Solid and solution phase systems

Una triangulación de Delaunay, semejante a las técnicas de integración para segmentar el área bajo la curva producida por una función, particiona la región interna de un polígono. En la integral, los fragmentos son rectángulos o trapecios; en la triangulación, esos fragmentos son triángulos. Para que un polígono pueda ser descompuesto deberá tener más de tres vértices (figura 2.2), es decir, tener como mínimo una diagonal. De ese modo, el polígono podrá ser dividido en triángulos adicionando una o más diagonales.

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Fig. 2.2 Triangulación de un polígono.

Dado que, la entrada para el algoritmo de triangulación será un conjunto de puntos en el plano, como se muestra en la figura 2.3, la cantidad de triángulos y aristas está definido por el siguiente teorema [Berg et al., 2008]: Sea P un conjunto de n puntos, no colineales, donde k denota el número de puntos en P que están sobre el límite del casco convexo de P, entonces cualquier triangulación de P tiene 2n-2-k

triángulos y 3n-3-k aristas.

Fig. 2.3 Triangulación de una nube de puntos.

Estas dos propiedades resultan interesantes; sin embargo, cuál es la importancia de la triangulación de Delaunay en la generación de mallas? Primero, la mayoría de polígonos que describen objetos del mundo real tienen formato irregular y regiones pertenecientes a diferentes dominios de interés. En ese contexto, una triangulación de Delaunay, conceptualmente, puede ser vista como una descomposición del dominio en triángulos, respetando sus características geométricas, como un paso inicial del proceso de discretización. De ese modo, una triangulación de Delaunay funciona como una especie de modelo para delimitar el espacio que ocupa un objeto, el cual, posteriormente, será descompuesto hasta que se cumplan con todos los criterios de calidad referentes al área y medida angular para cada triángulo.

Segundo, una triangulación de Delaunay contribuye a la calidad de la malla final, dado que cualquier triangulación de Delaunay, de un conjunto de puntos P, maximiza el ángulo mínimo sobre cualquier triangulación de P [Berg et al., 2008].

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La triangulación de Delaunay D de un conjunto V de vértices, fue introducida en 1934 por el matemático ruso Boris Nikolaevich Delone, posteriormente llamado Boris Delaunay. Una triangulación de Delaunay D es un grafo definido de la siguiente manera: Sean v y u dos vértices pertenecientes a V, la arista formada por vu pertenece a D si y solamente si el circulo C que pasa por los extremos de dicha arista no contiene ningún vértice de V en su interior. La arista vu, sigue perteneciendo a D aun cuando pueden existir otros vértices sobre C. La figura 2.4 ilustra una arista perteneciente a la triangulación de Delaunay.

Fig. 2.4 La arista vu es una arista perteneciente a D, dado que C no contiene ningún otro vértice perteneciente a V en su interior; aun cuando los puntos p y q se encuentran

sobre C. Fuente:[Berg et al., 2008].

El círculo que pasa a través de los tres vértices de un triángulo es único. Por lo tanto, se dice que un triángulo es de Delaunay si y sólo si el circulo definido por sus tres vértices no contiene ningún vértice en su interior. Esta es la definición característica de los triángulos de Delaunay, ilustrada en la figura 2.5, es llamada propiedad del circuncírculo vacío [Shewchuk, 1999].

Fig. 2.5 Cada triángulo en la triangulación de Delaunay tiene un circuncírculo vacío. Fuente: [Shewchuk, 1999].

La propiedad del circuncírculo vacío, la cual constituye la primitiva geométrica principal de la triangulación de Delaunay, es verificada a través de la del test InCircle.

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2.4.1

Test InCircle

Para determinar si un triangulo y un punto satisface la propiedad de la triangulación de Delaunay del circuncírculo vacío, el test InCircle debe aplicarse al triangulo y al punto en consideración. Si , donde

, representa las coordenadas de los puntos , luego podemos determinar la posición de contra el circuncírculo definido por de acuerdo al signo del determinante de la matriz I, para un mayor detalle del predicado

InCircle ver [Guibas and Stolfi, 1985].

(

)

(

₎

Si los vértices del triángulo están orientados en sentido contrario a las agujas del reloj, entonces el signo positivo de la ecuación (2.1) significa que el punto se encuentra dentro del circuncírculo definido por ; el signo negativo significa que el punto esta fuera; y cero siempre significa (independientemente de la orientación de los vértices del triángulo) que esta sobre el circuncírculo. La figura 2.6 muestra un ejemplo para estos valores.

Fig. 2.6 Ejemplo de algunos valores del test InCircle.

Se dice que una triangulación es una triangulación Delaunay si cada triángulo aprueba el test del circuncírculo con todos los vértices presentes en la triangulación.

Esta condición maximiza el ángulo mínimo de todos los triángulos de la malla, lo que en sí es un gran avance; sin embargo, esto no necesariamente genera triángulos de una calidad esperada, por lo que los algoritmos de refinamiento realizan inserciones sucesivas de nuevos puntos a la malla, con la intención de que

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la inserción de estos nuevos puntos destruya los triángulos de mala calidad y se generen nuevos triángulos con mejores ángulos interiores. Cuando la inserción de un nuevo punto a la malla se preocupa de mantener la condición Delaunay, será denominada Inserción Delaunay.