de un sesquicuarto154. Y lo mismo en los demás.
22. Vamos, ahora volvamos a la con- Demostracióm p o r lo SOnancia diapasón. Porque si ella no está
imposible de que la , ,
j , · , , ,
diapasón se halla en en el éenero multlPl0 de desigualdad, el género múltiplo155 vendrá a caer en el género superparticular de desigualdad. Sea, entonces, una pro porción superparticular la consonancia diapasón. Quítese de ella la consonancia contigua, esto es, la diapente; se deja una diatesaron. Dos veces, por tanto, una diatesaron es menos que un diapente y el propio diatesaron no completa la mitad de una consonancia diapente, cosa que es imposible. Quedará, en efec to, mostrado que dos veces una diatesaron sobrepasa en un tono y un semitono a la consonancia diapente156. Cosa por la que ciertamente la diapasón no puede ser puesta en el género de la desigualdad superparticular157.154 4/3:5/4= 16/15, que no es la mitad de 5/4.
155 Es decir, lo imposible que sería o el absurdo que resultaría si la conso nancia diapasón no consistiera en una proporción múltipla doble 2/ 1 , como efectivamente es. Se trata de la conocida demostración por reducción al absur do. Las demostraciones que lleva a cabo Boecio en este capítulo y en los cua tro siguientes se corresponden con las proposiciones décima a duodécima de la
Sección del canon euclidiana (Jan, págs. 158 ss.; Zanoncelli, págs. 48 ss.). So
bre ello, aunque en un tono distinto (cf. Bo w e r[1989], pág. 77, nota 56), vol verá Boecio en el libro IV.
156 En efecto, dos veces un intervalo de cuarta suponen un total de cuatro tonos y dos semitonos, es decir, cinco tonos, mientras que un intervalo de quin ta son tres tonos y un semitono (cf. I I 31, pág. 265, 16).
157 Cf. Ps.Eu c l., Secc. can. 10, pág. 158, 8 Jan; pág. 48 Zanoncelli); cf. también la tabla que incluye Ma r z i(1990), pág. 443, nota 58, tomada de Pa u l (1872), pág. 62.
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Demostración de 23 ' Queda, por tanto, que mostremos que la diapente, la que la diapente y la diatesaron y el tono diatesaron y el tono deben ser puestos en la superparticula- están en el (género) r¡c[ac|· pues aunque tam bién en esa pri-superparticular
mera prueba, mediante la que hemos mostrado que la diapasón no debe ser puesta en el género su- perparticular, ello también quedó más que claro con un cier to grado de razón, tratemos de ello a fondo detalle por detalle y con m ayor diligencia158.
Pues, si alguien dijere que estas relaciones no hay que po nerlas en el género superparticular, confesará que hay que colo carlas en el múltiplo159; pues, por qué no pueden ponerse en el superpartiente o en los demás mixtos quedó, a mi entender, ex plicado más arriba160. Pónganse, por tanto, si se puede hacer, en el género múltiplo. Y, puesto que la consonancia diatesaron es menor y la diapente mayor, ajústese la diatesaron a la propor ción doble de multiplicidad y la diapente a la triple. Verosímil es, en efecto, que tal como la consonancia diatesaron es contigua a la consonancia diapente, así, si la diatesaron se establece en la doble, se ponga la diapente en la contigua a la doble, esto es, en la triple. El tono, en cambio, puesto que en las relaciones musi cales se coloca después de la diatesaron, no es extraño que se ponga en aquella proporción que es menor que la doble. Ésta, en cambio, en el género de la multiplicidad no puede encontrar se161. Resta, por tanto, que venga a caer en la relación de super- particularidad. Sea, por tanto, la primera, esto es, la sesquiáltera,
158 Cf. Ps.Eu c l., Secc. can. 11 (pág. 158, 19 Jan; pág. 48 Zanoncelli); cf. también B o w er (1989), pág. 77, nota 59.
159 Primera demostración: ni la consonancia diatesaron ni la consonancia diapente pueden incluirse en la clase de desigualdad múltipla.
160 Cf. 1 5-6, págs. 192, 21-194, 17); I I 20, págs. 251, 15-253, 25. 161 No hay, en efecto, ninguna proporción múltipla menor que la doble (Π 23, pág. 256, 30: Non est enim quicquam minus a duplici).
