términos que menos influyan en los resultados, dependiendo el caso que se esté resolviendo. Lo cual trae a recordar los diferentes métodos conocidos como la onda cinemática, onda difusiva y onda dinámica, y como en cada una de estos métodos se resuelven diferentes términos de la ecuación de onda dinámica.

Por lo cual se ve que en el caso de la onda cinemática se resuelve el termino de fricción y el de la pendiente de la superficie de agua, si añadimos el termino de presión entonces estamos resolviendo la onda difusiva debido a que existe difusión por la presión; finalmente si agregamos los términos locales y convectivos de la aceleración, es decir los cambios de la velocidad no solamente en el espacio

27 sino en el tiempo, se estaría resolviendo la ecuación de la onda dinámica (donde se incluyen los términos de aceleración).

𝑆_𝑓 = 𝑆₀−𝜕ℎ 𝜕𝑥− 𝑉_𝑥 𝑔 𝜕𝑉_𝑥 𝜕𝑥 − 1 𝑔 𝜕𝑉_𝑥 𝜕𝑡 (2.27)

La ecuación de onda dinámica permite la solución de flujos complejos, como el flujo en zonas urbanas, estos dos términos de aceleración convectiva y local influyen bastante y están incluidos en el modelo FLO-2D.