Los supuestos del análisis regional, ayudan a identificar que las observaciones o datos en diversos sitios son estacionarios (libres de tendencia), homogéneos y sin autocorrelación.
2.3.1. ANÁLISIS DE ESTACIONARIEDAD O TENDENCIA
Las tendencias son componentes determinísticos transitorios que se definen como un cambio sistemático y continuo sobre una muestra de información hidrometeorológica en cualquier parámetro de la misma, que afecta la distribución y dependencia de las series. Por ejemplo, si hay un cambio ascendente o descendente en la temperatura, precipitación, evaporación o escorrentía, entonces se produce una tendencia (estas tendencias son originadas por la intervención directa del hombre) (Villón, 2002). Se cuenta con varios métodos para evaluar la estacionariedad de la serie temporal, entre ellos están el test de Mann-Kendall, el test de correlación de rango de Spearman y el test de significancia estadística sobre el valor de la pendiente de la recta, (Yue et al., 2002).
a. Prueba de Mann Kendall
En el análisis de tendencia o estacionariedad en series de precipitación destaca el uso de la prueba no paramétrica de Mann-kendall (MK), ésta es una prueba basada en rangos. Esta prueba se resume como:
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Se obtiene el signo de diferencia de cada par de valores al comparar sus magnitudes (Qj – Qk) con j>k de acuerdo con lo siguiente:
Signo (Qj – Qk) = {
( – ) ( – ) ( – )
( 7 )
La obtención del estadístico S de MK se define como: ∑ ∑ –
( 8 )
Dónde: n es la longitud del conjunto de datos. Si S es positivo, se infiere de forma subjetiva que la tendencia es creciente, cuando S es negativo, se infiere que hay tendencia decreciente.
Se estima la varianza para el estadístico S de MK, que considera el Signo (Qj – Qk)
= 0, mediante la ecuación:
[ ∑
] ( 9 )
Donde: g es el número de grupos de medidas que tienen igual valor y es el número de vínculos en el grupo i.
Calculo del estadístico ZMK
El valor de la prueba estadística ZMK de la muestra se calcula mediante la siguiente
ecuación: ZMK= { √ √ ( 10 )
A partir del estadístico ZMK se evalúa la hipótesis de interés, que puede ser:
H0: no hay tendencia vs H1: hay tendencia decreciente
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2.3.2. ANÁLISIS DE HOMOGENEIDAD O CAMBIO EN LA MEDIA
Una serie de tiempo presenta un salto o cambio abrupto en la media, cuando se observa un cambio abrupto en la magnitud de la media de determinada variable, estos cambios pueden ser negativos o positivos. Cuando ocurre un cambio positivo, el nivel de la media de la variable en estudio se incrementa después del punto de cambio, si ocurre lo contrario se dice que el cambio es negativo.
Para detectar la rotura de series o cambios en la media de las series de precipitación, se aplican la prueba de Pettitt.
a. Prueba de Pettitt
La prueba de Pettitt es no paramétrica que se basada en la prueba de Wilcoxon (Pettitt, 1979), también puede derivarse de la prueba de Mann-Whitney (Sahin y Cigizoglu, 2010). Esta prueba es basada en rangos y es usada para identificar un punto de cambio en la media de una serie de tiempo. Los rangos r1, r2,…, rn de Y1, Y2,…, Yn son usados para calcular las
estadísticas:
∑ k = 1, 2, …, n ( 11 )
Si ocurre un punto de cambio en la media de la serie en el año k, el valor absoluto de alcanza su valor máximo.
| | 1 ≤ k ≤ n ( 12 )
Los valores críticos fueron dados por Pettitt (1979) como se muestra en el Cuadro 1. Esta prueba es más sensible a determinar el punto de cambio en la parte media de la serie de tiempo.
Cuadro 1: Valores críticos para XK de la prueba de Pettitt en función del tamaño de muestra (n)
n 20 30 40 50 70 100
1% 71 133 208 293 488 841
5% 57 107 167 235 393 677
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Una vez que el punto de cambio es detectado por la prueba, entonces la serie se divide en dos intervalos para determinar su tendencia. Los intervalos antes y después del punto de cambio, entonces forman grupos homogéneos que toman características heterogéneas de cada uno.
2.3.3. ANÁLISIS DE INDEPENDENCIA SERIAL
El análisis de independencia serial se utiliza para verificar que las series sean independientes entre sí. Se evalúa la independencia de series, con la función de autocorrelacion y la prueba de Ljung-Box.
a. La función de autocorrelación
La función de autocorrelación mide la dependencia lineal que existe entre la serie dada y la misma serie desplazada en el tiempo. Este concepto permite analizar una serie de tiempo e identificar parcialmente el proceso subyacente si la función de autocorrelacion tiene la estructura esperada (Chereque, 1989).
Para definir formalmente la función de autocorrelacion es necesario definir previamente la autocovarianza para un desplazamiento k:
| | ( 13 )
Para procesos estacionarios, la función de autocorrelacion se puede definir entonces como:
, k = 0, 1, ….
( 14 ) Dónde: =E | | es la varianza constante del proceso
b. Estadístico Q de Ljung-Box de detección de autocorrelación
La función de autocorrelación (FAC) y la función de autocorrelación parcial (FAP) son herramientas cualitativas útiles para evaluar la presencia de autocorrelación en retardos individuales. El Q-Ljung-Box es una forma más cuantitativa para probar la autocorrelación en múltiples retardos conjuntamente (Ljung y Box, 1978).
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Para comprobar la correlación serial de la serie de precipitaciones máximas diarias para todos los sitios, se aplica una autocorrelación basado en Q-estadístico de Ljung-Box. La hipótesis nula para esta prueba es que los primeros autocorrelaciones son conjuntamente a cero. H0 : = = = … = = 0
La estadística de prueba Ljung-Box está dada por:
∑
( 15 )
Donde: es el tamaño de muestra, es la autocorrelacion de la muestra en el retraso y es el número de retardos en prueba no debe ser más que /4 (Box et al., 1994). Por nivel de significación α, la región crítica para el rechazo de la hipótesis de aleatoriedad es:
( 16 )
Donde: es cuantil α de la distribución chi-cuadrado con grados de libertad.