LIBRO II 205
la proporción del tono162; pues, si un doble se lo quitamos a un triple, lo que se deja es un sesquiáltero163. Y si la diatesaron es, en efecto, doble y la diapente, por su parte, tripla, y quitando la diatesaron de la diapente se produce de resto un tono, de ningún modo puede dudarse de que el tono debe constituirse en la pro porción sesquiáltera. Pero dos proporciones sesquiálteras ven cen a una doble, tal como todo el que ha salido de la aritmética instruido puede por sí colegir. Dos tonos, por tanto, superarán la diatesaron, cosa que queda fuera de convenio164. La diatesaron, en efecto, sobrepasa los dos tonos en el espacio de un sem itono. 256 No puede, por tanto, ser que la diapente y la diatesaron no sean colocadas en el género superparticular de desigualdad.
Y, si alguien llega a poner por escrito que el tono también se halla en el género múltiplo, puesto que, en efecto, el tono es me nor que la diatesaron y la diatesaron es menos que la diapente, póngase, en efecto, la diapente en la cuádrupla, la diatesaron en la tripla y el tono en la doble165. Pero la diapente consta de una diatesaron y un tono; el cuádruplo, por tanto, según este cálcu lo, constará de un triplo y un duplo, cosa que no puede ser. A su vez, establézcase la diatesaron justo en el triple y la diapente en el cuádruplo. Si, por tanto, quitamos un triplo del cuádruplo quedará un sesquitercio166. A su vez, si a una consonancia dia-
162 Ahora bien, ni el tono es propiamente una consonancia, ni tiene por qué ser colocado en la razón sesquiáltera, ya que no es contiguo a la diatesaron;
cf. Bo w e r(1989), pág. 78, nota 61. 163 3/1:2/1 = 3/2.
164 Esto es, fuera del convenio harmónico, de la conjunción y ajuste de la harmonía. Pues, en efecto, si una consonancia diatesaron equivale a dos tonos y un semitono menor, de ningún modo dos tonos pueden superar la dimensión de una consonancia diatesaron.
165 Segunda demostración: la consonancia diatesaron no puede incluirse en el género de desigualdad múltiplo.
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pente le sustrajeras una diatesaron, queda de resto un tono; el tono, entonces, según este cálculo, se establecerá en una pro porción sesquitercia. Pero tres sesquitercios resultan menores que un triple; tres tonos, entonces, por ningún procedimiento completarán una consonancia diatesaron, lo cual es más que fal so: dos tonos, en efecto, y un semitono menor completan la con sonancia diatesaron. A partir de estas cosas, por tanto, se de muestra que la consonancia diatesaron no es múltipla.
Y digo que ni la consonancia diapente podrá ser colocada en el género múltiplo167. En efecto, si en él se establece, puesto que es menor que ella la contigua, esto es, la diatesaron, no se colo cará la diapente en el múltiplo mínimo, esto es, en el doble168, evidentemente para que haya un lugar al que la consonancia diatesaron pueda quedar ajustada. Pero la consonancia diatesa ron no es del género múltiplo, razón por la cual ni la diapente puede quedar ajustada en una relación del múltiplo mayor que la dupla, que es la mínima. Esté, por tanto, la diapente en la mí nima, a saber, en la dupla. La diatesaron, por su parte, que es menor, en el múltiplo ciertamente no puede quedar ajustada; no hay, en efecto, nada menor que el doble. Sea, entonces, ses quiáltera y el tono, a su vez, sesquitercia: se ha de colocar, en efecto, en la proporción contigua169. Pero dos sesquitercios son
167 Tercera demostración: la consonancia diapente tampoco puede ser in cluida en el género de desigualdad múltiplo.
168 Si la consonancia diatesaron es menor que la diapente, en caso de que pudiera establecerse en el género múltiplo, debería colocarse en el múltiplo doble, mientras que la diapente, al ser mayor, caso de que pudiera establecerse en el género múltiplo, debería colocarse en el múltiplo triple, ya que es la con tigua a la diatesaron.
169 De nuevo aquí las ideas de que el tono es una consonancia y de que sigue inmediatamente (continua) a la diatesaron. Pero ni una cosa ni otra son exactas: por lo cual, ni necesita ser colocado en el género de las relaciones múltiplas ni tiene por qué ser ubicado en el de las sesquitercias; cf. Bower (1989), pág. 79, nota 63.